10.5 傅立叶级数课件

110.5.1三角函数系的正交性10.5傅里叶级数10.5.2将函数展开成傅里叶级数10.5.3正弦级数与余弦级数210.5

傅里叶级数

10.5.1

三角函数系的正交性1．三角级数简谐振动：

y=Asin(ωt+)

A为振幅，ω为角频，

为初相。其中A0,An,

n为常数。3由三角公式，我们有Ansin(nωt+

n)=Ansin

n

cosnωt+A

ncos

n

sinnωt则(1)式右端变型为

形如(2)式的级数叫做三角级数，其中a0、an、bn

为常数。

an=Ansin

n

，bn=Ancos

n,ωt=x，42.三角函数系的正交性三角函数系510.5.2将函数展开成傅里叶级数问题:1.若能展开,是什么?2.展开的条件是什么?傅里叶系数

设f(x)是周期T=2π的周期函数，且能展开成三角级数：678傅里叶系数傅里叶级数问题:910.5.1(收敛定理,注意:函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多.狄利克雷(Dirichlet)充分条件)10(1)将定义在（

，

）上的以2

为周期的函数展开成傅立叶级数。方法：(i)先求傅里叶系数(ii)写出对应的傅里叶级数11(iii)根据收敛定理把上式写成等式解例11213所求函数的傅氏展开式为所给函数满足狄利克雷充分条件.14方法:(i)对f(x)作周期为2

的周期延拓得定义在

(，

)上的周期函数F(x).(2)将定义在[-

，

]上的函数f(x)

展开成傅立叶级数。

(iii)限制在[-

，

]再用收敛定理得到f(x)的傅立叶级数展开式。(ii)F(x)的傅立叶级数与f(x)的傅立叶级数相同.15解所给函数满足狄利克雷充分条件.

拓广的周期函数的傅氏级数展开式在收敛于.例21617所求函数的傅氏展开式为18利用傅氏展开式求级数的和192010.5.3

正弦级数和余弦级数1.奇函数和偶函数的傅里叶级数

一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.21证明奇函数22同理可证(2)定义偶函数定理证毕.23解所给函数满足狄利克雷充分条件.例324252、函数展开成正弦级数或余弦级数做法：奇延拓26偶延拓27解(1)求正弦级数.例42829(2)求余弦级数.30总结：将f(x)展开傅立叶级数有以下三种情况：(1)将定义在（

，

）上的以2

为周期的函数f(x)

展开成傅立叶级数。方法：应对f(x)作周期为2

的周期延拓得定义在（

，

）上的周期函数F(x),将F(x)的傅立叶级数限制在[-

，

]再用收敛定理得到f(x)的傅立叶级数展开式。方法：计算f(x)的傅立叶系数后得到f(x)的傅立叶级数，再用收敛定理得到f(x)的傅立叶级数展开式。(2)将定义在[-

，

]上的函数f(x)

展开成傅立叶级数。(3)将定义在[0，

]上的函数f(x)

展开成正弦（余弦）级数。31方法：应对f(x)作奇延拓（或偶延拓），得到定义在上上的函数F(x),F(x)的傅立叶级数即为正弦级数（或余弦级数），限制在[0，

]再用收敛定理得到f(x)的正弦级数（或余弦级数）展开式。321内容及要求(1)

熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法

(2)会利用幂级数的运算法则求一些幂级数的和函数麦克劳林展开式，并会利用间接展开法将一些函数展开成幂级数。

(4)掌握傅立叶级数的收敛定理，能将[-,

]上的函数展为傅立叶级数，能将[0,]上的函数展为正弦级数或余弦级数。(5)能将[-l,l]上的函数展为傅立叶级数，能将[0,l]上的函数展为正弦级数或余弦级数。332典型例题例1填空[-2，2）绝对收敛R=434R2R绝对收敛35例2求下列幂级数的收敛域当x=±1时，级数发散，所以该幂级数的收敛域为(－1，1)363738例3求幂级数的和函数

解(1)易知该幂级数的收敛域为(－1，1)

设其和函数为s(x)，则3940(2)

故该幂级数的收敛域为

41(3)易知该幂级数的收敛域为[－1，1]，设其和函数为s(x)，则42于是

43(4)

易知幂级数的收敛域为（0，2）44(5)