全品高考备战2027年数学一轮学生用书05第64讲随机事件的相互独立性与条件概率【正文】听课手册

第64讲随机事件的相互独立性与条件概率【课标要求】1.结合有限样本空间,了解两个随机事件独立性的含义.结合古典概型,能利用独立性计算概率.

2.结合古典概型,了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率.

3.结合古典概型,理解条件概率与独立性的关系.

4.结合古典概型,会利用乘法公式计算概率.1.事件的相互独立性(1)定义:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=成立,则称事件A与事件B相互独立.

(2)判断方法:①根据定义;②根据实际意义;③应用结论:当事件A,B相互独立时,事件A与事件B,事件A与事件B,事件A与事件B也相互独立.(3)注意:公式P(AB)=P(A)P(B)不可以推广到多个事件.当事件A1,A2,…,An两两独立时,P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)不一定成立.(4)相互独立事件与互斥事件的概率计算概率A,B互斥A,B相互独立P(A∪B)P(A)+P(B)1-P(A)P(B)P(AB)0P(A)P(B)P(AB)1-[P(A)+P(B)]P(A)P(B)P(AB∪AB)P(A)+P(B)P(A)P(B)+P(A)P(B)2.条件概率(1)定义:设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.

(2)性质:条件概率只是缩小了样本空间,因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0,则①P(Ω|A)=1;②如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);③设B和B互为对立事件,则P(B|A)=1-P(B|A).任何事件的条件概率都在0和1之间,即0≤P(B|A)≤1.特例:当P(A)>0时,当且仅当事件A与B时,有P(B|A)=P(B).

常用结论1.乘法公式的推广:设表示事件,i=1,2,3,且P()>0,P(A1A2)>0,则P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2),其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2同时发生时A3发生的概率,P(A1A2A3)表示A1,A2,A3同时发生的概率.2.事件的拆分:对Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn.题组一常识题1.[教材改编]已知事件A与B相互独立,P(A)=0.6,P(AB)=0.42,则P(B)=.

2.[教材改编]在同一时间内,甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为45和34.在同一时间内,则甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率为;至少有一个气象台预报准确的概率为3.[教材改编]交通部门对某地上、下班时间拥堵状况统计调查,发现该地区上班时间拥堵的概率为415,下班时间拥堵的概率为215,上、下班时间都拥堵的概率为110.设事件A=“上班时间拥堵”,事件B=“下班时间拥堵”,则P(B|A)=,P(A|B题组二常错题◆索引:事件的相互独立性理解不准确;条件概率的含义理解不准确;乘法公式应用不准确.4.已知事件A和事件B相互独立,B表示事件B的对立事件,P(A)=12,P(B)=34,则P(AB)=5.某校体育活动期间,有足球、篮球、乒乓球三项运动供学生选择.小明、小红从这三项运动中各随机选择一项,且他们的选择相互独立,在小明选择篮球的前提下,两人的选择不同的概率为.

6.一张储蓄卡的密码共6位数字,每位数字都可从0~9中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,他任意按最后一位数字,则不超过2次就按对的概率为.

相互独立事件的概率例1抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号),事件H1=“Ⅰ号骰子出现的点数是2”,事件H2=“Ⅱ号骰子出现的点数是3”,事件H3=“两个点数之和是8”,事件H4=“两个点数之和是9”,则 ()A.H2与H4相互独立B.H1与H3相互独立C.H1与H2相互独立D.H1与H4相互独立例2错题重做是一种有效的学习策略,它可以帮助学生更好地理解和掌握知识.某班级数学老师利用某人工智能软件设计了一个错题重做网页小游戏,并在班级发起错题重做挑战赛.甲和乙两人组成“郴队”参加挑战赛.每轮比赛中,甲和乙各抽取一道错题,他们做对与否互不影响,且各轮结果也互不影响.(1)若甲每轮做对的概率为34,乙每轮做对的概率为2(2)若甲和乙第一轮做对的概率分别为34,23,第二轮做对的概率分别为45,

总结反思1.两个事件是否相互独立的判断(1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件的发生是否相互影响.(2)定义法:若P(AB)=P(A)P(B),则事件A与事件B相互独立.2.求两个相互独立事件同时发生的概率的步骤:(1)首先确定两个事件是相互独立的;(2)求出每个事件发生的概率,再求积.变式题(1)某训练平台使用强化学习算法训练机器人完成迷宫任务.机器人每次训练有以下规则:若上一轮成功,则本轮的成功率为p;若上一轮失败,则本轮的成功率降为p2.已知首轮的成功率为23,且前两轮都成功的概率为12,各轮训练相互独立,则三轮训练中恰好成功两次的概率为 (A.2764 B.932 C.49 (2)甲、乙、丙三位同学进行知识竞赛,每局比赛两人对战,第三人旁观.每局比赛胜者与此局旁观者进行下一局比赛,按此规则循环下去,约定先赢两局者获胜,比赛结束.根据以往经验,每局比赛中,甲胜乙的概率为12,甲胜丙的概率为23,乙胜丙的概率为1①若第一局由甲、乙对战,求进行两局比赛后,比赛结束的概率;②若第一局由乙、丙对战,求比赛结束时,甲获胜的概率;③判断并说明由哪两位同学进行首场对战才能使甲获胜的概率最大.

条件概率与乘法公式例3(1)某校积极开展社团活动,学期结束时,社团老师对参加社团的同学进行选择性考核.某社团有小明、小刚等5位同学参加,现选3位同学参加考核,则在小明被选中的条件下,小刚被选中的概率为 ()A.13 B.12 C.25 (2)[2025·浙江L16联盟适应性考试]已知一道解答题有两小问,每小问5分,共10分.现每10个人中有6人能够做出第一问,但在第一问做不出的情况下,第二问做出的概率为0.1;第一问做出的情况下,第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率,则此题得满分的概率是,得0分的概率是.

总结反思求条件概率的常用方法(1)定义法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=P(AB)P(A)求(2)缩小样本空间法:先求事件A所包含的样本点个数n(A),再求事件AB所包含的样本点个数n(AB),则P(B|A)=n(变式题(1)[2025·河北部分学校5月联考]现有甲、乙、丙、丁4位乒乓球业余爱好者组队参与某次比赛,比赛顺序是第一场双打,第二场与第三场单打,每人只参加其中一个项目,在每场比赛中赢对方的概率分别是45,23,34,且每场比赛相互独立,则在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下,第一