全品高考备战2027年数学一轮教师备用习题33第27讲函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数模型的应用

第27讲函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数模型的应用【备选理由】例1考查余弦函数图象的变换、求变换后图象对应的解析式等知识;例2考查函数y=Acos(ωx+φ)的图象与解析式,考查学生识图、用图解决问题的能力;例3考查由图象确定余弦型函数的解析式,考查函数的单调性,考查余弦型函数图象的对称中心,考查方程根的个数等知识,考查学生综合运用知识分析解决问题的能力及学生逻辑推理与数学运算的核心素养;例4考查由函数y=Asin(ωx+φ)的图象确定解析式及其性质,考查三角函数图象的变换,考查学生综合运用知识分析解决问题的能力及学生逻辑推理与数学运算的核心素养;例5考查三角函数模型的简单应用,考查学生运用所学知识处理实际问题的能力.例1[配例1使用][2025·江苏南京二模]把函数y=cosx图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变),再将图象上所有的点向右平移π6个单位长度,得到函数f(x)的图象,则f(x)= (B)A.cos2x-π6C.cos12x-π[解析]把函数y=cosx图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变),得到的图象对应的函数为y=cos2x,再将y=cos2x的图象上所有的点向右平移π6个单位长度,得到的图象对应的函数为f(x)=cos2x-π6=cos例2[配例2使用][2025·湖北武汉华中师大一附中月考]已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象如图,点Aπ4,2,B两点均在f(x)的图象上,过A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为C,D,若平行四边形ACBD的面积为22π,则A.-3 B.1C.2 D.3[解析]由四边形ACBD为平行四边形,点Aπ4,2,AC⊥CD,BD⊥CD,得|BD|=|AC|=2,S△ACD=S△BDC=12×2×|CD|,由平行四边形ACBD的面积为22π,得2×12×2×|CD|=22π,解得|CD|=π2.由函数f(x)图象的对称性得函数f(x)的最小正周期为π,又ω>0,则ω=2ππ=2.由fπ4=2,得2cos2×π4+φ=2,即cosπ2+φ=22,又点A在f(x)图象处于上升趋势的部分,故π2+φ=2kπ-π4,k∈Z,得φ=2kπ-3π4,k∈Z,又|φ|<π,则φ=-3π例3[配例3使用](多选题)[2025·河北秦皇岛二模]已知函数f(x)=cos(ωx+φ)ω>0,|φ|A.φ=3πB.点415,0是f(C.方程f(x)=12在区间[0,2025]上有2026D.若g(x)=log12f(x),则g(x)的单调递增区间为-310[解析]对于A,由函数图象可知,f(x)的最小正周期T满足T2=πω=1,即ω=π,所以f(x)=cos(πx+φ),又因为函数图象过点15,0,所以cosπ5+φ=0,结合图象可知π5+φ=π2+2kπ,k∈Z,解得φ=3π10+2kπ,k∈Z,又因为|φ|<对于B,f(x)=cosπx+3π10,因为函数y=cosx图象的对称中心是π2+kπ,0(k∈Z),所以令πx+3π10=π2+kπ,k∈Z,可得x=15+k,k∈Z,当k=8时,x=415对于C,令f(x)=cosπx+3π10=12,得πx+3π10=±π3+2kπ,k∈Z.当πx+3π10=π3+2kπ,k∈Z时,x=130+2k,k∈Z,则在区间[0,2025]上,k=0,1,…,1012,共有1013个;当πx+3π10=-π3+2kπ,k∈Z时,x=-1930+2k,k∈Z,则在区间[0,2025]上,k=1,2,…,1012,共有1012个.综上,方程f(x)=对于D,要使函数g(x)=log12f(x)有意义,则f(x)=cosπx+3π10>0,又因为函数y=log12t在(0,+∞)上单调递减,所以要使函数g(x)单调递增,只需函数f(x)单调递减,且f(x)>0,所以2kπ<πx+3π10<π2+2kπ,k∈Z,解得-310+2k<x<15+2k,k∈Z,所以g(x)的单调递增区间为例4[配例3使用](多选题)[2025·河南豫东部分名校三模]函数f(x)=2sin2ωx+π3(0<ω<1)的图象如图所示,将f(x)的图象向左平移π6个单位长度,得到g(xA.ω=1B.函数f(x)的图象关于点-πC.函数g(x)的图象关于直线x=π4D.函数y=g2x+π[解析]因为点π6,2在函数f(x)的图象上,所以fπ6=2,即sinωπ3+π3=1,又0<ω<1,所以ωπ3+π3=π2,解得ω=12,故A正确;f(x)=2sinx+π3,由x+π3=kπ,k∈Z,得x=kπ-π3,k∈Z,故函数f(x)图象的对称中心为kπ-π3,0,k∈Z,当k=0时,得对称中心为-π3,0,故B正确;g(x)=fx+π6=2sinx+π6+π3=2sinx+π2=2cosx,其图象的对称轴方程为x=kπ,k∈Z,所以直线x=π4不是函数g(x)的图象的对称轴,故C错误;y=g2x+π3=2cos2x+π3,由2kπ≤2x+π3≤2kπ+π,k例5[配例4使用](多选题)2025年10月,钱塘江出现了罕见的潮景“鱼鳞潮”,“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮,一股是波状涌潮,另外一股是破碎的涌潮,两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮.若波状涌潮的图象近似为函数f(x)=Asin(ωx+φ)A,ω∈N*,|φ|<π3的图象,而破碎的涌潮的图象近似为f'(x)(f'(x)是函数f(x)的导函数)的图象.A.ω=2B.fπ3=6+C.f'x-πD.f'(x)在区间-π[解析]由f(x)=Asin(ωx+φ),得f'(x)=Aωcos(ωx+φ),由题意得f(2π)=f'(2π),即Asinφ=Aωcosφ,故tanφ=ω,因为ω∈N*,|φ|<π3,所以tanφ=ω<3,所以φ=π4,ω=1,故选项A错误;因为破碎的涌潮的波谷为-4,所以f'(x)的最小值为-4,即-Aω=-4,得A=4,所以f(x)=4sinx+π4,则4sinπ