利息理论及其应用(第五版)-教学课件全套1-7 利息度量 -利率风险

利息度量孟生旺什么是利息度量？利息：资金增量利息度量（利率）：单位资金、单位时间的资金增量单位时间？年、月、日、20天利率的种类：年利率、月利率、日利率、瞬时利率（利息力）…在现实生活中，利率的常见表现形式？年化利率（年名义利率）各种利息度量（利率）之间的转化关系？定义：时间零点的1元在时间t的累积值,记为性质：描述资金随着时间增长变化的过程。利息度量的基础。a(0)=1；a(t)通常是时间的增函数；当利息是连续产生时，a(t)是时间的连续函数。累积函数0t1累积函数

例：假设累积函数为计算t=0时的500元

，在t=2的累积值。

解：例：单利的累积函数例：复利的积累函数贴现函数定义：时间t的1元在时间零点的现值,记为性质：与累积函数a(t)互为倒数0t1例：累积函数为，计算：（1）t=3时的500元在t=0

的价值，（2）

t=3时的500元在t=1时的价值。解：（1）（2）500？例：常用的贴现函数单利的贴现函数复利的贴现函数注：除非特别申明，今后一概使用复利。有效利率（实际利率）期末的利息与期初本金之比1a(t)a(t+1)0t

t+1有效利率用百分比表示，如8%利息在期末支付通常使用的时间单位是年如无特殊说明，利率是指年利率注：例：1000元存入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年末存款余额为1050元，求：第一年和第二年的有效利率分别是多少？整个存款期间（2年期间）的有效利率是多少？100010201050012考虑时间区间(t,t+1)：例：单利的有效利率是递减的1a(t)a(t+1)0t

t+1单利的累积函数：复利的累积函数：例：复利的有效利率是常数考虑时间区间(t,t+1)1a(t)a(t+1)0t

t+1有效利率的类型有效利率可以定义在任意长度的时间区间：年有效利率月有效利率日有效利率12天的有效利率……注：通常会年化表示，即表示为年名义利率（年化收益率）单利和复利的比较

例：时间零点投资100万元，期限2年，单利的年利率为5%，计算第2年末的累积值。

（1）一次性投资2年（2）先投资1年，到期后再投资1年。解：（1）100×（1+5%×2）=110（2）100×（1+5%）=105105×（1+5%）=110.25012100？

例：时间零点投资100万元，期限2年，复利的年利率为5%，计算第2年末的累积值。

（1）一次性投资2年（2）先投资1年，到期后再投资1年。解：（1）100×(1+5%)2=110.25（2）100×(1+5%)=105105×(1+5%)=110.25

012100？单利的缺陷：不满足一致性（分段投资产生更大的累积值）证明：复利满足一致性例：单利的年利率为i，如果把1年划分为n个等间隔的时间段进行投资，年末的累积值是多少？当n

时会怎样？注：此时

i

是年名义利率，称作利息力（瞬时利率，连续复利），后面详细介绍01/n

2/n

3/n

1单利与复利的比较单利的本金恒定，复利在前期的利息转为后期的本金单利的有效利率逐期递减，复利的有效利率为常数。当t=0或1时，单利和复利产生相同的累积值:1+i当0<t<1时，单利比复利产生更大的积累值:当t>1时，复利比单利产生更大的积累值:复利单利单利和复利的累积函数（i=10%）复利：长期坚持的重要性25537.78110000每天增加1%：每天减少1%：约定：利率表示为年利率，如

投资时间：2020年1月6日

~2020年5月7日，如何确定时间t是多少年？t=投资天数

每年的天数计息时间（1）“实际/365”规则（actual/actual）：投资天数按两个日期之间的实际天数计算，每年按365天计算。（2）“实际/360”规则：投资天数按两个日期之间的实际天数计算，每年按360天计算。称为银行家规则

(banker’srule)。（3）“30/360”规则：每月按30天计算,每年按360天计算。时间t的计算惯例例：投资者在2019年6月14日存入基金10000元，2020年2月7日取出，基金按单利计息，年利率为8%，分别根据下列规则计算投资者可以获得的利息金额：（1）“实际/365”规则（2）“实际/360”规则（3）“30/360”规则（1）在“实际/365”规则下，实际投资天数为238，

t=238/365

利息金额为：2019年6月14日-2020年2月7日（2）在“实际/360”规则下，实际投资天数为238，t=238/360

利息金额为：2019年6月14日-2020年2月7日2019年6月14日-2020年2月7日（3）在“30/360”规则下，投资天数为：故t=233/360

利息金额为：应用EXCEL计算（自学MOOC中的视频）

有效贴现率（实际贴现率）本金累积值利息=累积值-本金注：可以在任意时间区间定义有效贴现率例：如果年有效贴现率为d，则年末的1元在年初的现值为1-d

X=1-d101解：假设年末的1元相当于年初的X，则当年的利息为1

X。根据有效贴现率的定义：例：如果任意一个时期的有效贴现率为d，则期末的1元在期初的现值为1-d

X=1-d101解：假设期末的1元相当于期初的X，则当期的利息为1

X。由有效贴现率的定义：在任意时间区间定义有效贴现率例：年有效贴现率为5%，计算t=2时的50万元在t=0时的价值。解：

50

(15%)(15%)=45.1253601250万?有效利率i与有效贴现率d的关系（1）1

‒d101利息：d年末的1元在年初的现值为：1‒d根据利率的定义：有效利率i与有效贴现率d的关系（2）11+i01利息：i根据贴现率的定义：v=1/(1+i)

=1–d解释：01有效利率i

与有效贴现率d

的关系（3）1

‒dv=1/(1+i)1证明：注：年末的i

相当于年初的d。有效利率i

与有效贴现率d的关系（4）证明：解释：i

和d都表示时刻零点投资1元所获得的收益。i

–d=id有效利率i

与有效贴现率d的关系（5）证明：解释：本金有d元差额，导致的利息差额是id。本金累积值利息11+ii1-d1d本金差额：d利息差额：i-d解释：i

–d=id

例:有效利率i

与有效贴现率d的关系（6）证明：贴现函数：累积函数与贴现函数的不同表示方式

累积函数：有效利率有效贴现率有效利率i

和有效贴现率d的极限关系如果有效利率趋于无穷？例：投资者将20000元存入银行，

在最初4年，按年利率i计息；

在随后4年，按

i‒0.02计息；

在第8年末，余额为22081.10元。

若账户的年利率为i

+0.01，则账户在第10年末的余额为多少？（按复利计算）0200004810ii‒0.0222081.10?i

+0.010200004810ii‒0.0222081.10?i

+0.01解：比较贴现率：债券的贴现率d＝5%储蓄的贴现率d＝i/(1+i)=4.988％比较利率：债券的利率储蓄的利率为5.25％例：面值为100元的一年期债券的价格为95元。一年期储蓄存款的利率为5.25％。投资者有100万元需要投资，应该选择存款还是购买债券？练习：当前时刻投资750将在25年末增加到2097.75元。如果在10年末，15年末和25年末分别投资5000元，计算这些投资的现值之和。

7502097.755010152025500050005000？已知年有效利率为5%，问：（1）100万元贷款在年末的利息是多少？（2）如果在贷款起始日收取利息，应该收取多少利息？（3）有效贴现率是多少？（4）写出累积函数和贴现函数。（5）分别用有效利率和有效贴现率计算，5年末的100万元在时间零点的现值。练习年名义利率有效利率：期末利息与期初本金之比。（任意时间区间）年有效利率：年末利息与年初本金之比。（一年）年名义利率：将任意时间区间上的有效利率年化表示。（年化利率，年化收益率）例：每个季度的有效利率为1.5%，则年名义利率为6%例：月有效利率为1%，则年名义利率为12%例：3年期的有效利率为15%，则年名义利率为5%例：考虑下述两笔贷款（1）贷款100万，年利率为12％，年末支付利息12万。12％是年有效利率（2）贷款100万，年利率为12％，每月末支付一次利息，每次支付1万元。12%是年名义利率例：理财产品的期限是一个月，到期可获得0.5%的收益率（月有效利率）。表述：理财产品的期限是一个月，年化收益率是6%。含义：6%是年名义利率

年名义利率=区间上的有效利率×一年包含的区间数年名义利率的表述方式季度的有效利率为3%，通常表述为年名义利率：年利率为12%，每年结转4次利息年利率为12%，每年复利4次年利率为12%，每季度结转一次利息年利率为12%，每季度复利一次表示年名义利率

m表示每年包含的区间数，即每年复利的次数例：i(4)=8%表示每年复利4次，每季度的有效利率为2%例：i(1/5)=10%表示每5年复利1次，5年期的有效利率为50%年名义利率的符号表示例：银行三个月期限的存款年利率为1.6％，存1000元满3个月可得多少利息？（注：银行存款利率是年化利率）解：i(4)＝1.6%三个月的有效利率为1.6%÷4=0.4%存1000元满3个月可得利息：1000×0.4%=4元例：银行5年期定期存款的年利率为6％，存1000元满5年可得多少利息？（注：银行存款利率是年化利率）解：m=1/5,i(1/5)＝6%5年期的有效利率为:6%(1/5)=30%存1000元满5年可得利息：1000×30%=300元年名义利率与任意区间上有效利率的转化关系：

例：理财产品的期限是100天，期初投资20万元到期可以获得21万元。该理财产品的年化收益率是多少？解：投资区间的有效收益率=1/20m=365/100=3.65年化收益率=m

投资区间的有效收益率=3.65/20

=

18.25%59年名义利率与年有效利率i

的关系：

考虑时间零点的1元在年末的累积值：

时间：01/m2/m……m/m=1……111+i年名义利率：在1/m年的时间区间上，与复利利率等价的单利利率年名义利率与年有效利率i

的关系：例：投资100万元，年利率为12%。在下述条件下计算1个月末的累积值：（1）假设上述利率是年有效利率（2）假设上述利率是年名义利率，每年复利12次例：下述哪个利率对投资者更加有利？

年利率为5%，每半年复利一次年利率为4.95%，

每天复利一次（每年按365天计算）例：给定年名义利率为10%，当复利次数增加时，年有效利率如何变化？复利次数（m）年有效利率（i）110.00%210.25%410.38%1210.47%52（每周）10.51%365(每天)10.52%问题：给定年名义利率

，若复利次数m为无穷大，年有效利率是多少？例：年名义利率为6%，每8个月复利一次。写出累积函数的表达式，在t=0时投资200万元，计算在t=2.5时的累积值。解:

i(m)=6%,每年复利m=12/8=1.5次，所以例：投资者A在时间零点存入

X，年利率为i,每半年复利一次.

投资者B在时间零点存入

2X

，按单利计息，年利率为i.

他们在第8年的后6个月赚取的利息相等.计算

i.A：XB：2X第8年的后6个月赚取的利息相等：077.58练习：银行储蓄业务的年利率（都是年名义利率）如下，计算：（1）年有效利率；（2）存款100元，满一年时的利息。存款利率（％）3个月6个月1年2年3年5年m

=

4m

=

2m

=

1m

=

1/2m

=

1/3m

=

1/51.802.252.523.063.694.14存款利率：年名义利率和年有效利率的比较存款利率3个月6个月1年2年3年5年年名义利率1.802.252.523.063.694.14年有效利率1.8122.2632.523.0153.5623.834小于1年时，年有效利率大于年名义利率超过1年时，年有效利率小于年名义利率参考答案：年名义贴现率有效贴现率：期末的利息与期末累积值之比（任意时间区间）年有效贴现率：年末的利息与年末累积值之比（一年）年名义贴现率：将任意区间上的有效贴现率年化表示

年名义贴现率=任意区间上的有效贴现率一年包含的区间数例：月有效贴现率为1%

=

年名义贴现率为12%，每年贴现12次2年期的有效贴现率为8%

=

年名义贴现率为4%，每2年贴现1次名义贴现率的符号表示

：每1/m年的有效贴现率为年名义贴现率=区间的有效贴现率一年包含的区间数年名义贴现率与年有效贴现率的关系每

年的有效贴现率为01/m……1-2/m1-1/mm/m=1……111-d时间：名义贴现率与有效贴现率的关系：年名义贴现率：在1/m年的时间区间内，与年有效贴现率d等价的单贴现率。例：年名义贴现率为6％，每半年贴现1次。第6年末到期的1000，在时间零点的现值是多少？解：061000

例：给定年名义贴现率10%，当贴现次数的增加时，年有效贴现率如何变化？贴现次数（m）年有效贴现率（d）1(每年)10.00%2(每半年)9.75%4(每季)9.63%12(每月)9.55%52(每周)9.53%365(每天)9.52%∞9.52%名义利率与名义贴现率的关系(1)011名义利率与名义贴现率的关系(2)有效利率–有效贴现率=有效利率

有效贴现率用名义利率和名义贴现率表示的累积函数和贴现函数例：假设每月贴现一次的年贴现率为6％，计算与其等价的每季度复利一次的年利率是多少？（等价的含义：使用两种利息度量工具计算现值（或累积值），结果相等）

01……12月4季现值：例：投资者在基金中存入10万元，15年后再存入20万元。在前10年，基金按每年贴现4次的年贴现率d(4)

计息，之后按每年复利2次的年利率6%计息。30年后，基金的累积值为100万元。计算d(4).10200153010010解：8110200153010010等价利息度量之间的数值大小关系利息力（瞬时利率）年有效利率：度量资金在一个年度的增长率年名义利率：度量资金在任意区间上的增长率年名义利率=区间上的有效利率一年包含的区间数例：如果月有效利率为0.5%，则年名义利率为6%利息力：度量资金在无穷小区间（时点）上的瞬时增长率，年化表示

tt+h

当时间区间无穷小时（h

0），该区间的年名义利率为：

定义：时刻t的利息力（瞬时利率）为解释：在无穷小的时间区间上，单位资金在单位时间（一年）的增长率例：单利的利息力递减单利的累积函数单利的利息力为例：复利的利息力是常数

复利的利息力:

复利的累积函数：例：复利条件下，利息力是m

的年名义利率问题：复利条件下，当m

时，年名义贴现率d(m)等于利息力？复利条件下，利息力的等价概念：连续收益率对数收益率例：对数收益率具有可加性资产价格：100,110,121每天的对数收益率：j1=ln(110/100),j2=ln(121/110)连续两天的对数收益率：j12=j1+j2=ln(121/100)贴现力在t时的贴现力为利息力=贴现力

两边积分：故

用利息力表示的累积函数例：已知利息力

(t)=0.01t,计算t=2时的100在t=1时的价值012？100

例：假设利息力如下：计算前4年（即0~4年期间）的年有效利率。0340.02t0.0595参考答案:0340.02t0.05例：账户A按照每年复利两次的年名义利率10%计息。账户B按照单利i计息。在第5年末,即t=5时，

两个账户的利息力相等。计算i。

05思路：通过累积函数a(t)求解利息力

(t)。97参考答案：

对于账户A：

对于账户B：利率概念辨析实际利率与名义利率（考虑任意一个时期）：在经济学中，实际利率扣除了通胀率；名义利率包含通胀率。用i表示名义利率，

r表示实际利率，

表示通胀率，则

1+i=(1+r)(1+

)近似：

i

r+

1元1.32元1元/个1.2元/个名义利率=32%通胀率=20%实际利率=10%1个1.1个1+32%=(1+10%)(1+20%)1+i=(1+r)(1+

)利率和贴现率：在计算现值时，利率有时被误称为贴现率。计算现值可以用利率、贴现率、利息力：小结利息度量孟生旺利息度量累积函数、贴现函数有效利率、有效贴现率年名义利率、年名义贴现率利息力（瞬时利率）累积函数：时间零点的1元在时间

t的价值，记为贴现函数：时间

t的1元在时间零点的价值，记为复利：单利：在任意时间区间上可以定义有效利率和有效贴现率：di注：通常情况下，i和d

分别表示1个年度的有效利率和有效贴现率。01复利条件下的累积函数和贴现函数：累积函数：贴现函数：将任意时间区间上定义有效利率年化表示，就是年名义利率：01/mj…2/mm/m=1注：如果年名义利率为，则[0,1/m]区间上的有效利率为年初的1元在年末的价值：将任意时间区间上定义有效贴现率年化表示，就是年名义贴现率：01/mk…2/mm/m=1注：如果年名义贴现率为，则[0,1/m]区间上的有效贴现率为年末的1元在年初的价值：在无穷小区间上定义有效利率，并将其年化表示，就是利息力（瞬时利率）：区间[t,t+h]上定义有效利率：年化表示为年名义利率：利息力：无穷小区间上的年名义利率用利息力表示累积函数：复利的利息力：复利的累积函数：累积函数：贴现函数：等额年金年金的含义一系列的付款（或收款）形成的现金流。付款时间和付款金额具有一定规律性。例：住房贷款的还款额年金的类型（1）支付时间和支付金额是否确定？确定年金风险年金年金的类型（2）支付期限？定期年金永续年金年金的类型（3）支付时点？期初付年金期末付年金年金的类型（4）开始支付的时间？即期年金，简称年金延期年金年金的类型（5）每次付款的金额是否相等？等额年金变额年金如何计算年金的价值？每年支付1次的年金每年支付m

次的年金连续支付的年金（每年支付∞

次的年金）期末付等额年金

年金的价值：现值终值（累积值）0123…

n111…1时间：金额：每年末支付一次的等额年金：现值0123…

n111…1v

v2

v2

…vn

每年末支付一次的等额年金：终值（累积值）0123…

n111…1例：解释等价关系含义：初始投资1，在每年末产生利息i，这些利息的现值为。

在第n个时期末收回本金1，其现值为。0123…

n1

iii…i1例：解释等价关系：0123…

n111…10n1……iiiii+11例：银行贷款为100万元，期限10年，年利率为6％。分别在下述两种情况下计算银行在第10年末的累积值（先根据经验判断，哪个的累积值更大？）。（1）本金和利息在第10年末一次还清；（2）利息在当年末支付，本金在第10年末偿还（收到的利息按6%的利率投资）。0123…

10666…6100参考答案：（1）（2）

思考题一项年金，每k

年末支付一次，每次支付1元，一共支付n次。年有效利率为i，写出该年金的现值计算公式。期初付等额年金含义：在n个时期，每个时期初付款1元。

012…

n-1

n111…11+i1+i…1+i注：年初的1元=年末的1+i

元练习：验证下述关系成立012…

n-1

n111…1期初付等额年金的终值（积累值）练习：解释下述关系成立0n1……ddd1diiii+1例：期初付年金和期末付年金的关系1012…

n-1

n111…1111…

1例：期初付年金和期末付年金的关系11……11n次111……11例：一项年金还有12次支付，每年初支付10000;第一次支付发生在当前时刻。如果将该年金转换为25年期的期末付年金，第一次支付发生在第一年末。如果年有效贴现率为5%，计算每年末的付款金额。令X是新年金在每年末的支付额，则参考答案:d=5%例：投资者在每4年的期初存入100，持续40年。账户在40年末的累积值为x,是账户在20年末的累积值的5倍.计算

x.048…

20…

40100100100…100…100012…

5…

10令4年期的有效利率为j参考答案:应用Excel计算等额年金（参见MOOC视频）计算现值：PV(rate,nper,pmt,[fv],[type])计算终值：FV(rate,nper,pmt,[pv],[type])rate

利率

nper

付款次数

pmt

每次的付款额

fv

终值。缺省值为0pv现值。缺省值为0

type

0表示期末，1表示期初。缺省值为0例：年金在每年末支付1元，支付10次。假设年利率为5%，计算该年金的现值。例：年金在每年初支付1元，支付10次。假设年利率为5%，计算该年金的现值例：年金在每年末支付1元，支付10次。假设年利率为5%，计算该年金的终值例：年金在每年初支付1元，支付10次。假设年利率为5%，计算该年金的终值例：年金在每年末支付100元，支付10次。第10年末另有1000元付款。假设年利率为5%，计算该年金的现值。0123……

9

10100100100……1001001000应用EXCEL求解延期年金含义：延期m年开始支付，每年末支付1元的n

年期年金01…

m

m+1m+2…m+n11…1延期年金01…

m

m+1m+2…m+n11…111…1例：年金共有7次付款，每次支付1元，分别在第3年末到第9年末。求年金的现值和在第12年末的积累值。永续年金含义：无限期支付的年金期末付：解释：将本金1/i

按利率i无限期投资，每期获得1元利息1111…

期初付永续年金的现值：例：n年期年金=两个永续年金之差nn

年期年金0例：每年初支付1元的永续年金的现值是20，如果将该年金转换为一个每2年初支付R的永续年金，且两个永续年金的现值相等。计算R。两年期的实际贴现率D为：故新的永续年金的现值为参考答案2例：

一笔10万元的遗产，年收益率为7％第一个10年将每年的利息付给受益人A，第二个10年将每年的利息付给受益人B，二十年后将每年的利息付给受益人C。确定三个受益者的相对受益比例。01020解：10万元每年产生的利息是7000元。A所占的份额是B所占的份额是C所占的份额是A、B、C受益比例近似为49％，25％和26％。例：解释为何成立0mm+n练习：A,B,C,D分享一个期末付永续年金。A获得第一个

n次付款，B获得随后的2n次付款,C获得第3n+1,…,5n次付款，D获得后期的所有付款。假设B和D的现值相等。计算A,B,C,D的现值之比。n3n5n参考答案：B=DA:B:C:D=(1–vn)

:(vn–v3n):(v3n–v5n

):(v5n)=0.2138:0.3003:0.1856:0.3003每年支付m次的期末付年金例：将1年等分为m个区间，每个区间末支付1/m，累积值为每个区间的长度为1/m年每个区间末的付款为1/m元每个区间的有效利率为

j年名义利率为每年支付m次的期末付年金的现值每年支付m次的期末付年金的终值例：每月末支付400，持续支付10年的现值？如果每年末支付一次，每次12*400元，现值为：改为每月末支付一次，每次支付400元，现值为：例：每季度末支付200，持续支付5年的现值？如果每年末支付一次，每次4*200元，现值为：改为每季末支付一次，每次支付200元，现值为：每年支付m次的期初付年金的现值证明见下页每年支付m次的期初付年金的现值例：投资者向一基金存入10000元，基金的年利率为5%。如果投资者在今后的5年内每个季度末从基金领取一笔等额收入，则基金在第5年末的价值为零。计算该投资者每次可以领取多少。解：若每年末领取4x，现值为，改为每季度领取

x,现值为4x4x4x4x4x1000012345应用EXCEL计算（参见MOOC视频）连续支付的等额年金含义：连续付款，每年的付款总量为1元。记号：111012n连续支付年金=年支付次数m趋于无穷大

连续支付年金的现值（另一种方法）：考虑时间区间（t,t+dt），因为年付款为1，故区间（t,t+dt）的付款为

dt，其现值为

vtdt例：连续支付，每年的支付总量为1，支付期限为无穷的现值。连续支付年金的累积值：考虑时间区间（t,t+dt）区间（t,t+dt）内的付款为

dt，其终值为例：年金在时间区间[2,5]内连续支付，每年的付款额为300元，计算该年金的现值。假设年利率为5%。解：

在区间（t,t+dt）的付款额为300dt,现值为vt300dt

故有例：年金在时间区间[2,5]内连续支付，每年的付款额为300元，计算该年金的现值。假设利息力为

(t)=1/(1+

t)

。解：

练习：年金在时间区间[2,5]内连续支付，每年的付款额为300元，计算该年金在t=3时的价值。假设利息力为

(t)=1/(1+

t)

。如何计算年金的价值？付款次数n，利率i例：投资者在每年初向基金存入1万元，当年利率为多少时，在第20年末可以累积到30万元？价值方程用Excel求解即得j=0.0372应用EXCEL求解方程（参见MOOC视频）小结等额年金孟生旺等额年金年金的概念和分类每年支付一次的年金每年支付m次的年金连续支付的年金每年支付1次的年金的价值终值=现值

(1+i)n

期初付=期末付

(1+i)期末付现值每年支付m次年金的价值期末付期初付连续支付年金的价值（m

）（两者相等）变额年金孟生旺主要内容离散变额年金（每年变化一次）每年支付1

次的离散变额年金（递增、递减、复递增）每年支付m次的离散变额年金（递增、递减、复递增）连续支付（每年支付∞

次）的离散变额年金（递增、递减、复递增）连续变额年金（连续变化）一般形式的连续变额现金流特例：连续递增（或递减）的年金递增年金期末付递增年金：第一年末支付1元，…，第n年末支付n元。0123……n123……n

期末付递增年金的现值公式：例：写出下述年金的现值表达式PPP……PP

Q2Q……(n-2)Q(n-1)Q递增年金的累积值为期初付递增年金期初付1

23…n-1n123…n-1n期末付例：递增永续年金的现值当n

时，可以得到递增永续年金的现值为例：年金在第一年末的付款为1000元，以后每年增加100元，总的付款次数为10次。如果年利率为5%，这项年金的现值是多少？解：10001100180019009009009009001002009001000例

：当前时刻在基金中投资700，可以在第一年末领取10,第二年末领取20,第三年末领取30，以此类推，直至达到可能领取的最大金额后，下一年末再领取剩余金额R。假设基金的年利率为5%，计算R。n10设最后一次不规则支付为R，则140应用Excel求解前述方程：应用EXCEL求解方程（参见MOOC视频）递减年金期末付递减年金：第1年末支付n元，…，第n年末支付1元。0123……nnn-1n-2……1

递减年金的分解时间

0123…n–1

n递减年金nn–1n–2…21等额年金111…11111…1…………

111期末付递减年金的现值：期末付递减年金的累积值：期初付递减年金：例：递增年金与递减年金之和nn-1n-2……1123nn+1n+1n+1……n+1例：一项年金在第一年末付款1元，以后每年增加1元，直至第n年。从第n+1年开始，每年递减1元，直至最后一年付款1元。证明该项年金的现值为

证明：练习：一项20年期的年金，每年末的付款金额如下表所示。年利率为6%，计算其现值。年份金额160027003800490051000611007120081300914001015001114001213001312001411001510001690017800187001960020500年份金额分解16005001002700500200380050030049005004005100050050061100500600712005007008130050080091400500900101500500100011140050090012130050080013120050070014110050060015100050050016900500400178005003001870050020019600500100205005000解：复递增年金期初付复递增年金：时间零点支付1元，以后每年增长

r含义：付款金额按照某一固定比例r增长的年金。

注：r<0，递减。证明：表示扣除年金增长率以后的利率解释：期末付复递增年金：例：10年期的年金在第一年末付1000元，此后的支付额按5％递增，假设年利率为4%，计算这项年金在时刻零的现值。解：

现值：例：复递增年金的增长率与年利率相等,即r=i,计算期初付复递增年金与期末付复递增年金的现值。解：期初付：

期末付：练习：一项永续年金，每年末支付100。在第5次付款之后，将其替换为25年期的期末付年金，该年金在第一年末支付X，以后每年增长8%。该定期年金在第10次付款后，将其替换为每年末支付Y的期末付永续年金。假设年利率为8%，计算Y。X1.08X1.082X1.0824X替换后的递增年金：25次付款1.0810X1.0824XY………………原永续年金的价值=100/0.08＝1250第10次付款后，剩余的年金X1.08X1.082X1.083X1.0824X第一次替换后的递增年金：25次付款永续年金1250永续年金的价值为100/0.08＝1250XXXXX红点处的价值54*1.081054*1.0824永续年金的价值为Y/0.08Y/0.08=54(1.0810v+1.0811v2+…+1.0824v15)Y……=54

(1.08)9

1554*1.0811第10次付款后，剩余的年金注：v=1.08-1每年支付m次的变额年金每年支付1次每年支付m次连续支付（每年支付∞次）在期末付等额年金中，年金价值的变化：

在变额年金中，结论仍然成立。每年支付m次的期末付年金考虑1年期：将期末的付款等分为

m次支付，价值变为原来的倍每年支付

m

次的期末付年金………………每年支付m次的期初付年金每年支付m次的期末付年金每年支付m次的期初付年金每年支付

m

次的期初付年金例：一项10年期的年金，每月末支付一次。第一年的每月末支付2000元，以后每年的付款额都在上年的基础上增长5%。假设年利率i

=8%，计算年金的现值。解：第一年的付款总额为24000元，以后每年增长r=5%，是复递增年金。

如果每年的付款发生在年末，则现值为

如果每年分m=12次支付，其现值为含义：连续支付（每年支付∞次），但支付金额离散变化。连续支付的递增年金连续支付的递减年金连续支付的复递增年金连续支付的任意变额年金连续支付的变额年金例：连续支付的递增年金：第一年连续支付1元，第二年连续支付2元，…，第n年连续支付n元。123n0123n-1n例：连续支付的递减年金：第一年连续支付n元，第二年连续支付n-1元，…，第n年连续支付1元。nn-1n-210123n-1n例：连续支付的复递增年金：第一年连续支付1元，第二年连续支付(1+r)元，…，第n年连续支付(1+r)n-1元。11+r(1+r)2(1+r)n-1

0123n-1nC1C2C3

Cn连续支付的变额年金：一般形式0123n-1n230连续支付变额年金的现值C1C2C3

Cn0123n-1nC1C2C3

Cn连续递增连续递减连续复递增例：连续支付的递增永续年金例：第1年连续支付30元，第2年连续支付40元，第3年连续支付50元，直到第10年连续支付120元，假设年利率为5%，求该年金的现值。解：参考答案：连续变额现金流：付款率的概念付款率的简例：在1年内连续支付1元，每个时点的付款率为1元在1年内连续支付x元，每个时点的付款率为x元付款率的定义：单位时间（1年）的付款额在区间[t,t+dt]的付款额，除以dt，即得时刻t的付款率ρ(t)。付款率ρ(t)乘以时间长度dt，即得区间[t,t+dt]上的付款额r(t)dt。236例：在时刻t的付款率为9t+6，计算在区间[2,5]的付款额。例：付款率为5，计算在区间[a,b]的付款额。现值：付款从时刻a到时刻b，在时间t的付款率为r(t)，利息力为d(t)。在区间[t,t+dt]的付款额为r(t)dt，现值为所有付款额在时刻0的现值为：例：一项10年期的年金，在时刻t的付款率为9t+6，利息力为9％。计算此项年金在时刻零的现值。例：计算从t=

0到t=0.5连续支付的现金流的现值：在时点t的付款率为利息力为参考答案：终值（累积值）：付款从时间a到时间b，在时间t的付款率为r(t)，利息力为d(t)。所有付款在时间T的终值：例：一个连续支付的现金流，其付款率为，支付期间从

t=1到t=6，利息力为。计算此现金流在T=9的价值。例：计算n年期连续递增年金的现值时刻t的付款率为t，常数利息力为d，则：证明（课后练习）：例：计算n年期连续递减年金的现值在时刻t的付款率为n-t，利息力为常数d。证明（课后练习）：递增年金递减年金复递增年金每年支付m次的变额年金连续支付的变额年金一般连续变额现金流小结变额年金变额年金每年支付一次的变额年金递增年金递减年金复递增年金每年支付m次的变额年金连续支付的变额年金任意形式的连续支付现金流249递增年金递减年金复递增年金每年支付1次的变额年金终值=现值

(1+i)n

期初付=期末付

(1+i)251每年支付m次的变额年金期末付期初付连续支付的变额年金（m

）（两者相等）以付款率ρ(t)连续支付的现金流现值终值例：递增永续年金的现值当n

时，可以得到递增永续年金的现值为例：年金在第一年末的付款为1000元，以后每年增加100元，总的付款次数为10次。如果年利率为5%，这项年金的现值是多少？解：10001100180019009009009009001002009001000例

：当前时刻在基金中投资700，可以在第一年末领取10,第二年末领取20,第三年末领取30，以此类推，直至达到可能领取的最大金额后，下一年末再领取剩余金额R。假设基金的年利率为5%，计算R。n10设最后一次不规则支付为R，则140应用Excel求解前述方程：应用EXCEL求解方程（参见MOOC视频）递减年金期末付递减年金：第1年末支付n元，…，第n年末支付1元。0123……nnn-1n-2……1

递减年金的分解时间

0123…n–1

n递减年金nn–1n–2…21等额年金111…11111…1…………

111期末付递减年金的现值：期末付递减年金的累积值：期初付递减年金：例：递增年金与递减年金之和nn-1n-2……1123nn+1n+1n+1……n+1例：一项年金在第一年末付款1元，以后每年增加1元，直至第n年。从第n+1年开始，每年递减1元，直至最后一年付款1元。证明该项年金的现值为

证明：练习：一项20年期的年金，每年末的付款金额如下表所示。年利率为6%，计算其现值。年份金额160027003800490051000611007120081300914001015001114001213001312001411001510001690017800187001960020500年份金额分解16005001002700500200380050030049005004005100050050061100500600712005007008130050080091400500900101500500100011140050090012130050080013120050070014110050060015100050050016900500400178005003001870050020019600500100205005000解：复递增年金期初付复递增年金：时间零点支付1元，以后每年增长

r含义：付款金额按照某一固定比例r增长的年金。

注：r<0，递减。证明：表示扣除年金增长率以后的利率解释：期末付复递增年金：例：10年期的年金在第一年末付1000元，此后的支付额按5％递增，假设年利率为4%，计算这项年金在时刻零的现值。解：

现值：例：复递增年金的增长率与年利率相等,即r=i,计算期初付复递增年金与期末付复递增年金的现值。解：期初付：

期末付：练习：一项永续年金，每年末支付100。在第5次付款之后，将其替换为25年期的期末付年金，该年金在第一年末支付X，以后每年增长8%。该定期年金在第10次付款后，将其替换为每年末支付Y的期末付永续年金。假设年利率为8%，计算Y。X1.08X1.082X1.0824X替换后的递增年金：25次付款1.0810X1.0824XY………………原永续年金的价值=100/0.08＝1250第10次付款后，剩余的年金X1.08X1.082X1.083X1.0824X第一次替换后的递增年金：25次付款永续年金1250永续年金的价值为100/0.08＝1250XXXXX红点处的价值54*1.081054*1.0824永续年金的价值为Y/0.08Y/0.08=54(1.0810v+1.0811v2+…+1.0824v15)Y……=54

(1.08)9

1554*1.0811第10次付款后，剩余的年金注：v=1.08-1每年支付m次的变额年金每年支付1次每年支付m次连续支付（每年支付∞次）在期末付等额年金中，年金价值的变化：

在变额年金中，结论仍然成立。每年支付m次的期末付年金考虑1年期：将期末的付款等分为

m次支付，价值变为原来的倍每年支付

m

次的期末付年金………………每年支付m次的期初付年金每年支付m次的期末付年金每年支付m次的期初付年金每年支付

m

次的期初付年金例：一项10年期的年金，每月末支付一次。第一年的每月末支付2000元，以后每年的付款额都在上年的基