10.2 常数项级数的审敛法

110.2.1正项级数及其审敛法10.2常数项级数的审敛法10.2.2交错级数及其审敛法10.2.3绝对收敛与条件收敛210.2

常数项级数的审敛法

10.2.1正项级数及其审敛法正项级数.定理10.2.1(充要条件)这种级数称为其部分和数列{sn}为单调增加数列.定理10.2.2(比较审敛法)3比较审敛法的不便:须有参考级数.4重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.5解(2)6定理10.2.3比较审敛法的极限形式设å¥=1nnu与å¥=1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;

(2)当时，若收敛,则收敛;

(3)当时,若å¥=1nnv发散,则å¥=1nnu发散;7证明由比较审敛法的推论,得证.(2)(3)的证法相同。8故原级数收敛.9(3)所以原级数发散。所给级数收敛。10证明定理10.2.4(比值审敛法,达朗贝尔D’Alember审敛法)11收敛发散12比值审敛法的优点:不必找参考级数.注意:1314例4判断下列各级数的敛散性解（1）15（2）则级数收敛。16(2)

比值法失效。所以原级数收敛。

注意用比值法失效,一般用比较法.17定理10.2.5(根值审敛法,也称柯西判别法）对于正项级数证明(i)当ρ<1时，取一适当小的正数ε，使ρ+ε=r<1。由极限定义，存在m，即有(ii)略(iii)ρ=1时，仍以p-级数为例则当ρ<1时级数收敛，当ρ>1时级数发散，ρ=1时级数可能收敛也可能发散。

当n≥m时有不等式，18例5判别下列级数的敛散性解19例6判别下列级数的敛散性方法：拆成两个级数，收敛

方法：根值法，发散方法：比较法，收敛总结:2021

称形如：u1－u2+u3－…+(－1)n-1un+…定理10.2.6(莱布尼兹定理)证明k=1，2，…)的级数为交错级数.或－u1+u2－u3+…+(－1)n-1

un+…(2)un→0(n→∞)(1)un≥un

+1；满足条件10.2.2交错级数及其审敛法(其中uk>0,22由前一式知{S2n}单调增加，由后一式知S2n<u1。由数列判敛的单调有界准则知:它也满足收敛的两个条件，于是有右端也是一交错级数，23注意单调减少不是交错级数例7

交错级数收敛收敛的必要条件。24例8判断解显然原级数为交错级数，记则un单调减且un→0(n→∞)，依莱布尼兹定理，原级数收敛。25

下面讨论一般项级数u1+u2+u3+…+un+…其中un为任意实数。

定理10.2.7证明令另一方面，un=2vn－|un|，于是依正项级数的比较审敛法，进而知显然有0≤vn≤|un|。10.2.3绝对收敛与条件收敛也收敛。26定义10.2.1的依据是

>1，此时un不趋于0(n→∞)，不满足级数收敛的必要条件。注意但如果我们是用比值法或根值法判定这是因为这两种审敛法判定级数发散27

例9判别下列级数的敛散性,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?解原级数绝对收敛；2829(5)这是一个交错级数，所以该级数发散。所以原级数绝对收敛。301内容及要求(1)

熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法

(2)会利用幂级数的运算法则求一些幂级数的和函数麦克劳林展开式，并会利用间接展开法将一些函数展开成幂级数。

(4)掌握傅立叶级数的收敛定理，能将[-,

]上的函数展为傅立叶级数，能将[0,]上的函数展为正弦级数或余弦级数。(5)能将[-l,l]上的函数展为傅立叶级数，能将[0,l]上的函数展为正弦级数或余弦级数。312典型例题例1填空[-2，2）绝对收敛R=432R2R绝对收敛33例2求下列幂级数的收敛域当x=±1时，级数发散，所以该幂级数的收敛域为(－1，1)343536例3求幂级数的和函数

解(1)易知该幂级数的收敛域为(－1，1)

设其和函数为s(x)，则3738(2)

故该幂级数的收敛域为

39(3)易知该幂级数的收敛域为[－1，1]，设其和函数为s(x)，则40于是

41(4)

易知幂级数的收敛域为（0，2）42(5)