全品高考备战2027年数学一轮备用题库15重点强化练(十五)【答案】

重点强化练(十五)1.C[解析]由抛物线C:y=4x2可得x2=14y,其准线方程为y=-116,因为抛物线上一点P到直线y=-1的距离为4,所以点P到直线y=-116的距离为4--116-(-1)=4916,2.B[解析]如图,依题意知F(1,0),设直线AB的方程为x=my+1(m>0),由y2=4x,x=my+1,得y2-4my-4=0,所以yA+yB=4m,所以|AB|=xA+xB+p=m(yA+yB)+2+2=4m2+4=163,可得m=33.C[解析]设A(2,y0),B(x1,y1),因为F(1,0),所以FA=(1,y0),FB=(x1-1,y1),由FA=3FB,即(1,y0)=3(x1-1,y1),得x1=43,y1=y03,又点B在椭圆C上,所以4322+y032=1,解得4.C[解析]抛物线及其准线如图所示,过点A作AB垂直于准线,垂足为点B,过焦点F作FE垂直于AB,垂足为点E,由题意可知p=2,∠AFx=∠FAE=π3,根据抛物线的定义知|AF|=|AB|=|AE|+|EB|,在Rt△AFE中,|AE|=|AF|·cosπ3=12|AF|,又|BE|=p=2,所以|AF|=|AB|=12|AF|+2,解得|AF|=4.5.C[解析]由题意得A(-2,0),点B和点C均在双曲线的左支上,若△ABC是等腰直角三角形,则由双曲线的对称性可得A为直角顶点,设B(x1,y1)(x1<0),由对称性得C(x1,-y1),则|y1|=|x1|-2=-x1-2,又x124-y12=1,所以x1=-103,y1=±43,则|BC|=83,所以S△ABC=12×6.C[解析]设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由y2=2x,得p=1,所以F12,0,准线方程为x=-12.因为FA+FB+FC=0,所以F为△ABC的重心,所以x1+x2+x33=12,所以x1+x2+x3=32,所以|FA|+|FB|+|FC|=x1+12+x2+12+x3+12=x7.A[解析]由抛物线C的方程为x2=4y知,焦点F的坐标为(0,1),设直线l的方程为y=kx+1,M(x1,y1),N(x2,y2),由x2=4y,y=kx+1,消去y整理得x2-4kx-4=0,则x1+x2=4k,x1x2=-4,故y1y2=x124·x224=1,又|MF|=y1+p2=y1+1,|NF|=y2+p2=y2+1,所以2|MF|+12|NF|=2(y1+1)+12(y2+1)=2y1+12y2+52≥22y1×12y2+58.B[解析]由抛物线C:y2=x得2p=1,则p=12,则F14,0,不妨设直线PQ的倾斜角为θ0<θ<π2,P,M在第一象限内,则由|PF|cosθ+p=|PF|,p-|QF|cosθ=|QF|得|PF|=p1-cosθ,|QF|=p1+cosθ,所以|MF|=p1-cosπ2+θ=p1+sinθ,|NF|=p1+cosπ2+θ=p1-sinθ,得9.ABD[解析]如图,由题意可知,∠F1AF2=π3,|AF1|=|AF2|=a,故△AF1F2为等边三角形,则a=2c,b=3c,又a2-b2=m2+1-m2=1,所以c=1,b=3,a=2,所以椭圆C的焦距为2c=2,A正确;由椭圆的定义可知,△ABF2的周长为4a=8,B正确;椭圆C的离心率e=ca=12,C错误;设|BF1|=x,则|BF2|=4-x,又∠BF1F2=2π3,所以由余弦定理可得(4-x)2=4+x2-4xcos∠BF1F2,解得x=65,所以S△BF1F2=12|BF1||F2F1|sin2π3=110.BCD[解析]由椭圆C:x225+y216=1,得a=5,b=4,c=3,由椭圆的定义可知,|PF1|+|PF2|=2a=10,故A错误;由椭圆离心率公式可得e=ca=35,故B正确;|F1F2|=2c=6,设点P到x轴的距离为h,显然hmax=b=4,则△PF1F2面积的最大值为12|F1F2|·b=12×6×4=12,故C正确;线段F1F2的中点为(0,0),则以线段F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=9,其圆心为(0,0),半径r=3,又圆(x-4)2+(y-3)2=4的圆心为(4,3),半径R=2,所以两圆的圆心距d=(3-0)2+11.BC[解析]由题意知,焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,设Ay124,y1,By224,y2.对于A,由抛物线的二级结论可知y1y2=-p2=-4①.若存在弦AB,都不满足①式,故A错误.对于B,当AB⊥OF时,y12或y1=-2,y2=2,由对称性不妨取A(1,2),B(1,-2),则|OA|=|OB|=5,所以|OA|·|OB|=5,故B正确.对于C,设弦AB的中点为E,过A,B,E分别作准线的垂线,垂足分别为M,N,Q,如图,则|EQ|=12(|AM|+|BN|)=12(|AF|+|BF|)=12|AB|,又|AB|<|OA|+|OB|,所以|EQ|<12(|OA|+|OB|),故C正确.对于D,设直线AB的方程为y=k(x-1),k∈(0,2).由y=k(x-1),y2=4x,消去x整理得ky2-4y-4k=0,则Δ=16+16k2>0,y11+y17+(25+(y1+y2)2=25+16k2.因为k∈(0,2),所以k2∈(0,4),所以|OA|·|OB12.477[解析]由题意知F1(-7,0),F2(7,0),则|F1F2|=27,因为S△ABF2=12|y1-y2|·|F1F2|=4,所以|y1-y213.3263[解析]设P(x0,y0),则Qx02,y02,Cx02,0,A(-x0,-y0),则k1=y0x0,k3=kAC=-y0-0-x0-x02=23·y0x0,∴k1k3=32.设B(x1,y1),则x02a2+y02b2=1,x12a2+y12b2=1,14.9[解析]如图,不妨设A(n2,2n)(n>0),直线AB:x=my+2,由x=my+2,y2=4x,得y2-4