全品高考备战2027年数学一轮学生用书11增分微课8空间中的动态问题【答案】听课手册

增分微课8空间中的动态问题例1(1)BD(2)294[解析](1)对于A,如图①,当λ=1时,BP=BC+μBB1,即CP=μBB1,所以CP∥BB1,故点P在棱CC1上,此时△AB1P的周长为AB1+B1P+AP,当点P为CC1的中点时,△AB1P的周长为5+2,当点P在点C1处时,△AB1P的周长为22+1,故周长不为定值,故选项A错误;对于B,如图②,当μ=1时,BP=λBC+BB1,即B1P=λBC,所以B1P∥BC,故点P在棱B1C1上,因为B1C1∥平面A1BC,所以直线B1C1上的点到平面A1BC的距离相等,又△A1BC的面积为定值,所以三棱锥P-A1BC的体积为定值,故选项B正确;对于C,如图③,当λ=12时,取BC,B1C1的中点分别为M,M1,连接M1M,A1M1,BM1,A1M,AM,因为BP=12BC+μBB1,即MP=μBB1,所以MP∥BB1,则点P在线段M1M上,当点P在M1处时,A1M1⊥B1C1,A1M1⊥B1B,又B1C1∩B1B=B1,所以A1M1⊥平面BB1C1C,又BM1⊂平面BB1C1C,所以A1M1⊥BM1,即A1P⊥BP,同理,当点P在M处,A1P⊥BP,故选项C错误;对于D,如图④,当μ=12时,取CC1的中点D1,BB1的中点D,连接DD1,B1D1,AD1,因为BP=λBC+12BB1,即DP=λBC,所以DP∥BC,则点P在线段DD1上,当点P在点D1处时,取AC的中点E,连接A1E,BE,因为BE⊥平面ACC1A1,AD1⊂平面ACC1A1,所以AD1⊥BE,在正方形ACC1A1中,AD1⊥A1E,又BE∩A1E=E,BE,A1E⊂平面A1BE,故AD1⊥平面A1BE,又A1B⊂平面A1BE,所以A1B⊥AD1,在正方形ABB1A1中,A1B⊥AB1,又AD1∩AB1=A,AD1,AB1⊂平面AB1D1,所以A1B⊥ (2)如图①,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则C(0,2,0),C1(0,2,2),M(2,1,0).设P(x,0,z),x,z∈[0,2],则CP=(x,-2,z),C1M=(2,-1,-2).由题意得CP·C1M=2x+2-2z=0,则z=x+1,又因为x,z∈[0,2],所以x∈[0,1].设E,F分别为DD1,A1D1的中点,连接EF,则易得线段EF为动点P的轨迹,轨迹的长度为2.MP=(x-2)2+1+z2=2x2-2x+6,则当x=12时,线段MP取得最小值,此时P12,0,32,则点P在平面ABCD内的射影为点P112,0,0,取CM的中点O1,则O11,32,0.如图②,设三棱锥P-MBC的外接球的球心为O,连接O1P1,OO1,OM,OP.由题意知,O1为△BCM的外接圆圆心,O1M=52,O1P1=102,PP1=32,则R2= 变式题BCD[解析]如图.对于A,取DD1的中点O,连接MO,M'O,则MO⊥DD1,M'O⊥DD1,所以∠MOM'为二面角M-DD1-M'的平面角,易知∠MOM'=θ,而∠MDM'≠∠MOM'=θ,故A错误;对于B,当θ=90°时,M也绕着旋转90°,由于M到DD1的距离是正方体面对角线的一半,即2,因此旋转的轨迹长度是14×2π×2=22π,故B正确;对于C,当θ=90°时,把正方体的左边补成一个全等的正方体,则M'是正方体AEA'D-A1E1A'1D1的中心,因此M'A'∥MD,M'A'1∥MD1,又M'A'⊄平面MDD1,MD⊂平面MDD1,所以M'A'∥平面MDD1,同理可得M'A'1∥平面MDD1,又M'A'∩M'A'1=M',M'A',M'A'1⊂平面M'A'A'1,所以平面M'A'A'1∥平面MDD1,故C正确;对于D,连接MM',由C可知,当θ=90°时,M'A'∥MD,M'A'=MD,因此四边形M'A'DM是平行四边形,因此MM'∥A'D,即MM'∥AB,因此M,M',A,B四点共面,故D正确.例2解:(1)证明:由题意知EB∥FC,又EB⊄平面CD'F,FC⊂平面CD'F,所以EB∥平面CD'F,同理可得A'E∥平面CD'F,又EB∩A'E=E,EB,A'E⊂平面A'EB,所以平面A'EB∥平面CD'F,又A'B⊂平面A'EB,所以A'B∥平面CD'F.(2)由题意知EF⊥A'E且EF⊥EB,可知∠A'EB即为面EFD'A'与面EFCB所成二面角的平面角,故∠A'EB=60°.不妨设AD=1,在平面A'EB内,过点A'作EB的垂线,垂足为O,易得A'O⊥平面EFCB,EO=12,OB=32,A'O=过点O作EF的平行线,交CD于点G,易得A'O,OB,OG两两垂直,以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则E0,-12,0,F-1,-12,0,A'0,0,32,D'-1,0,32,B0,3则FE·n1=x1=0,EA'·nCB=(1,1,0),D'B=1,32,-32,设平面BCD'的法向量为n2=(x2取y2=3,则n2=(-3,3,1).设面BCD'与面EFD'A'所成的二面角为θ,则|cosθ|=n1·n2|n1|·|n2|=7变式题(1)C(2)AC[解析](1)如图,作BM∥DE交CD于M,连接MG,则四边形BEDM是平行四边形,DM=22,CM=2.由BM∥DE,BM⊄平面FDE,DE⊂平面FDE,可得BM∥平面FDE.又BG∥平面FDE,BM∩BG=B,BM,BG⊂平面BGM,所以平面FDE∥平面BMG.因为平面FDE∩平面FDC=FD,平面BMG∩平面FDC=MG,所以MG∥FD,因此CGCF=CMCD=13.(2)对于B,因为△ABC,△AD'C均为直角三角形,∠ABC=∠AD'C=90°,O为AC的中点,所以O为三棱锥D'-ABC外接球的球心,其半径为OA=22,所以外接球的体积为43π(22)3=6423π,所以B错误;对于C,如图,过M作MH⊥AC于H,连接NH,则MH⊥平面ABC,所以∠MNH为直线MN与平面ABC所成的角,又MO=MA=ON=2,MO⊥MA,所以MH=2,且H为OA的中点,所以NH=ON2+OH2-2ON·OHcos∠NOH=10,故MN=MH2+HN2=23,所以sin∠MNH=223=66,所以C正确;对于A,设A到平面MON的距离为h,由VM-AON=VA-MON,得13×12×22×2×sin135°×2=223=13h·S△MON,由cos∠MON=MO2+NO2-MN22MO·NO=-12,得sin∠MON=32,所以S△例3(1)11(2)[3,23][解析](1)设O1,O分别为上、下底面的中心,连接O1O,以O为原点,CD,DA,OO1的方向分别为x,y,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则E32,32,32.设F(-1,f,3),G(-2,g,0),其中-1≤f≤1,-2≤g≤2,所以EF=-52,f-32,32,EG=-72,g-32,-32,故EF·EG=354+f-32(g[(g+f)-3)]2+11,又-3≤g+f≤3,所以当(2)连接AD,因为正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,D为BC的中点,所以AD⊥BC,AD=3.过点D作z轴∥BB1,以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A1(3,0,3),B1(0,1,3),C1(0,-1,3),则A1B1=(-3,1,0),DC1=(0,-1,3).设P(x0,y0,z0),Q(x1,y1,z1),则A1P=(x0-3,y0,z0-3),DQ=(x1,y1,z1),所以(x0-3,y0,z0-3)=λ(-3,1,0),(x1,y1,z1)=λ(0,-1,3)(0≤λ≤1),所以P(3-3λ,λ,3),Q(0,-λ16λ2-24λ+12=24λ-342+34,当λ=34时,|PQ|取得最小值3变式题(1)C(2)C[解析](1)分别取AB,A1B1的中点O,O1,连接OC,OO1,以O为原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设P(x,0,z),其中-1≤x≤1,0≤z≤2,因为△ABC为正三角形,所以OC=3,则C(0,3,0),C1(0,3,2),所以PC=(-x,3,-z),PC1=(-x,3,2-z),所以PC·PC1=x2+3+z2-2z=x2+(z-1)2+2.当x=±1,且z=0或z=2时,PC·PC1取得最大值4,当x=0,且z=1时,PC·PC1取得最小值2,所以(2)如图,分别作AC1关于平面ABCD和平面BCC1B1对称的线段AM,C1N,点P对称后的点分别记为P1,P2,则PS+PT+ST=P1S+ST+P2T≥P1P2,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),M(0,1,-1),C