辽宁省沈阳市第一二0中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

沈阳市第一二0中学2025-2026学年下学期高二年级期中考试数学试题一、解答题1．意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间具有类似于三角函数的性质．（已知）(1)证明：①倍元关系：；②平方关系：(2)对任意，恒有成立，求实数a的取值范围；(3)证明：．2．已知数列是等差数列，，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列．(1)求和的通项公式；(2)设，求数列的前项和．(3)若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列：，，，，，，，，，，，…，与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前211项的和．3．已知函数.(1)求函数的最大值；(2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围；(3)若函数在上恒成立，求实数的取值范围.4．已知数列的前项和为，且．(1)求证：数列为等比数列；(2)若对一切，不等式均成立，求实数的取值范围．5．已知函数．(1)若曲线在点处的切线平行于直线，求实数的值；(2)讨论函数的单调区间．二、填空题6．若不等式对任意恒成立，则正实数t的取值范围是________．7．已知函数的定义域为R，，若对任意，都有，则不等式的解集为_______．8．已知为等差数列，，，则______．三、多选题9．已知函数，则下列说法中正确的有（

）A．B．在处的切线方程为：C．若函数，使得成立，则D．若函数有两个零点，则10．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数存在两个不同的零点B．函数既存在极大值又存在极小值C．当时，方程有且只有两个实根D．若时，，则t的最小值为211．已知无穷等差数列的前n项和为，，且，则（

）A．在数列中，最大 B．在数列中，或最大C． D．当时，四、单选题12．已知函数的定义域为为的导函数，，．若，则（

）A．2026 B．1013 C．1 D．-113．已知函数，若方程有三个根，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．14．已知和分别是数列和的前项和，且满足，，若对，使得成立，则实数的取值范围是（

）A．或 B．或C．或 D．或15．已知，函数在区间上不单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．16．不等式的解集为（

）A． B．C． D．17．在数列中，，，（），则（

）A． B． C． D．18．已知，则（

）A．1 B．2 C． D．419．已知集合，则（

）A． B． C． D．题号9101112131415161718答案ABDABCADDBDDACB题号19答案C1．(1)证明见解析(2)(3)证明见解析【详解】（1）证明：①；②.（2）构造函数

①当时，因为，当且仅当即时等号成立，所以，故单调递增，此时，故对任意恒成立，符合题意；

②当时，令，则恒成立，故单调递增，由与，可知存在唯一，使得，当时，，则在内单调递减，故对任意，即，不合题意，舍去；综上所述，实数a的取值范围为.（3）由（2）知：当时，，令，则，令单调递增，所以，即恒成立，所以，则，令单调递增，所以，即恒成立，令，所以.2．(1)，.(2)(3)21216【详解】（1）由得公差，又因为，得，化简得，解得，所以.由，，成等差数列，得由是等比数列，设代入，得，消去，得，化简并解得，.（2）由（1）得，，第一部分为，令，，两式相减：，，，第二部分利用裂项求和：，合并：；（3）由题可知新数列中，前有项，令，得前有项，令，得前有项，恰好位于与之间，所以前项中包含的前八项，剩下的全是中的项，，即的前项，.3．(1)1(2)(3)【详解】（1），定义域为，，令，得，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，且最大值为.（2）因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，即，由（1）可知，的最大值为1，所以，即，所以实数的取值范围为.（3）若函数在上恒成立，即在成立，所以在上恒成立，令，则，因为，所以当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，所以，所以时不符合题意；当时，令，①当时，即时，则恒成立，即在上恒成立，所以函数在上单调递减，所以，所以时符合题意；②当时，即时，令，则，因为，所以，所以当时，，所以在上恒成立，即函数在上单调递增，所以当时，，所以时，不符合题意.综上所述，实数的取值范围为.4．(1)证明见解析(2)【详解】（1）已知，当时，.则，所以，即.当时，，则，，满足.因此，数列是以3为首项，3为公比的等比数列.（2）由（1）得，故不等式可化为，即.设，，故只需即可.，当时，，即；当时，，即；当时，，即；当时，，即；当时，，，所以，即.因此，在时取得最大值为，故实数的取值范围为.5．(1)(2)当时，在递增;当时，在单调递减，在单调递增.【详解】（1），定义域为所以，因为直线的斜率为，所以，所以.（2），定义域为，若，则在恒成立，故在递增;若，令得，令得，故在单调递减，在单调递增;综上所述：当时，在递增，当时，在单调递减，在单调递增.6．【详解】因,则等价于，即，令，则，则在上单调递增，因为不等式对任意恒成立，所以对任意恒成立，因为，所以，，所以对任意恒成立，则对任意恒成立，令，则，令，则，则在上单调递减，因为，所以，则，即在上单调递减，则，故，则正实数t的取值范围是.7．【详解】，，，的每一项都除以不等号方向不变，即，，设，则，，，，为R上的减函数，，等价于，为R上的减函数，的解为，等价于，的解集为.故答案为：8．【详解】在等差数列中，由，得，解得由，得，解得，公差，所以.9．ABD【详解】对于A，由，则，故A正确；对于B，由，则，所以，，故在处的切线方程为，即，故B正确；对于C，因为，要存在，使得成立，即有解，令，则，令，得，当时，，即单调递增，当时，，即单调递减，，所以只需，即得，故C错误；对于D，由，则，，当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，若函数有两个零点，则，且，要证，即证，又在上单调递增，即证，即证，只要证，即证，令，，则，当时，，所以存在，使得，当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，当时，，而，令，，则，即在上单调递减，故，所以，即，即，所以对恒成立，又，则，即成立，即成立，问题得证，故D正确.故选：ABD.10．ABC【详解】对于A，由，得，∴，故A正确；对于B，，当时，，当时，，∴在，上单调递减，在上单调递增，∴是函数的极小值，是函数的极大值，故B正确；对于C，当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．故选：ABC.11．AD【详解】由，，得，所以等差数列的公差,所以等差数列是递减的等差数列，则最大项为，故A正确，B错误，又因为得且公差,所以当时，，估D正确；，所以，故C错误；12．D【详解】因为且，所以，因为，所以关于直线对称，则原函数关于点对称，所以所以，令，则，即，所以，所以的周期为，又，即，所以的周期也为，由得，由得，所以，由得，所以，又，所以，所以，所以，又，所以.13．B【详解】当，，则，因为当，，单调递减；当，，单调递增；，，，当，，，设，则过定点，当，图像与图像相切时，设切点为，则切线斜率为，切线方程：，因为切线过点，代入得：，化简得，因为在单调递增，当，，所以，切线斜率，此时图像与图像有两个交点；当过原点，，因为，此时图像与图像有四个交点；所以当时，图像与图像有三个交点，从而方程有三个根.14．D【详解】由得,∴,,∴,∴,∴数列为首项为，公比为的等比数列，∴,∴，∵，∴为等差数列，∴,,记当n∈N*时，为的单调递减函数，