小学数学第六章　§6.2　6.2.1　向量的加法运算

§6.2平面向量的运算6.2.1向量的加法运算学习目标1.理解并掌握向量加法的概念.2.了解向量加法的几何意义及运算律，掌握向量加法的运算法则，能熟练地进行向量的加法运算.3.能用向量的加法解决实际问题.一、向量的加法运算问题1如图所示，小明上午从家(点A)到达了公司(点B)，下午从公司(点B)到达了舅舅家(点C).小明这一天的位移与上午、下午的位移有什么关系？问题2物理上，我们进行力的合成时，应用了什么运算法则？请你画出如图力F1和F2的合力F.问题3通过阅读课本，向量的加法运算和力的合成运算规则一样吗？知识梳理1.已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC.求两个向量和的运算，叫做向量的.这种求向量和的方法，称为向量加法的法则.归纳口诀为“首尾相连连首尾”.2.以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量OC(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的法则.归纳口诀为“共起点、对角线”.3.对于零向量与任意向量a，规定a+0=0+a=.例1如图，已知向量a，b，c，求作向量a+b+c.反思感悟(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合；②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和.(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤①平移两个不共线的向量使之共起点；②以这两个已知向量为邻边作平行四边形；③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量即为两个向量的和.跟踪训练(1)已知平面四边形ABCD，则AB+BC+CD等于()A.AD B.BD C.AC D.0(2)在矩形ABCD中，设|AB|=4，|BC|=2，则AB+AD的模为()A.25 B.45 C.12 D.6二、共线向量的加法与向量加法的运算律问题4如果向量a，b共线(注意分同向和反向两种情况)，作出它们的和向量后，思考它们的运算结果与数的加法(从同号和异号两种情况)的运算结果有什么关系？问题5结合问题4，请探索|a+b|，|a|，|b|之间的关系.问题6数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？请结合图(1)，(2)，验证你的想法.知识梳理1.一般地，我们有≤|a+b|≤，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向的非零向量时，右边取等号；当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向的非零向量时，左边取等号.口诀：同号取等方向同，异号取等方向反.2.(加法交换律)a+b=；(加法结合律)a+(b+c)=.例2(1)设|a|=8，|b|=12，则|a+b|的最大值与最小值分别为，.(2)设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简：①AB+CD+BC；②DB+AC+BD+CA；③AB+DF+CD+BC+FA.反思感悟向量加法运算律的意义和应用原则(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.三、向量加法的实际应用例3一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置.反思感悟应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题.(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.1.知识清单：(1)向量加法的三角形法则.(2)向量加法的平行四边形法则.(3)向量三角不等式.(4)向量加法的运算律.(5)向量加法的实际应用.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：使用向量加法的三角形法则时要注意向量首尾相接，使用平行四边形法则时要注意把向量移到共同起点.1.下列等式错误的是()A.a+0=0+a=aB.AB+BC+AC=0C.AB+BA=0D.CA+AC=MN+NP+PM2.如图所示，在四边形ABCD中，AC=AB+AD，则四边形ABCD为()A.矩形 B.正方形C.平行四边形 D.菱形3.已知▱ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，若|AB|=3，则|DE+BA|=.4.若a，b满足|a|=2，|b|=3，则|a+b|的最大值为，最小值为.

答案精析问题1小明两次位移AB，BC的结果，与从点A直接到点C的位移AC结果相同，因此位移AC可以看作位移AB与BC合成的，即AC可以看作AB与BC的和.问题2力的合成应用了平行四边形法则.求F1和F2的合力F如图所示.问题3规则一样.知识梳理1.加法三角形2.平行四边形3.a例1解方法一如图，在平面内任取一点O，作OA=a，AB=b，BC=c，则OC=a+b+c.方法二如图，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，作平行四边形AOBC，则OC=a+b；再作向量OD=c，作平行四边形CODE，则OE=OC+c=a+b+c，故向量OE即为所求.跟踪训练(1)A(2)A问题4两个向量相加仍是一个向量，两个数相加是一个数量.当两向量同向时，和向量的模等于两向量模的和，当两向量反向时，和向量的模等于两向量模的差的绝对值，这与数的运算相似，当两个数同号时，和的绝对值等于绝对值的和，当两个数异号时，和的绝对值等于绝对值差的绝对值.问题5||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|；当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时右边取等号，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相反的非零向量时左边取等号.问题6向量的加法满足交换律：a+b=b+a，结合律：a+(b+c)=(a+b)+c.由图(1)知，在▱ABCD中，设AB=a，AD=b，则BC=b，DC=a，故AC=AB+BC=a+b.又AC=AD+DC=b+a，所以a+b=b+a.由图(2)知，设AB=a，BC=b，CD=c，则a+(b+c)=AB+(BC+CD)=AB+BD=AD，(a+b)+c=(AB+BC)+CD=AC+CD=AD，所以a+(b+c)=(a+b)+c.知识梳理1.||a|-|b|||a|+|b|相同相反2.b+a(a+b)+c例2(1)204(2)解①AB+CD+BC=(AB+BC)+CD=AC+CD=AD.②DB+AC+BD+CA=(DB+BD)+(AC+CA)=0+0=0.③AB+DF+CD+BC+FA=AB+BC+CD+DF+FA=AC+CD+DF+FA=AD+DF+FA=AF+FA=0.例3解如图所示，设AB，BC分别是直升飞机的位移，则AC表示两次位移的