小学数学第六章　§6.2　6.2.2　向量的减法运算

6.2.2向量的减法运算学习目标1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减综合运算.一、向量的减法运算及其几何意义问题1在初中，我们学过相反数，课本上是怎么给它定义的？互为相反数的两个数有什么性质？结合定义和性质，我们能否给出“相反向量”的定义？问题2在数的运算中，减法是求两个实数的差的运算，与加法是互逆运算，其运算法则为“减去一个数等于加上这个数的相反数”，类比上面的这段话，把其中的“数”变为“向量”，上面这段话变成什么了？问题3如果已知OA=a，OB=b，请利用向量减法与加法的转化规则，用作图的方法得到a-b.知识梳理1.相反向量：与向量a长度，方向的向量，叫做a的向量，记作.2.相反向量的性质：(1)零向量的相反向量仍是.(2)对于相反向量有：a+(-a)=(-a)+a=.(3)如果a，b互为相反向量，那么a=-b，b=-a，a+b=.3.向量的减法：向量a加上b的，叫做a与b的差，即a-b=a+(-b)，求两个向量的运算叫做向量的减法.从定义可以看出，向量的减法可以转化成向量的加法来进行：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.4.已知向量a，b，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则BA=a-b.即a-b可以表示为从向量b的指向向量a的的向量，这就是向量减法的几何意义.归纳口诀为共起点、连终点、指被减，意思是求两个向量的差向量时，起点要重合，连接它们的终点，方向由减向量的终点指向被减向量的终点.例1如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a+b-c.二、向量的简单应用例2(1)化简：①NQ-PQ-NM-MP；②(AB-CD)-(AC-BD)；③(AB+MB)+(-OB-MO)；④AB-AD-DC.(2)如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=QC，则化简AB+AC-AP-AQ的结果为()A.0 B.BP C.PQ D.PC反思感悟(1)向量减法运算的常用方法(2)向量加减法化简的两种形式①首尾相连且求和.②起点相同且求差.提醒：解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用.三、向量加减法的综合应用问题4通过上节课，我们知道已知a，b，||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.用-b替换式子中的b，有什么结论？总结一下||a|-|b||与|a±b|及|a|+|b|三者有什么样的大小关系？例3(1)在四边形ABCD中，AB=DC，若|AD-AB|=|BC-BA|，则四边形ABCD是()A.菱形 B.矩形C.正方形 D.不确定(2)已知|AB|=7，|AD|=9，则|AB-AD|的取值范围为.延伸探究思考对任意的向量a与b，|a+b|≥|a-b|是否一定成立？反思感悟(1)用向量法解决平面几何问题的步骤①将平面几何问题中的量抽象成向量.②化归为向量问题，进行向量运算.③将向量问题还原为平面几何问题.(2)用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键①利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段表示的向量相等即可.②根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键.1.知识清单：(1)向量的减法运算.(2)向量减法的几何意义.(3)向量加减法的混合运算.(4)向量加减法的综合应用.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：忽视向量共起点时才可进行向量的减法运算.1.在△ABC中，BC=a，CA=b，则AB等于()A.a+b B.-a-bC.a-b D.b-a2.化简PM-PN+MN的结果是()A.MP B.NP C.0 D.MN3.(多选)若非零向量a，b互为相反向量，则下列说法中正确的是()A.a∥b B.a≠bC.|a|≠|b| D.b=-a4.若菱形ABCD的边长为2，则|AB-CB+CD|的长度为.

答案精析问题1只有符号不同的两个数叫做相反数，互为相反数的两个数的绝对值相等.由于向量既有大小，又有方向，所以我们可以从这两个角度，类比相反数的定义和性质，给出如下相反向量的定义，长度相等但方向相反的两个向量称作相反向量.问题2类比上面的这段话，我们可以得到：在向量的运算中，减法是求两个向量的差的运算，与加法是互逆运算，其运算法则为“减去一个向量等于加上这个向量的相反向量”.问题3如图，作OD=-b，由向量减法与加法的转化规则可知a-b=a+(-b)=OA+OD，以OA和OD为邻边作平行四边形OACD，则OA+OD=OC，且AC与OD平行且相等.再结合相反向量的定义，在四边形OCAB中，AC与OB平行且相等，所以四边形OCAB是平行四边形，所以BA=OC=a-b.知识梳理1.相等相反相反-a2.(1)零向量(2)0(3)03.相反向量差4.终点终点例1解方法一如图①，在平面内任取一点O，作OA=a，AB=b，则OB=a+b，再作OC=c，则CB=a+b-c.方法二如图②，在平面内任取一点O，作OA=a，AB=b，则OB=a+b，再作CB=c，连接OC，则OC=a+b-c.例2(1)解①原式=(QP-QN)+(MN-MP)=NP+PN=NP-NP=0.②原式=AB-CD-AC+BD=(AB-AC)+(DC-DB)=CB+BC=0.③方法一原式=AB+MB+BO+OM=(AB+BO)+(OM+MB)=AO+OB=AB.方法二原式=AB+MB+BO+OM=AB+(MB+BO)+OM=AB+MO+OM=AB+0=AB.方法三设O是平面内任一点，则原式=(OB-OA)+(OB-OM)-OB-MO=OB-OA+OB-OM-OB+OM=OB-OA=AB.④方法一原式=DB-DC=CB.方法二原式=AB-(AD+DC)=AB-AC=CB.方法三设O是平面内任一点，则原式=(OB-OA)-(OD-OA)-(OC-OD)=OB-OA-OD+OA-OC+OD=OB-OC=CB.(2)A[AB+AC-AP-AQ=(AB-AP)+(AC-AQ)=PB+QC=QC-BP=0.]问题4因为|-b|=|b|，所以用-b替换式子中的b可得到||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|，结合两个式子可知||a|-|b||与|a±b|及|a|+|b|的关系为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.口诀：同号取等方向同，异号取等方向反.例3(1)B(2)[2，16]延伸探究解不一定