小学数学第八章　作业38　平面与平面垂直的性质定理

作业38平面与平面垂直的性质定理分值：100分单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分1.设α，β，γ是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列判断正确的是A.若α⊥β，β⊥γ，则α∥γB.若α⊥β，m∥β，则m⊥αC.若m∥α，n∥α，则m∥nD.若m⊥α，n⊥α，则m∥n2.在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定3.已知直线m，n，平面α，β，m⊂α，n⊂β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥n是α⊥β的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(多选)若α⊥β，α∩β=l，点P∈α，P∉l，则下列命题中正确的有A.过点P垂直于l的平面垂直于βB.过点P垂直于l的直线垂直于βC.过点P垂直于α的直线平行于βD.过点P垂直于β的直线在α内5.如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是A.PE⊥ACB.PE⊥BCC.平面PBE⊥平面ABCDD.平面PBE⊥平面PAD6.已知正方形ABCD所在平面与正方形CDEF所在平面互相垂直，且CD=2，P是对角线CE的中点，Q是对角线BD上一个动点，则P，Q两点之间距离的最小值为A.1 B.2C.62 D.7.等边△ABC的边长为2，D，E分别为AB，AC的中点，将△ADE沿DE折起，使点A到达点A'的位置.若平面A'DE⊥平面BCED，则线段A'B的长为A.32 B.C.102 D.8.如图，在三棱锥P-ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC=90°，PA=1，AB=2，则PB=.

9.在四面体ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠BCD=90°，平面ABD⊥平面BDC，E是CD的中点，则∠AED=.

10.(10分)如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F分别在棱AD，BD上(E与A，D不重合)，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(4分)(2)AD⊥AC.(6分)11.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=AC=BC=2，PC与平面ABC所成角的大小为60°，则PC等于A.1 B.2C.3 D.212.如图，△ABC是正三角形，E，F分别为线段AB，AC上的动点，现将△AEF沿EF折起，使平面AEF⊥平面BCFE，设AEAF=λ，当AE⊥CF时，λ的值为.13.(多选)如图，边长为2a的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G.已知△A'ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，则下列结论正确的是A.动点A'在平面ABC内的射影在线段AF上B.三棱锥A'-FED的体积有最大值C.恒有平面A'GF⊥平面BCEDD.异面直线A'E与BD不可能互相垂直14.(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB=2CD，∠BAD=90°，PA⊥CD，E，F分别为棱PB，PA的中点.(1)求证：平面PAB⊥平面EFDC；(5分)(2)若AD=2，直线PC与平面PAD所成的角为45°，求四棱锥P-ABCD的体积.(8分)15.(15分)在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90°，AD=DC=12AB=a(如图所示)，将△ADC沿AC折起，将D翻到D'，记平面ACD'为α，平面ABC为β，平面BCD'为γ(1)若二面角α-AC-β为直二面角，求二面角β-BC-γ的平面角的大小；(7分)(2)若二面角α-AC-β的平面角为60°，求三棱锥D'-ABC的体积.(8分)答案精析1.D2.B3.B4.ACD5.D6.C[如图所示，取CD边的中点为M，连接PM，QM，PQ，又P是CE的中点，则PM∥ED，所以PM⊥CD，又平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF=CD，PM⊂平面CDEF，故PM⊥平面ABCD，又QM⊂平面ABCD，故PM⊥QM，在Rt△PMQ中，PM=12ED=1，PQ=PM2+QM2=1+QM2，要使PQ最小，只需要QM最小，因为当QM⊥BD时，QM最小，QMmin=DQ=所以PQmin=1+=1+222=7.C[如图，易知△A'DE是边长为1的等边三角形，过A'作A'H⊥DE，垂足为H，由平面A'DE⊥平面BCED，平面A'DE∩平面BCED=DE，A'H⊥DE，A'H⊂平面A'DE，则A'H⊥平面BCED，且H为线段DE的中点，A'H=32，连接BH，则A'H⊥BH，取BC的中点为F，连接FH则FH⊥BC，且FH=32所以BH=BF2+所以A'B=BH2+A8.59.90°解析如图所示，设AB=BC=CD=AD=a，取BD的中点为F，连接AF，CF，则AF⊥BD，CF⊥BD，则由题意可得AF=CF=22a又平面ABD⊥平面BDC，平面ABD∩平面BDC=BD，AF⊥BD，CF⊥BD，则∠AFC为二面角A-BD-C的平面角，且∠AFC=90°，AF⊥CF.在Rt△AFC中，AC=AF2+所以△ACD为正三角形.又E是CD的中点，所以AE⊥CD，即∠AED=90°.10.证明(1)因为在△ABD中，AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，BC⊥BD，BC⊂平面BCD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB=B，BC，AB⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.11.C解析取AB的中点D，连接PD，CD，因为PA=PB=AB=AC=BC=2，则PD⊥AB，CD⊥AB，PD=CD=3，又PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PCD，可得AB⊥平面PCD，又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面PCD，又平面ABC∩平面PCD=CD，由面面垂直的性质可知，点P在平面ABC内的射影落在直线CD上，且PD=CD=3，可知点P在平面ABC内的射影落在线段CD内，又因为PC与平面ABC所成角的大小为60°，则∠PCD=60°，可知△PCD为等边三角形，所以PC=3.12.2或1解析如图所示，过A作AH⊥EF于H，由平面AEF⊥平面BCFE，平面AEF∩平面BCFE=EF，AH⊂平面AEF，可得AH⊥平面BCFE，因为CF⊂平面BCFE，所以AH⊥CF，又AE⊥CF，AH∩AE=A，AH，AE⊂平面AEF，故CF⊥平面AEF.所以CF⊥EF，由图可得，此时H必与F重合，则∠AFE是直角.所以∠AEF=30°，所以AE=2AF，故λ=2.又当AE垂直于底面时显然满足题意，此时有AF=2AE，故此情况下有λ=12综上，λ的值为2或1213.ABC[在正三角形ABC中，AF为中线，DE为中位线，所以AF⊥BC，DE∥BC，所以DE⊥A'G，DE⊥GF，又A'G∩GF=G，A'G，GF⊂平面A'GF，所以DE⊥平面A'GF.又DE⊂平面BCED，所以平面A'GF⊥平面BCED，故C正确；过点A'作A'H⊥AF，垂足为点H(图略)，则A'H⊂平面A'GF，又平面A'GF⊥平面BCED，平面A'GF∩平面BCED=AF，所以A'H⊥平面ABC，故A正确；三棱锥A'-FED的底面△FED的面积是定值，高是点A'到平面FED的距离.易知当A'G⊥平面FED时点A'到平面FED的距离(即高)最大，此时三棱锥A'-FED的体积最大，故B正确；易知BD∥EF，所以∠A'EF(或其补角)是异面直线A'E与BD所成的角.因为正三角形ABC的边长为2a，所以A'E=a，EF=a.而0<A'F<AF，所以A'F的长度的取值范围是(0，3a)，当A'F=2a时，A'E2+EF2=A'F2，此时∠A'EF=90°，即直线A'E与BD互相垂直，故D错误.]14.(1)证明∵△PAD为正三角形，F为棱PA的中点，∴PA⊥DF.又PA⊥CD，CD∩DF=D，CD，DF⊂平面EFDC，∴PA⊥平面EFDC，又PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面EFDC.(2)解∵AB∥CD，PA⊥CD，∴PA⊥AB.∵∠BAD=90°，∴AB⊥AD，又PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB∥CD，∴CD⊥平面PAD，∴∠CPD为直线PC与平面PAD所成的角，即∠CPD=45°，∴CD=PD=AD=2.又AB=2CD，∴AB=4，∴S直角梯形ABCD=12AD×(CD+AB=12×2×(2+4)=6又AB⊥平面PAD，AB⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD.过点P作PO⊥AD，垂足为O(图略)，∵平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，PO为四棱锥P-ABCD的高，∵△PAD为正三角形，∴PO=32AD=32×2=∴V四棱锥P-ABCD=13PO·S直角梯形ABCD=13×3×6=215.解(1)在直角梯形ABCD中，由已知得△DAC为等腰直角三角形，∴AC=2a，∠CAB=45°.如图所示，过点C作CH⊥AB，垂足为H，则AH=CH=a.又AB=2a，∴BH=a，BC=2a，∵AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC.∵二面角α-AC-β为直二面角，∴α⊥β，又∵α∩β=AC，AC⊥BC，BC⊂β，∴BC⊥α.而D'C⊂α，∴BC⊥D'C，又BC⊥AC，∴∠D'CA为二面角β-BC-γ的平面角.由于∠D'CA=45°，∴二面角β-BC-γ的平面角为45°.(2)如图所示，取AC的中点为E，