浙江四校联考2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试卷

2025本卷共4页满分150分，考试时间120分钟答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效考试结束后，只需上交答题纸一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个设复数z2i，则z

B.

D.化简ABBOCDCO A. B. C. D.BCADBC 2AB 2CD2ABCD的面积为（A.

B.

C.

D.若用长为4cm，宽为2cm的矩形纸片卷成一个圆柱筒，则这个圆柱筒的最大体积为 ​

2 B. 2

4 D.4 A. B. C. D.a，b，ca⊥b，b⊥cab共面，bcaca∥b，b∥c其中正确命题的个数是 A. B. C. D.设z为复数，若z2i1，则z的最小值为 B. C. D.移动时，下列结论中错误的是 AE平面ACEFABEFAF、BE二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出以下结 B.OMC.OM∥平面 D.OM∥平面角线交点O，点E是侧棱BB1上的一个动点，下列结论正确的是 直三棱柱的侧面积是4直三棱柱的外接球表面积是AEEC1的最小值为如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和VACD折成互相垂直的两个平面 BD

VABC平面ADC平面 D.二面角ABCD的正切值三､3515分. 已知平面向量a，b的夹角为3，且a1，b2，则ab 如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为4，则该几何体的表面积为 ABCABCBACπAAABAC1CCH11 在棱AB上，HN//平面ABC，则A1N的值 1

四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤zm22m3m24m3imRz是纯虚数，求实数mz在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m abcma若 ，求实数cma在VABCAB,Cabc,且(2abcosCccosB求角C若c4，VABC的面积为 ，求该三角形的周长侧面围成的物体.32分米、4（结果均用含π的最简式表示若要在该伊丽莎白圈与宠物接触的内侧表而全部涂层（不含外侧表面5若将该伊丽莎白圈缺失的上、下底面完全密封形成圆台，求所形成的圆台的体积ABCDOPOABCDaEPC的PABDEPO

6aEBDC的大小2025本卷共4页满分150分，考试时间120分钟答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效考试结束后，只需上交答题纸一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个设复数z2i，则z

B.

D.【答案】22【详解】由题设22化简ABBOCDCO A. B. C. D.【答案】ABBOCDCOAOODADBCADBC 2AB 2CD2ABCD的面积为（A.

B.

C.

D.【答案】【详解】在直观图中，AB ，BC2，CD ，AD22ABcosπ222

24所以AB2AB ，ADAD4，BCBCABCD24

若用长为4cm，宽为2cm的矩形纸片卷成一个圆柱筒，则这个圆柱筒的最大体积为 ​

2 B. 2

4 D.4 【答案】4224，两种情况进行讨论，最4cmr2h22此时圆柱的体积Vπr2hππ

2

8cm32cmr1h41此时圆柱的体积Vπr2hππ

4

4

A. B. C. D.【答案】在△A1DC1中，A1C1C1DA1D 2A1DAB1所成的角为60.a，b，ca⊥b，b⊥cab共面，bcaca∥b，b∥c其中正确命题的个数是 A. B. C. D.【答案】abbcaca和b共面b和ca和cabb与caa//bb//cac【点睛】空间直线、平面等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体设z为复数，若z2i1，则z的最小值为 B. C. D.【答案】zabi,abRab的关系，再根据复数的模的公式即可得解zabi,abRa2b由z2i1， 1，所以a21b22b2a2bb2b24ba21b220b2b24ba2a2

所以当b1时， 移动时，下列结论中错误的是 AE平面ACEFABEFAF、BE【答案】AAB1D1面C1BDAE平面C1BD；BCACEFABEF的体积，即可判断；DAF、BE所成的角不为定值B1C1DA是平行四边形，故C1D//AB1，又因为C1D面C1BDAB1面C1BDAB1面C1BD，AB1D1//面C1BD，AEAB1D1AE平面C1BDAB1BDACOABCDBDACBB1BDBBB1、BDBB1D1D，ACBB1D1D，即COBB1D1D，所以

=1

×EF×COB 3V

CB中的结论得

11 AO11BBEFAOC

3V

D2FD1D1D1GBE，则AD1GAF、BE所成角，3FB1D1D1G1BED1QA1PAB1，则QD1G1为异面直线AF、BE二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出以下结 B.OMC.OM∥平面 D.OM∥平面【答案】AC正确；根据线面平行的定义——BD错误.OOBD又QMPB的中点，OMPBD的中位线，OM//PD又QOMPADPDPAD,OMPDA，故ACOMPAC有公共点OPBAMBD角线交点O，点E是侧棱BB1上的一个动点，下列结论正确的是 直三棱柱的侧面积是4直三棱柱的外接球表面积是AEEC1的最小值为【答案】D．【详解】ABCA1B1C1AA12ABBC1ABC120AC，ABCA1B1C11×2×2+324

Ar，即2r

r1，所以直棱柱的外接球半径RS4πR28πB正确；E

2× 1 ×2＝3， 1× 3C×V

E

2222AEECAEEC

，D 1如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和VACD折成互相垂直的两个平面 BD

VABC平面ADC平面 D.二面角ABCD的正切值【答案】BD⊥ADCBDACA；利用勾股定BCaBADCABCBD⊥平面ADC，可知BDF为直角，因此BFDCABCD的平面角 ，从而可判断【详解】设等腰直角三角形VABC的腰为a，则斜边BC 2aQDBC的中点，ADBCABDACDABDACDADBDADBDABDBDADCACADC，BDACA 2a2a BDCD

a，由勾股定理得：BC

aABACa，VABCBQVADCACFDF⊥AC，又VABCBFBF⊥AC,BFDADCABCBD⊥ADCBDF为直角，因此BFD不是直角，ADCABCC错误；ADBDCDDEBCEAEAEBCAEDABCD的平面角，设为2 2

DE=BDsin45o

D三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分 已知平面向量a，b的夹角为3，且a1，b2，则ab 【详解】因为|a|1|b|2，平面向量ab2π，且cos21 → 1所以ab12 如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为4，则该几何体的表面积为 【答案】【分析】根据给定的组合体，结合球的表面积公式、圆柱的侧面积公式计算即得S2π22π222π1420πABCABCBACπ

ABAC1CCH11ABHNABCA1

的值 1

BBABMNHNABCA1

1 1

故MHBC，MN∥A1B，又MH,MH在平面A1BC外，BC,MN平面

1

【点睛】本题考查了面面平行的判定定理，属于基础题四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤zm22m3m24m3imRz是纯虚数，求实数mz在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m（1）m1m22m3z是纯虚数，则实部为0且虚部不为0，即m24m30m22m30m3mm24m30m1且m3，m1.2m22m3z对应点在第四象限，则实部0且虚部0，即m24m30m22m30m1m3，m24m30得1m3，综上所述，实数m取值范围是 abcma若 ，求实数cma（1）a（2）m2，n

，b（1）利用平面向量模长的坐标公式分别计算|a|和|b|；（2）先根据平面向量的线性运算坐标法则，将等式右边的向量用m、n表示出来，再根据两个向量相等则对应坐标相等，得到关于mn的方程组，最后解方程组求出mn的值.1→

32，32

52 23m23mm2n1在VABCAB,Cabc,且(2abcosCccosB求角C若c4VABC的面积为（1）C

（1）用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和与三角恒等变换化简，即得角C（2）先由面积公式求出abab的值，从而求得三角形的周长1因为(2abcosCccosB(2sinAsinBcosCsinCcosB2sinAcosCsinBcosCsinCcosBsin(BC，ABCπ，所以sinAsin(BC0，故cosC1因为0Cπ，所以Cπ2因为VABC的面积为 ，所以S1absinC1ab 3 3ab43 ab16又因为c2a2b22abcosCab)22ab2abcosC即42ab)22162161ab8，故VABCabc8412侧面围成的物体.32分米、4（结果均用含π的最简式表示若要在该伊丽莎白圈与宠物接触的内侧表而全部涂层（不含外侧表面5克涂若将该伊丽莎白圈缺失的上、下底面完全密封形成圆台，求所形成的圆台的体积（2）285π（立方分米（1）（2）求出圆台的高，代入圆台体积公式求解即可1Sπ×24318π（平方分米，5克涂层材料，所以518π90π，即该伊丽莎白圈需要消耗90π克涂层材料；2

（分米则V1π5222442285π 285π（立方分米ABCDOPOABCDaEPC的PABDEPO

6aEBDC的大小（2）（1）连接OE，可证OE//PAPABDE（2）取OCFEF，可证EOFEBDC的平面角，利用解直角三角形可求该角大小