全品高考备战2027年数学一轮学生用书14重点强化练(十四)焦点三角形与离心率【答案】

重点强化练(十四)焦点三角形与离心率1.C[解析]由双曲线方程可知,该双曲线的渐近线方程为y=±bax,因为双曲线一条渐近线的倾斜角为30°,a>b>0,所以ba=tan30°=33,即a=3b,所以a2=3b2,即a2=3(c2-a2),即3c2=4a2,所以e2=43,所以e=2.B[解析]由题意知,点A的横坐标为xA=±3,代入x2-y23=1得yA=±6,又|F1F2|=21+3=4,所以△AF1F2的面积为12×4×6=263.C[解析]由∠F1MF2=π2,可知MF1⊥MF2,故点M在以F1F2为直径的圆上,则圆在椭圆内部,所以c<b,所以e2=c2a2=c2b2+c4.D[解析]因为△ABF2是等边三角形,所以|F1F2|=3|BF1|,因为|AB|=2b2a,所以|BF1|=12|AB|=b2a,所以3·b2a=2c,即3c2-2ac-3a2=0,所以3·e2-2e-3=0,即(e-3)(35.C[解析]由x24+y23=1得a2=4,b2=3,则a=2,c=a2-b2=1,所以|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=4+2=6.设P(x0,y0),△PF1F2的内切圆的半径为r,则S△PF1F2=12(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)·r=12|F1F2|·|y0|,所以|y0|=|P6.D[解析]由x29-y216=1可得a=3,F1(-5,0),F2(5,0),设圆M与△PF1F2三边PF1,F1F2,PF2分别相切于点R,N,Q,则|PF1|-|PF2|=|PR|+|RF1|-|QF2|-|PQ|=|RF1|-|QF2|=|NF1|-|NF2|=2a=6,又|NF1|+|NF2|=|F1F2|=10,所以|NF1|=8,|NF2|=2,所以|ON|=|OF2|-|NF2|=3,所以N(3,0).因为MN⊥x轴,所以M(3,1),则tan∠MF1N=所以直线PF1的斜率kPF1=tan2∠MF1N=2tan∠MF1N7.B[解析]由题意知P(-a,0),由OM=OP+ON可知四边形OPMN为平行四边形,则M,N关于y轴对称,设M-a2,t,Na2,t(不妨设t>0),将点N的坐标代入椭圆方程可得t=32b,因为∠PON∈2π3所以tanα=ta2=32ba2=3ba∈33,3,所以ba∈13,18.A[解析]不妨设椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0),双曲线C2:x2m2-y2n2=1(m>0,n>0),因为它们有相同的焦点,所以a2-b2=m2+n2=c2.不妨设点M在第一象限,且|MF1|=t1,|MF2|=t2,因为点M在椭圆C1上,所以t12+t22-2t1t2cos2π3=4c2,t1+t2=2a,即t12+t22+t1t2=4c2,t1+t2=2a,可得t1t2=4(a2-c2),由ca=134,可得a=413c,所以t9.ABD[解析]由题可得,a=4,b=23,c=a2-b2=2,则|PF1|+|PF2|=2a=8,又|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=5,|PF2|=3,故A正确;离心率e=ca=12,故B正确;因为|PF1|2=25=|PF2|2+|F1F2|2,所以PF2⊥F1F2,所以S△PF10.BD[解析]焦点△PF1F2的面积公式S=b2tanθ2=4tanθ2.对于A,由x2-y24=1,得a2=1,b2=4,则a=1,b=2,c=5,当S=4时,θ=90°,由|PF1|-|PF2|=2,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,可得|PF2|=2,故A不正确;对于B,当θ=60°时,S=43,故B正确;对于C,当∠F1PF2=90°时,S=4,当∠PF2F1=90°时,S=45,因为△PF1F2为锐角三角形,所以S∈(4,45),故C不正确;对于D,设G(x,y),P11.ABD[解析]对于A,由x2a2+y2=1,可得b=1,∵△PF1F2的面积的最大值为3,∴12×2c×b=3,解得c=3,∴a=b2+c2=2,故A正确;对于B,由x24+y2=1,可得F1(-3,0),F2(3,0),且|QF1|=7,由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=4,∴|PF2|=4-|PF1|,则|PQ|+|PF2|=4+|PQ|-|PF1|≤4+|QF1|=4+7,当且仅当P,Q,F1三点共线,且P位于QF1的延长线上时,等号成立,故B正确;对于C,当点P的横坐标为1时,代入椭圆的方程,可得yP=±32,不妨取点P的坐标为1,32,则△PF1F2的面积S△PF1F2=12×2c×32=32,△PF1F2的周长l=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=4+23,设△PF1F2的内切圆的半径为r,∴12lr=32,即12(4+23)r=32,解得r=34+23,故C不正确;对于D,由椭圆的光学性质,可得点P与l垂直的直线为∠F1PF2的角平分线,则S△PF1MS△PF2M=|F1M||F2M|=|F1P||F2P|,设|PF1||PF2|=|F1M||F2M|∴4k41+k2+231+k2-231+k22×41+k×231+k,整理得k2-4k+3=0,解得k=1或k=3,当12.3[解析]设F1(-c,0),F2(c,0),由题意可得xP=-c,代入双曲线方程,得yP=±bc2a2-1=±b2a.在Rt△F1PF2中,tan∠F1PF2=tan60°=2cb2a=3,所以3=2acb2,即3c2-2ac-3a13.63[解析]延长F2B交PF1于点E,可得|EF1|=2a-2m,|PF2|=|PE|=m,易知B为EF2的中点,O为F1F2的中点,所以|OB|=12|EF1|=a-m=3b-m,所以a=3b,所以e=ca=114.1,52[解析]设该内切圆在PF1,PA上的切点分别为D,E,由切线长定理可得|AB|=|AE|,|PD|=|PE|,|F1B|=|F1D|,又|PF2|-|PF1|=2a,|AF1|=|AF2|,所以|PA|+|AF