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110.3.1函数项级数的概念10.3幂级数10.3.2幂级数及其收敛性10.3.3幂级数的性质210.3

幂级数的概念和性质10.3.1函数项级数的概念1.2.收敛点与收敛域:3(定义域是收敛域)3.和函数:4函数项级数的部分和余项注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.在收敛域上,10.3.2幂级数及其收敛性1.定义5讨论：幂级数的收敛域、和函数及和函数的性质。例16

定理10.3.1几何说明收敛区域发散区域发散区域(阿贝尔(Abel)定理)7推论2、幂级数的收敛半径及收敛区间8定义正数R称为幂级数的收敛半径.

称为幂级数的收敛区间.规定问题如何求幂级数的收敛半径?9证明3、收敛半径的求法定理10.3.210由比值审敛法,11定理证毕.12注意(2)an不能等于零。而是要用别的方法求R

，如夹逼、拆项等。不可说幂级数没有收敛半径（一定有）13例2

求下列幂级数的收敛半径与收解该级数收敛该级数发散级数收敛域为(-1,1].敛域1415发散收敛故收敛域为(0,1].16解缺少偶次幂的项级数收敛,17级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为1810.3.3幂级数的性质1.代数运算性质:(1)加减法(

其中19(2)乘法(其中柯西乘积20(3)除法(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多)即有

从中可顺序求出212.和函数的分析运算性质:(收敛半径不变)22(收敛半径不变)反复应用上述结论可得：收敛半径为R,若幂级数则它的和函数s(x)在区间(-R,R)内具有任意阶导数。23解24两边积分得由逐项求导公式得25例5的和函数解易求出幂级数的收敛半径为1,级数发散.26解收敛域(-1,1),27281内容及要求(1)

熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法

(2)会利用幂级数的运算法则求一些幂级数的和函数麦克劳林展开式，并会利用间接展开法将一些函数展开成幂级数。

(4)掌握傅立叶级数的收敛定理，能将[-,

]上的函数展为傅立叶级数，能将[0,]上的函数展为正弦级数或余弦级数。(5)能将[-l,l]上的函数展为傅立叶级数，能将[0,l]上的函数展为正弦级数或余弦级数。292典型例题例1填空[-2，2）绝对收敛R=430R2R绝对收敛31例2求下列幂级数的收敛域当x=±1时，级数发散，所以该幂级数的收敛域为(－1，1)323334例3求幂级数的和函数

解(1)易知该幂级数的收敛域为(－1，1)

设其和函数为s(x)，则3536(2)

故该幂级数的收敛域为

37(3)易知该幂级数的收敛域为[－1，1]，设其和函数为s(x)，则38于是

39(4)

易知幂级数的收敛域为（0，2）40(5)易知所给幂级数的收敛半径R=+∞，设其和函数为s(x)，则41例

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