鲁教版（五四制）七年级数学下册《第十一章三角形的证明及其应用》单元测试卷及答案

第页鲁教版（五四制）七年级数学下册《第十一章三角形的证明及其应用》单元测试卷及答案专题训练一全等三角形的常见模型模型平移型1.如图,在△ABC和△DEF中,∠B=∠DEF,AB=DE,现增加一个条件证明△ABC≌△DEF，下列符合要求的条件有个.①∠A=∠D②AC∥DF③BE=CF④AC=DF模型对称型2.如图,AB=AC,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E.(1)求证:△ABE≌△ACD;(2)若AE=6,CD=8,求BD的长.模型旋转型类型一不共顶点型旋转3.如图所示，小安同学为电力公司设计了一个安全用电的标识，点A,D,C,F在同一条直线上,且AF=DC,BC=EF,BC∥EF.(1)求证:AB∥DE;(2)若∠A=20°,∠AFE=102°,求∠E的度数.类型二共顶点型旋转(含手拉手型)探究拓展题综合与探究【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形.4.4.【基本模型】(1)如图1，在“手拉手”图形中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,连接BD,CE.求证:△ABD≌△ACE;【变式探究】(2)如图2,△ABC和△ADE都是等腰三角形,即AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE=90°,B,C,D在同一条直线上.请判断线段BD与CE存在怎样的关系，并说明理由；【拓展应用】(3)如图3,AB=BC,∠ABC=∠BDC=60°,若∠A=α,则∠C=.(用含α的式子表示)模型四一线三垂直模型5.如图,在三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时：①求证:△ADC≌△CEB;②试探索DE,AD,BE的数量关系,并说明理由；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,试探索DE,AD,BE的数量关系,并说明理由；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE,AD,BE具有怎样的数量关系?请直接写出这个等量关系，不需要证明.模型五半角模型6.如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角∠EOF为70°，则此时两舰艇之间的距离为海里.7.如图,△ABC中两边AB,AC上有两点M,N,D为△ABC外一点,且∠A=80°,∠BDC=100°,∠MDN=50°,BD=DC.(1)猜想线段MN,BM,NC之间的数量关系并证明；(2)若AB=7,AC=8,求△AMN的周长.专题训练二等腰三角形中的分类讨论思想类型 当顶角或底角不确定时，分类讨论1.等腰三角形中，有一个内角为80°，则该等腰三角形的顶角为()A.50° B.80°C.80°或20° D.20°2.等腰三角形的一个外角是110°，则它的顶角的度数为 ()A.70° B.70°或40°C.40° D.40°或110°3.若△ABC是等腰三角形,∠B=30°,∠A的度数为.类型当底和腰不确定时，分类讨论4.若实数x,y满足|x-4|+y−9=0,则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为 A.17 B.17或22C.22 D.135.已知△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,且∠BAD=40°,点E是边AC上的一点,若△ADE为等腰三角形，则∠EDC的度数是.6.已知等腰三角形的周长为10，一边长为2，那么它的腰长为.7.将一根长为30cm的木条折成一边为6cm的等腰三角形，则三角形的另外两边长分别为.类型当高不确定时，分类讨论8.已知等腰△ABC中一腰上的高与另一腰的夹角为32°，则△ABC的顶角的度数为.9.等腰△ABC中,BD⊥AC,垂足为点D，且BD=12AC,则等腰△类型四由腰的垂直平分线引起的分类讨论10.在△ABC中,AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B的度数为.类型五由腰上的中线引起的分类讨论11.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成9cm和12cm两部分，则等腰三角形的腰长为()A.6cm B.6cm或8cmC.8cm D.5cm或9cm类型六由动点引起的分类讨论12.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°,在直线AC取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P共有 ()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为.参考答案专题训练一全等三角形的常见模型1.32.解:(1)证明:∵CD⊥AB,BE⊥AC∴∠AEB=∠ADC=90°在△ABE和△ACD中{∴△ABE≌△ACD(AAS);(2)∵△ABE≌△ACD,∴AD=AE=6在Rt△ACD中AC=AD∴AB=AC=10∴BD=AB-AD=10-6=4.3.解:(1)证明:∵AF=CD∴AF+FC=CD+FC,即AC=DF.∵BC∥EF,∴∠ACB=∠DFE在△ABC和△DEF中{∴△ABC≌△DEF(SAS)∴AB∥DE;(2)∵∠D=∠A=20°,∠AFE=102°,∴∠E=∠AFE-∠D=102°-20°=82°.4.解:(1)证明:∵∠BAC=∠DAE∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD∴∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中{∴△ABD≌△ACE(SAS);(2)BD=CE,BD⊥CE,理由如下:∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中{∴△ABD≌△ACE(SAS)∴BD=CE,∠ADB=∠AEC.∵∠ECD+∠ADB=∠EAD+∠AEC∴∠ECD=∠EAD=90°∴BD⊥CE;(3)如图,延长DC至P,使DP=DB,连接PB∵∠BDC=60°∴△BDP是等边三角形∴BD=BP∠DBP=60°.∵∠ABC=60°∴∠ABC=∠DBP∴∠ABC-∠DBC=∠PBD-∠DBC,即∠ABD=∠PBC在△ABD和△CBP中{∴△ABD≌△CBP(SAS),∴∠BCP=∠A.∵∠BCD+∠BCP=180°∴∠BCD+∠A=180°∵∠A=α,∴∠BCD=180°-a,故答案为:180°-α.5.解:(1)①证明:∵AD⊥MN,BE⊥MN,∴∠ADC=∠CEB=90°∴∠DAC+∠ACD=90°.∵∠ACB=90°,∴∠BCE+∠ACD=90°∴∠DAC=∠BCE在△ADC和△CEB中{∴△ADC≌△CEB(AAS);②DE=BE+AD,理由如下:∵△ADC≌△CEB∴AD=CE,CD=BE∴DE=CD+CE=BE+AD即DE=BE+AD;(2)AD=BE+DE,理由如下:∵AD⊥MN,BE⊥MN∴∠ADC=∠CEB=90°∴∠DAC+∠ACD=90°.∵∠ACB=90°,∴∠BCE+∠ACD=90°∴∠DAC=∠BCE在△ADC和△CEB中{∴△ADC≌△CEB(AAS)∴AD=CE,CD=BE∴AD=CE=CD+DE=BE+DE,即AD=BE+DE;(3)BE=AD+DE.6.210解析:如图所示,连接EF,过点B作BH⊥x轴于点H根据题意得OA=OB,∠AOM=30°∠BON=9∴在Rt△AOM,Rt△BOH中∠OAM=60°,∠OBH=70°,则∠OBF=∠OBH+∠HBF=7∴∠AOB=∠AOM+∠MON+∠BON=3∵∠EOF=70°,∴∠AOE+∠BOF=∠AOB−∠EOF=14∵舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙以80海里/小时的速度前进，行驶1.5小时∴AE=60×1.5=90(海里),BF=80×1.5=120(海里)如图所示，延长MA至点F′，使得.AF'=BF,则∠OAF'在△OBF和△OAF'中{∴△OBF≌△OAF'(SAS)∴OF=OF',∠BOF=∠AOF'∴∠EOF'∴在△EOF'和△EOF中{∴△EOF'≌△EOF(SAS)∴E∴EF=90+120=210(海里)∴此时两舰艇之间的距离为210海里.7.解:(1)MN=BM+NC;理由如下:延长AB,在AB的延长线上取BE=CN,连接DE,如图∵∠BDC=100°,∠A=80°∴∠ABD+∠ACD=360°-∠A−∠BDC=180°.∵∠ABD+∠DBE=180°∴∠DCN=∠DBE.∵BE=CN,DB=DC∴△BDE≌△CDN(SAS)∴∠BDE=∠CDN,DE=DN.∵∠MDN=50°∴∠BDM+∠BDE=∠BDM+∠CDN=10∴∠MDN=∠EDM.∵DM=DM∴△MDE≌△MDN(SAS)∴MN=ME∴ME=BM+BE=CN+BM∴MN=BM+NC;(2)∵MN=BM+NC,AB=7,AC=8,∴C△AMN=AM+MN+AN=AM+BM+AN+CN=AB+AC=7+8=15.专题训练二等腰三角形中的分类讨论思想1.C2.B3.