浙江省钱塘联盟2025-2026学年高一下学期4月期中考试 数学试卷

本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分150分，考试时间120分钟答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号所有答案必须写在答题卡上，写在试题卷上无效考试结束后，只需上交答题卡选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项1.已知集 ， 1.已知集 ，

1,

2,已知复数z满足z36i15，则复数z的虚部为 A.

C. D.已知向量a2,1，bx,3，则“x6”是“a//b”的 充分不必要条 B.必要不充分条C.充要条 D.既不充分也不必要条已知向量ea3ae夹角为

时，向量a在e上的投影向量为 1A.

3

3C.

5D.已知aln1 1，csin1，则a，b，c的大小关系是 ba

b

bc

ab

ca已知圆锥的表面积为12π，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为 ​

B. C.

D. A. B. C. D.在VABCABCabc，若3aBC2bCA4cAB0，则cosB

C.

D.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

m21m1i，z3i，下列选项正确的是 z1mz1z2mz1对应的点在第二象限，则m的取值范围为zz 在VABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列选项正确的是 AB”是sinAsinB”若b3c

B30，则CacosBacosCbc，则VABC若b18c20B60∘ f logax1, a2fx2的解集为0fx在Ra01

，下列选项正确的是 2gx

fx22a16 2 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分VABCABxACyAB为2AC长为

，则原图中该三角形BC边长 已知VABCAB3AC4O为VABCOAOBOCAOBC 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤aba

2，

2a与bπ 若abma2b，求实数ma求a与a已知VABCABCabc

Aa2VABC

，求VABC2sinx,3bcosx,12cos2xxRfxb fx 对xπ5πfxm0恒成立，求m 6如图OxOy是平面内相交成θOθπ,θπeexy 2 xOy为θ仿射坐标系，若在θ仿射坐标系下OMxe1ye2，则把有序数对xy叫做向量OM的仿射坐标，记为OMxy．已知在θ仿射坐标系下OA30，求向量OAOB2OAOB若点QAB上的动点（含端点，当θπ时，求QCQB 设AOBαOAtOB1对tR恒成立，求cosα本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分150分，考试时间120分钟答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号所有答案必须写在答题卡上，写在试题卷上无效考试结束后，只需上交答题卡选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项1.已知集 ， 1.已知集 ，

1,

2,【答案】AB13已知复数z满足z36i15，则复数z的虚部为 【答案】

C. D.

153

153 12iz的虚部为2

3

36i3 已知向量a2,1，bx,3，则“x6”是“a//b”的 充分不必要条 B.必要不充分条C.充要条 D.既不充分也不必要条【答案】【分析】由平面向量的共线定理进行求解a/【详解】由 ,得231xa/x6当x6时，b6,3→，则 a/a/故“x6”是“a/已知向量e为单位向量，a3，当向量a，e夹角为60o时，向量a在e上的投影向量为 1A.

3

3C.

5D.【答案】 【详解】因为向量ea3ae夹角为60 a在e→

acos60e3ee 1 3 1 3已知aln1 1，csin1，则a，b，c的大小关系是 ba【答案】

b

bc

ab

ca得答案【详解】因为aln1ln20

，csin1(0,1)所以bca

b32 已知圆锥的表面积为12π，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为

B. C.

D.【答案】r，母线长为lQπl2πr，即l2rQ圆锥的表面积为12ππr2πrl3πr212πr2 A. B. C. D.【答案】 在VABCABCabc，若3aBC2bCA4cAB0，则cosB

C.

D.【答案】a4cb2c，再利用余弦定理计算求解【详解】因为3aBC2bCA4cAB0 所以3aBC2bCA4cCABC0即3a4cBC2b4cCA0，BC与CA不共线，则3a4c0a4cb2c2b4c c2c2所以cosB

cb

11

24 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．已知复数z1m21m1i，z3i，下列选项正确的是 z1mz1z2mz1对应的点在第二象限，则m的取值范围为zz 【答案】

m21 m1m m1m21

m1A由m21m1i3im1

m2Bm21

m21m1i对应的点在第二象限，则m1

1m1Cm242 zzm21m1i3im2m242

m4m47m2m2 72

D正确在VABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列选项正确的是 AB”是sinAsinB”若b3c

B30，则CacosBacosCbc，则VABC若b18c20B60∘【答案】A

sin

2RR为三角形外接圆半径a2RsinA,b2RsinBABab，所以2RsinA2RsinBsinAsinB，ABsinAsinB对于B，根据正弦定

33sinC33 3 C 因为0Cπ

或C 因为c

b3，所以CB30C，根据正弦定理可得sinAcosBsinAcosCsinBsinC，ABCπ，所以sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC，sinCsin(AB)sinAcosB所以sinAcosBsinAcosCsinAcosCcosAsinCsinAcosBcosAsinB，所以cosA(sinCsinB)0，ABC(0,π，所以sinBsinC0，所以cosA0D，根据正弦定理

sinC20sin

210353

csinB20sin6020

3103因为b18c20B60∘，所以csinBbc11.fx11.fxa2fx2的解集为0fx在Ra01

，下列选项正确的是 2 gxfx22a16 2 【答案】递减且同时满足分段点左侧函数值大于等于右侧函数值即可；Da1和0a1分类讨论即可. 【详解】对于A：当a2时，fx log2x1, f(18,ff(1f(8log293A 对于B：当a2时，fx log2x1, x0f(x<2x272x0f(x<2，即log2x12log24，x14x3，所以0x3，fx2的解集为03Bxa2 Cfx在R上单调递减，则0a2a21log

a1C D（1）当0a1yx2a2x2a21x2a0所以在0y2yx2a2x2a21在0y2有一个交点即可，当1a2x2a0yx2a2x2a21在02a21x0y2．即2a21

，解得1a6a2x2a0yx2a2x2a21在(2a上单调递减，在2a0] x0y2a217y2x2a2x2a212a2)24(2a230，即7a24a160，a2a2不满足，综上所述：1a

6D正确填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分VABCABxACyAB为2AC长为

，则原图中该三角形BC边长 【答案】【详解】由已知VABC满足下列条件，ABAC，AB2，AC AB2AB2AC

6

故λb与b的夹角为锐角时，λ2且λ0 已知VABCAB3AC4O为VABCOAOBOCAOBC 【答案】【分析】根据数量积的几何意义即可求解 OAOBOC可知O为VABC AOBCAOACABAOACAOAB

AC

1

2327 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤aba

2，

2a与bπ 若abma2b，求实数ma求a与a（1）m（2）3（1）（2）根据模长公式以及夹角公式即可代入求解1→ → → ab

bcosa,b

2

2 由abma2b得abma2b0 展开得m 2abmab2b2 将abab代入得2m222m240m32aaa4ab a2b

→ aa2ba2ab24 313cosa,a2b→

→→

2

aa

a 已知VABCABCabc

Aa2VABC

，求VABC（1）（2） π 【分析（1）利用正弦定理及辅助角公式可得sinA，根据A的范围求解即可 （2）由面积公式可求得bc4，由余弦定理可求得bc4，即可得答案1由3asinABccosA1，得3sinAsinCsinCcosA1QC0,π，sinC03sinAcosA1，3sinAcosA1 π

π 2sinA61，即sinA62 QA0,π，Aππ,5π 6 Aππ，Aπ 2Q 1bcsinA 3bc V bc4由余弦定理b2c22bccosA得bc23bca24bc216bc42sinx,3bcosx,12cos2xxRfxb fx 对xπ5πfxm0恒成立，求m 6（1）Tππkπ5πkπk （1）fx2sin2xπ 3 （2）参变分离转化为函数的最值问题1fx→

π ab2sinxcosx

1

xsin2x

3cos2x2sin2x T2ππ由π2kπ2xππ2kπkZ得πkπx5πkπkZ fx的递增区间为πkπ5πkπkZ 2 6 6xπ5π，得2xππ4π

m

f

46

3 π 故2x时，sin2x 实数m的取值范围是2

1，f 2如图OxOy是平面内相交成θOθπ,θπeexy 2 xOy为θ仿射坐标系，若在θ仿射坐标系下OMxe1ye2，则把有序数对xy叫做向量OM的仿射坐标，记为OMxy．已知在θ仿射坐标系下OA30，求向量OAOB2OAOB若点QAB上的动点（含端点，当θπ时，求QCQB 设AOBαOAtOB1对tR恒成立，求cosα

7（3）2（1）以e1e2为基底表示出QCQB OAtOB1转化为关于t的二次函数形式，利用判别式即可求出cosα1由OA30OB02OC32OAOB

6,22θ → 3，则e1e22 OQOAAQ

3

λ 2

2

7

Q0λ1

3 OAtOB

对tR恒成立，即OA

1

→

→ 2 QOA

12te1e24te2

12tcosα94t212tcosα91对tR恒成立，即4t212tcosα80对tR恒成立，即cos2α 22cosα22，所以cosα的最大值为22 （1）2（2）（3）（1）1A1ABCHHAO上；

A1O13下底面正三角形边长AB3，AO