2025年数学一模试卷及答案吉林

2025年数学一模试卷及答案吉林一、单选题（每题2分，共20分）1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）（2分）A.y=-2x+1B.y=x²C.y=1/xD.y=-x³【答案】A【解析】y=-2x+1是一次函数，斜率为-2，为减函数；y=x²是二次函数，开口向上，在（0，+∞）上单调递增，但在整个定义域上不是增函数；y=1/x是反比例函数，在（0，+∞）和（-∞，0）上分别单调递减；y=-x³是奇函数，在整个定义域上单调递减。故选A。2.已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²+x-6=0}，则A∩B=（）（2分）A.{1}B.{2}C.{3}D.{1，2}【答案】D【解析】解方程x²-3x+2=0得x=1或x=2；解方程x²+x-6=0得x=-3或x=2。故A∩B={2}。但注意集合元素互异性，A={1，2}，B={-3，2}，则A∩B={2}。此处解析有误，正确答案应为B。3.若sinα=1/2，且α为第二象限角，则cosα的值为（）（2分）A.√3/2B.-√3/2C.1/2D.-1/2【答案】B【解析】由sin²α+cos²α=1，代入sinα=1/2得cos²α=1-(1/2)²=3/4。又α为第二象限角，cosα<0，故cosα=-√3/2。故选B。4.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）A.1B.3C.0D.2【答案】B【解析】f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和，最小值为两点间的距离即3。故选B。5.抛物线y²=2px（p>0）的焦点到准线的距离为（）（2分）A.p/2B.pC.2pD.4p【答案】A【解析】抛物线y²=2px的焦点为(p/2，0)，准线方程为x=-p/2，焦点到准线的距离为p。但标准答案为p/2，此处解析有误，正确答案应为A。6.若复数z满足|z|=1，则z²可能取的值为（）（2分）A.-1B.2C.-2D.0【答案】A【解析】由|z|=1得z=cosθ+isinθ，z²=cos2θ+isin2θ，|z²|=1，z²的实部取值范围为[-1，1]，故可能取-1。故选A。7.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）s=0foriinrange(1,6):s=s+iprint(s)A.0B.1C.15D.30【答案】C【解析】程序执行过程：i=1时s=1；i=2时s=3；i=3时s=6；i=4时s=10；i=5时s=15。最终s=15。故选C。8.在△ABC中，若a=3，b=4，C=60°，则c的值为（）（2分）A.5B.7C.√7D.√13【答案】A【解析】由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=3²+4²-2×3×4×cos60°=9+16-12=13，故c=√13。此处解析有误，正确答案应为D。9.方程x³-x=0的解的个数为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】x³-x=x(x²-1)=x(x-1)(x+1)=0，解为x=0，x=1，x=-1，共3个解。故选C。10.已知样本数据为：3，4，5，6，7，则该样本的中位数为（）（2分）A.4B.5C.4.5D.6【答案】B【解析】将数据排序为3，4，5，6，7，中位数为中间的数5。故选B。二、多选题（每题4分，共20分）1.下列命题中，正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若a>b，则a²>b²C.若sinα=sinβ，则α=βD.若f(x)是奇函数，则f(0)=0E.若直线l₁∥l₂，l₂∥l₃，则l₁∥l₃【答案】A、E【解析】空集是任何集合的子集，故A正确；若a>b且a，b同号，则a²>b²，若a>b且a，b异号，则a²<b²，故B错误；若sinα=sinβ，则α=β+2kπ或α=π-β+2kπ，故C错误；f(x)是奇函数，f(0)必须为0，故D正确；若直线l₁∥l₂，l₂∥l₃，则l₁∥l₃，故E正确。故选A、E。2.函数y=f(x)在区间(a，b)上单调递增，则下列说法正确的有（）（4分）A.y=f(x)在(a，b)上的图象是上升的B.y=f(x)在(a，b)上无极值C.y=f(x)在(a，b)上可能存在驻点D.y=f(x)在(a，b)上连续E.y=f(x)在(a，b)上单调递减【答案】A、C【解析】函数y=f(x)在区间(a，b)上单调递增，图象是上升的，故A正确；单调区间上可能存在驻点，故C正确；单调递增与单调递减是互斥的，故E错误；单调递增函数不一定连续，故D错误；单调区间上无极值，故B正确。故选A、C。3.下列函数中，在其定义域内是奇函数的有（）（4分）A.y=x³B.y=1/xC.y=√xD.y=sinxE.y=cosx【答案】A、B、D【解析】y=x³是奇函数；y=1/x是奇函数；y=√x既不是奇函数也不是偶函数；y=sinx是奇函数；y=cosx是偶函数。故选A、B、D。4.在直角坐标系中，点P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为（）（4分）A.(a，-b)B.(a，b)C.(-a，b)D.(a，-b)或(-a，b)E.(b，-a)【答案】A【解析】点P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为(a，-b)。故选A。5.下列说法正确的有（）（4分）A.等差数列的前n项和Sn与n是一次函数关系B.等比数列的前n项和Sn与n是二次函数关系C.等差数列中，若m<n，则aₘ>aₙD.等比数列中，若m<n，则q<1E.等差数列的通项公式是aₙ=a₁+(n-1)d【答案】A、E【解析】等差数列的前n项和Sn=na₁+(n(n-1))/2d，与n是一次函数关系，故A正确；等比数列的前n项和Sn与n的关系取决于q是否为1，故B错误；等差数列中，若m<n，若d>0，则aₘ<aₙ，若d<0，则aₘ>aₙ，故C错误；等比数列中，若m<n，q可能大于1，故D错误；等差数列的通项公式是aₙ=a₁+(n-1)d，故E正确。故选A、E。三、填空题（每题4分，共32分）1.若函数f(x)=ax²+bx+c在x=1时取得极大值-1，且f(0)=1，则a=______，b=______，c=______。（4分）【答案】-1，-2，1【解析】f(x)在x=1时取得极大值-1，故顶点为(1，-1)，对称轴为x=1，即-b/(2a)=1，得b=-2a。又f(0)=1，即c=1。又f(1)=-1，即a+b+c=-1，代入b=-2a，c=1得a-2a+1=-1，解得a=-1，b=2，故a=-1，b=2，c=1。此处解析有误，正确答案应为a=-1，b=-2，c=1。2.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，b=√3，C=30°，则sinB=______。（4分）【答案】√3/2【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC，代入a=2，b=√3，C=30°得2/sinA=√3/sinB，又C=30°，sinC=1/2，故sinA=2sinC=1，A=90°，故sinB=b/sinB×sinA=√3/(√3/2)×1=√3/2。故sinB=√3/2。3.若复数z=(1+i)/(1-i)，则|z|的值为______。（4分）【答案】1【解析】z=(1+i)/(1-i)=(1+i)²/(1-i)²=(1+2i+i²)/(1-2i+i²)=(-2+2i)/(-2-2i)=i，故|z|=|i|=1。故|z|=1。4.若等差数列{aₙ}的前n项和为Sn，且a₃=7，a₅=13，则S₉=______。（4分）【答案】81【解析】由等差数列性质a₅=a₃+2d，代入a₃=7，a₅=13得13=7+2d，解得d=3。又a₁=a₃-2d=7-6=1，故S₉=9(a₁+a₉)/2=9(a₁+a₁+8d)/2=9(1+1+24)/2=81。故S₉=81。5.函数y=2sin(2x+π/3)的最小正周期为______。（4分）【答案】π【解析】函数y=Asin(ωx+φ)的最小正周期为T=2π/|ω|，故y=2sin(2x+π/3)的最小正周期为T=2π/2=π。故最小正周期为π。6.在直角坐标系中，直线l过点(1，2)，且倾斜角为45°，则直线l的方程为______。（4分）【答案】y=x+1【解析】直线l的斜率k=tan45°=1，又过点(1，2)，故直线方程为y-2=1(x-1)，即y=x+1。故直线方程为y=x+1。7.若样本数据为：5，6，7，8，9，则该样本的方差S²=______。（4分）【答案】4【解析】样本均值μ=(5+6+7+8+9)/5=7，方差S²=[(5-7)²+(6-7)²+(7-7)²+(8-7)²+(9-7)²]/5=[(-2)²+(-1)²+0²+1²+2²]/5=(4+1+0+1+4)/5=10/5=2。故S²=2。此处解析有误，正确答案应为4。8.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)=2，则f(-1)=______。（4分）【答案】-2【解析】函数f(x)是奇函数，故f(-x)=-f(x)，故f(-1)=-f(1)=-2。故f(-1)=-2。四、判断题（每题2分，共10分）1.若a²=b²，则a=b。（）（2分）【答案】（×）【解析】a²=b²，则a=±b，故不一定a=b。如a=2，b=-2，a²=b²但a≠b。故×。2.两个无理数相乘，结果一定是无理数。（）（2分）【答案】（×）【解析】两个无理数相乘，结果可能是有理数。如√2×(1/√2)=1，1是有理数。故×。3.若函数y=f(x)在区间(a，b)上单调递减，则y=f(x)在(a，b)上的图象是下降的。（）（2分）【答案】（√）【解析】函数y=f(x)在区间(a，b)上单调递减，图象是下降的。故√。4.等比数列{aₙ}中，若q≠1，则其前n项和Sn=a₁(1-qⁿ)/(1-q)。（）（2分）【答案】（√）【解析】等比数列{aₙ}中，若q≠1，其前n项和Sn=a₁(1-qⁿ)/(1-q)。故√。5.若直线l₁∥l₂，则l₁与l₂的斜率相等。（）（2分）【答案】（×）【解析】若直线l₁∥l₂，且两条直线都不垂直于x轴，则l₁与l₂的斜率相等；若两条直线都垂直于x轴，则l₁与l₂的斜率都不存在。故×。五、简答题（每题4分，共12分）1.求函数y=√(x-1)的定义域。（4分）【答案】[1，+∞)【解析】由x-1≥0得x≥1，故定义域为[1，+∞)。2.已知点A(1，2)，B(3，0)，求直线AB的斜率和倾斜角。（4分）【答案】斜率k=-1，倾斜角α=135°【解析】直线AB的斜率k=(0-2)/(3-1)=-1，倾斜角α=arctan(-1)=135°。3.若等差数列{aₙ}中，a₁=5，d=-2，求a₅和S₅。（4分）【答案】a₅=1，S₅=10【解析】a₅=a₁+4d=5+4(-2)=1，S₅=5(a₁+a₅)/2=5(5+1)/2=10。六、分析题（每题10分，共20分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2，求f(x)的极值。（10分）【答案】f(x)在x=1处取得极大值0，在x=2处取得极小值-2【解析】f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。当x<0时f'(x)>0，f(x)递增；当0<x<2时f'(x)<0，f(x)递减；当x>2时f'(x)>0，f(x)递增。故x=0处取得极大值f(0)=2，x=2处取得极小值f(2)=-2。此处解析有误，正确答案应为x=1处取得极大值0，x=2处取得极小值-2。2.已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，b=√3，C=30°，求sinA和cosB。（10分）【答案】sinA=1，cosB=1/2【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC，代入a=2，b=√3，C=30°得2/sinA=√3/sinB，又C=30°，sinC=1/2，故sinA=2sinC=1，A=90°，故sinB=b/sinB×sinA=√3/(√3/2)×1=√3/2，cosB=√(1-sin²B)=√(1-(√3/2)²)=√(1-3/4)=√(1/4)=1/2。故sinA=1，cosB=1/2。七、综合应用题（每题25分，共50分）1.某工厂生产一种产品，固定成本为10万元，每件产品的可变成本为20元，售价为50元。求该工厂生产x件产品的利润函数L(x)。（25分）【答案】L(x)=30x-10万元【解析】利润函数L(x)=总收入-总成本，总收入为50x元，总成本为10万元+20x元，故L(x)=50x-(10+20x)=30x-10万元。2.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。现要随机抽取5名学生参加活动，求抽到的5名学生中男生人数X的分布列和数学期望E(X)。（25分）【答案】X的分布列为：X012345P1/635/6310/6310/635/631/63E(X)=3【解析】X的可能取值为0，1，2，3，4，5。P(X=0)=C(20,5)/C(50,5)=1/63；P(X=1)=C(30,1)C(20,4)/C(50,5)=5/63；P(X=2)=C(30,2)C(20,3)/C(50,5)=10/63；P(X=3)=C(30,3)C(20,2)/C(50,5)=10/63；P(X=4)=C(30,4)C(20,1)/C(50,5)=5/63；P(X=5)=C(30,5)/C(50,5)=1/63。数学期望E(X)=0×1/63+1×5/63+2×10/63+3×10/63+4×5/63+5×1/63=3。---标准答案一、单选题1.D2.B