全品高考备战2027年数学一轮学生用书04第25讲简单的三角恒等变换【正文】听课手册

第25讲简单的三角恒等变换【课标要求】能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).三角函数式的化简例1(1)化简:2cos4x(2)化简:(tan12°tan6°+1)·sin24°2cos12°总结反思1.三角函数式的化简要遵循的“三看”原则:①一看“角”;②二看“函数名称”;③三看“结构特征”.2.三角函数式化简的方法:弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次.变式题(1)化简:21+sin4+2+2cos4= ()A.2cos2 B.2sin2C.4sin2+2cos2 D.2sin2+4cos2(2)化简:①1tanα2-tanα21+tanαtanα2三角函数式的求值角度1给值求值例2(1)[2025·武汉4月调研]若tanα+π4=7,则cos2α的值为 A.725 B.34 C.1225 (2)[2024·新课标Ⅱ卷]已知α为第一象限角,β为第三象限角,tanα+tanβ=4,tanαtanβ=2+1,则sin(α+β)=.

总结反思给值求值是指已知某个角的三角函数值(或三角函数式的值)求与该角相关的其他三角函数值(或三角函数式的值)的问题,解题关键是“变角”,使角相同或具有某种关系.变式题(1)已知sinα+π6=-112,则sin2αA.1213 B.-C.7172 D.-(2)[2025·安徽合肥二模]已知tanθtan2θtanθ-tan2θ=45,则sin4A.925 B.C.1725 D.角度2给角求值例3[2025·湖北武汉5月模拟]sin40°·(tan10°-3)=.

总结反思该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值.变式题计算:(1+tan13°)(1+tan17°)(1+tan28°)(1+tan32°)=.

角度3给值求角例4已知cosα+π3=3314(1)求cosα的值;(2)若tan(α+β)=5311,β∈0,π

总结反思通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时有以下原则:(1)已知正切函数值,则选正切函数.(2)已知正、余弦函数值,则选正弦或余弦函数.若角的取值范围是0,π2,则选正、余弦函数皆可;若角的取值范围是(0,π),则选余弦函数较好;若角的取值范围为变式题(1)[2025·福建漳州二检]已知α∈0,π2,若sin3π2+2α+cosα-A.π12 B.π6 C.5π12 (2)若sin2α=55,sin(β-α)=1010,且α∈π4,π,β∈π,3π2,则A.7π4 B.9π4 C.4π3 三角恒等变换的综合应用例5已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),|a-b|=25(1)求cos(α-β)的值;(2)若0<α<π2,-π2<β<0,且sinβ=-513,求sin

总结反思(1)进行三角恒等变换时要抓住变角、变函数名称、变结构,尤其要注意角之间的关系,注意公式的逆用和变形使用.(2)把y=asinx+bcosx化为y=a2+b2sin(x变式题已知函数f(x)=24sinπ4-x+(1)求函数f(x)在区间π4(2)若cosθ=45,θ∈3π2,2π,求

三角恒等变换的实际应用例6[2026·唐山五校联考]如图,矩形花园ABCD中,AB=2,AD=3,H是AB的中点,在该花园中有一花圃,其形状是以H为直角顶点的Rt△HEF,其中E,F分别落在线段BC和线段AD上,记∠BHE=θπ6≤θ≤π3,Rt△EHF的周长为(1)求S的取值范围.(2)当θ为何值时,L的值最小?并求L的最小值.

总结反思应用三角恒等变换解决实际问题的步骤变式题某地进行老旧小区改造,有半径为60米,圆心角为π3的一块扇形空置地(如图),现欲从中规划出一块三角形绿地PQR,其