洛必达法则课件

3.2洛必达法则3.2.3其它类型的极限

3.2.2型极限3.2.1型极限

3.2.1

定理3.2.1(洛必达L’Hospital法则)注:这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.证明:定义辅助函数则有注1:注2:定理3.2.2:

注3:

洛必达法则中的条件是充分而非必要的.例如而不存在。注4:

3.2.2

定理3.2.3例1解例2解所以当x→0时,(1+x)μ

－1～μx(μ为实数）特别地例3解例4解注:极限不为0的因子的极限可以先求出.例5解设n≤

＜n+1,利用夹逼定理，可知结论：当x→+∞时，lnx

、xα（α＞0）、ax（a＞1）都是无穷大量，但阶的高低不同，它们是由低阶到高阶。（使用n次法则）例6注：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.例7解例8

总结:使用洛必达法则时应注意的问题

（1）法则中的条件是充分的.（2)使用此法则时要检验是否符合定理的条件，首先验条件（i）即是否为至于条件（ii）、（iii），可在计算中加以解决。如不是，则不能用此法则，（3）应与别的求极限的方法相结合.如：利用极限运算法则、非零因子极限先求出、约去零因子、等价无穷小替换等等。（4）

是一种试探性的求极限过程。方法:将其它类型未定式化为方法:化为例1解例2解例3例4解方法:化为解：例5例6解方法:例7解例8解例9解例10

4.数列极限如何用洛必达法则

设xn=f(n)，yn=

F(n)条件是充分而非必要的。例11解小结洛必达法则第3章

第一次习题课一、内容与要求

1掌握几个重要定理

费马定理，罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理3掌握函数f(x)的带拉格朗日，佩亚诺余项的n阶泰勒公式（麦克劳林公式）的展开。二、典型例题题型1：求极限(2)解解解法一：先求:

原极限解法二：原极限(4)解：属1∞型极限问题所以原极限=a1a2…an

(5)问f(x)在x=0处是否连续？解：所以f(x)在x=0处连续。(6)．

设f(x)二阶可导，求解：由f(x)二阶可导，知f(x)连续，如果再用洛必达法则，有，所以此极限是否存在无法判断下一步应利用二阶导数定义：题型2：中值等式的证明小结：用罗尔定理证明微分中值等式的一般方法

（1）

将欲证等式写成g(ξ)=0的形式（2）

观察分析能否将g(ξ)或g(ξ)·h(ξ)(h(ξ)应是一非零因子)看成某函数F(x)在x=ξ点的导数.（3）

检验辅助函数F(x)在所论区间上是否满足罗尔定理的条件，如满足则定理得证。常用辅助函数：xk

f(x)，eαx

f(x)，f(x)eg(x)，f(x)g(x)(x－x0)k

f(x)，(3)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，证明：存在一点ξ,

∈(a,b)使证在[a，b]上由拉格朗日中值定理得在[a，b]上由柯西中值定理得由(1),(2)得在[a，b]上由柯西中值定理得证(5)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，

f(a)=f(b)=1试证明：存在点ξ,

∈(a,b)使(6)总习题第6题类似于泰勒公式的证明题型3：证明恒等式所以f（x）=Cex

，再由f（0）=1C=1，所以f（x）=ex

。题型4：根(零点)的判别

题型5：不等式的证明例证明当x>1时，ex＞ex

。证明：令f(t)=et－et，当x>1时，f(t)在[1,x]上满足拉格朗日定理的条件,依定理存在ξ∈(1,x）,使而eξ－e＞0，x

－1＞0，于是有

ex－ex＞0，

即ex＞ex

（x＞1）题型6：有关泰勒公式(麦克劳林公式)的题目1)求函数f(x)的带拉格朗日，佩亚诺余项的n阶泰勒公式（麦克劳林公式）的展开2)求利用函数f(x)的佩亚诺余项的n阶麦克劳林展开求极限3)泰勒公式用于无穷小的阶的估计也可用洛比达法则

例1f（x）在x=0的某邻域内二阶可导，且有求解由题设可得原式左端=所以有由此可得4)泰勒公式用于求函数在某点的各阶导数5)泰勒公式用于证明(2)设f（x）在(a,b)内二阶可导，且证明：对于(a,b)内任意选定的两点x1、x2，当x1=x2时结论当然成立。当x1≠x2时，不妨设x1<x2。这里记x0=(1－t)x1+tx2，由于0<t<1，知x0∈(x1，x2)由泰勒公式及（1）同理（2）

证明对于(a,b)内任意两点x1、x2及0<t<1，

有f[(1－t)x1+t

x2]

≤(1－t)f(x1)+tf(x2)（1）×(1－t)+（2）×t，有命题得证。证明：由题设知f(x)在[0，1]上的最小值－1在(0，1)内取得。(3)

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，f(0)