全品高考备战2027年数学一轮学生用书17重点强化练(十七)随机变量及其分布【答案】

重点强化练(十七)随机变量及其分布1.A[解析]根据题意,由分布列的性质可得2b=a+c,a2.D[解析]由题意知E(X)=1×23+0×13=23,所以D(X)=1-232×23+3.C[解析]由题意知P(X=0)=C72C102=715,P(X=1)=C71×C31C102=715,所以P(X<2)=4.D[解析]由题可得P(X≥1)=1-P(0<X<1)=0.6,P(1≤X<3)=0.9-0.4=0.5,故P(Y≤4|X≥1)=P(X<3|X≥1)=P(1≤X<3)P(5.A[解析]抛掷一枚质地均匀的硬币8次,设正面朝上X次,则X~B8,12,则正面朝上k次的概率为P(X=k)=C8k128=16.C[解析]设事件A=“恰好中奖2次且其中有1张甲奖券中奖”,事件B=“恰好中奖2次且均为甲奖券中奖”,则P(A)=0.4×0.4×0.5+C21×0.4×0.6×0.5=0.32,P(B)=0.42×0.5=0.08,又A∩B=B,所以所求概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=7.B[解析]F(x)=P(|Y-2x|<1)=P(2x-1<Y<2x+1),因为Y=1-X2,所以F(x)=P2x-1<1-X2<2x+1,即F(x)=P(-4x<X<4-4x),则F(1-x)=P[-4(1-x)<X<4-4(1-x)]=P(4x-4<X<4x),因为X~N(0,1),所以根据对称性可知F(x)=F(1-x),所以函数F(x)的图象关于直线x=12对称,排除A,C;当x=12时,F12=P(-2<X<2)=8.B[解析]因为P(Y=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,3,…,所以E(Y)=∑k=19.BD[解析]对于A,因为A={1,2},B={1,3},所以A∩B={1}≠⌀,故A错误;对于B,因为B∩C={1},所以P(BC)=14,又P(B)=P(C)=12,所以P(BC)=P(B)P(C),所以B与C相互独立,故B正确;对于C,因为A∩B∩C={1},所以P(ABC)=14,又P(A)=P(B)=P(C)=12,所以P(ABC)≠P(A)P(B)P(C),故C错误;对于D,因为P(A)=P(C)=12,A∩C={1},所以P(AC)=14,所以P(A|C)=P(AC)P(C)=1412=110.AD[解析]由比例分配的分层随机抽样可得a=80×250400=50,b=80-50=30,故A正确;根据题意知u=12×5080+8×3080=10.5,故B错误;因为μ=10.5,σ=3,所以μ+σ=13.5,所以P(10.5≤X≤13.5)≈0.68272=0.34135,故C错误;因为μ-2σ=4.5,P(X<μ-2σ)≈1-0.95411.ACD[解析]由题得,随机变量XA~B(5,PA),XB~B(5,PB).对于A,E(XA)=5PA,E(XB)=5PB,若E(XA)<E(XB),则PA<PB,故A正确;对于B,假设P(XA=XB=3)=P(XA∶XB=2∶3),则C53PA3(1-PA)2C53PB3(1-PB)2=C52PA2(1-PA)3C53PB3(1-PB)2,化简整理得PA=1-PA,即PA=12,所以当且仅当PA=12时,P(XA=XB=3)=P(XA∶XB=2∶3),故B错误;对于C,由题意得,D(XA)=5PA(1-PA),D(XB)=5PB(1-PB),所以D(XA)-D(XB)=5(PA-PB)[1-(PA+PB)],若0<PA<PB<12,则PA-PB<0,1-(PA+PB)>0,所以D(XA)-D(XB)<0,即D(XA)<D(XB),故C正确;对于D,由题意得,P(XA=k)=C5kPAk(1-P12.13[解析]P(X=n)=an+n+1=a(n+1-n),因为P(X=1)+P(X=2)+…+P(X=15)=1,所以a[(2-1)+(3-2)+…+(15+1-15)]=a(13.1330[解析]设事件A表示“从2号罐子中取出的球是红球”,事件B1表示“从1号罐子中取出的球是红球”,事件B2表示“从1号罐子中取出的球是黑球”,则P(B1)=35,P(B2)=25,P(A|B1)=12,P(A|B2)=13,故P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=35×1214.2731250[解析]若三局结束比赛,则三局均为甲获胜,或者三局均为乙获胜.若三局均为甲获胜,则概率P'=35×35+p×35+2p=65p2+2725p+27125;若三局均为乙获胜,则概率P″=25×25+p×25+2p=45p2+1225p+8125.由题得P'+P″=65p2+2725p+27125+45p2+1225p+8125=2p2+3925p+35125=57125,即250p2+195p-22=0,解得p=110或p=-2225(舍去),所以p=110.若四局结束比赛且甲赢得比赛,则需甲以3∶1获胜,因此第四局必须是甲获胜,前三局甲获胜两局即可.甲在第1,2,4局获胜的概率P1=35×710×210×710=2945000=1472500;甲在第1,3,4局获胜的概率P2=3515.解:(1)记“标有数字2和4的小球不相邻”为事件A,则P(A)=A22A所以标有数字2和4的小球不相邻的概率为12(2)X的所有可能取值为0,1,2,P(X=2)=A22AP(X=1)=2A22AP(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=13,所以XX012P111故E(X)=0×13+1×13+2×116.解:(1)由题得Z的所有可能取值为0,1,2.P(Z=0)=(1-0.1)×(1-0.2)=0.9×0.8=0.72,P(Z=1)=0.1×(1-0.2)+(1-0.1)×0.2=0.1×0.8+0.9×0.2=0.08+0.18=0.26,P(Z=2)=0.1×0.2=0.02,所以Z的分布列为Z012P0.720.260.02(2)对于甲机器,已知甲生产出的零件内径X~N(10,1),则μ1=10,σ1=1,P(X<8)=P(X<10-2×1)≈1-0.P(X>10)=12=0.P(8≤X≤10)≈0.9545÷2=0.47725,则甲机器每天生产出的零件的平均利润约为1000×[0.02275×(-2)+0.5×(-8)+0.47725×20]=1000×(-0.0455-4+9.545)=1000×5.4995=5499.5(元).对于乙机器,已知乙生产出的零件内径Y~N(8,4),则μ2=8,σ2=2,P(Y<8)=12=0.P(Y>10)=P(Y>8+1×2)≈1-0.P(8≤Y≤10)≈0.6827÷2=0.34135,则乙机器每天生产出的零件的平均利润约为1000×[0.5×(-2)+0.15865×(-8)+0.34135×20]=1000×(-1-1.2692+6.827)=1000×4.5578=4557.8(元).因为5499.5>4557.8,所以甲机器每天生产出的零件的平均利润更大.17.解:(1)由题意知,X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=C43CP(X=1)=C42CP(X=2)=C41CP(X=3)=C33C所以X的分布列为X0123P418121故E(X)=0×435+1×1835+2×1235+3×1(2)(i)设甲答对的题数为X1,则X1~B(2,p1);设乙答对的题数为X2,则X2~B(2,p2).设A=“甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜”,则P=P(A)=P(X1=1)P(X2=2)+P(X1=2)P(X2=1)+P(X1=2)P(X2=2)=C21p1(1-p1)C22p22+C22p12C21p2(1-p2)+C22p12C22p22=2