全品高考备战2027年数学一轮学生用书11培优专训(四)解三角形中多变量消元策略【答案】作业手册

培优专训(四)解三角形中多变量消元策略1.A[解析]因为sinA=2sinB,所以由正弦定理得a=2b,又C=2π3,所以由余弦定理得c=a2+b2+ab=4b2+b22.D[解析]由正弦定理得ACsinB=BCsinA,因为BC=3,B=2A,所以AC2sin6cosA①,又AB=5,所以由余弦定理得cosA=AB2+AC2-BC22AB·AC=25+3.D[解析]由bsinC=3ccosB及正弦定理得sinBsinC=3sinCcosB,又sinC≠0,所以sinB=3cosB,则tanB=3,由B∈(0,π)得B=π3.由S△ABC=12acsinB=12b×1得b=32ac,则ac=233b,根据余弦定理得b2=a2+c2-ac=(a-c)2+ac=1+233b,整理得3b2-23b4.D[解析]在△ABC中,由余弦定理结合a2=c2-b22,得cosA=b2+c2-a22bc=c22+32b22bc=c4b+3b4c≥2c4b5.D[解析]因为a2,b2,2c2成等差数列,所以a2+2c2=2b2,则cosB=a2+ccosC=a2+b2-c22ab=3(b2-c2)2ab,所以cosCcosB=3(b2-c2)2abb26.ABD[解析]对于A,因为bsinA=(3b-c)sinB,所以由正弦定理得ba=(3b-c)b,又b≠0,所以a=3b-c,即a+c=3b,故A正确;对于B,由cosA=13,A∈(0,π),可得sinA=1-1tanA=sinAcosA=22,故B正确;对于C,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,又a=3b-c,cosA=13,所以(3b-c)2=b2+c2-2bc·13,整理得3b=2c,所以△ABC的周长为a+b+c=4b=83c,故C错误;对于D,由上分析知,a=3b-c,3b=2c,所以a=c,b=23a,则△ABC的面积为12bcsinA=12×23a×a7.BCD[解析]对于A,由cosCcosB=2得2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC,即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,因为sinA≠0,所以cosB=22,又B∈(0,π),所以B=π4,故A错误;对于B,由正弦定理得asinA=bsinB=222=22,则a=22sinA,又△ABC存在且唯一,所以0<a≤b=2或A=π2,则0<a≤2或a=22,故B正确;对于C,由sinC=2sinA,得sin322sinA=2sinA,所以sinA=cosA,即tanA=1,又A为三角形的内角,所以A=π4,则A=B=π4,所以b=a,故C正确;对于D,若b=2,则由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,即a2+c2-2ac=4,所以a2+c2=2ac+4≥2ac,即ac≤4+22,当且仅当a=c=4+22时取等号,所以△ABC的面积为12acsinB=24ac≤24×(4+28.BCD[解析]对于A选项,因为(a+b)(sinB-sinA)=c(sinB-sinC),所以由正弦定理可得(a+b)(b-a)=c(b-c),整理可得b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12,又A∈(0,π),所以A=π3,故A错误;对于B选项,因为a=3,所以由余弦定理和基本不等式可得a2=3=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-3(b+c)24=(b+c)24,所以b+c≤23,当且仅当b=c=3时,等号成立,故△ABC的周长为a+b+c≤33,即△ABC的周长的最大值为33,故B正确;对于C选项,由正弦定理可得bsinB=asinA=332=2,则b=2sinB≤2,当且仅当B=π2时,b取最大值,此时c=b2-a2=4-3=1,S△2sinB-212sinB+32cosB=sinB-3cosB=2sinB-π3,因为0<B<2π3,所以-π3<B-π3<π39.π3[解析]由题意可得sinAcosC+3sinCsinA=sinB+sinC∴sinAcosC+3sinCsinA=sin(A+C)+sinC,可得3sinCsinA=sinC(cosA+1),∵C∈0,π2,∴∴3sinA-cosA=1=2sinA-π6,可得sinA-π6=12.∵A∈0,π2,∴A-π6∈-π10.155[解析]由正弦定理得ACsinB=BCsinA,因为AC=32BC,所以sinB=32sinA①.由sinA=2cosB,得cosB=12sinA②.将①②代入sin2B+cos2B=1,得94sin2A+14sin2A=1,得sin2A=25,所以cos2A=35,则cosA=155或cosA=-155.因为AC=311.13,12[解析]设B=2θ,则∠ABD=∠DBC=θ,因为AD=BD,所以A=θ,则C=π-3θ,又A,B,C∈(0,π),所以θ∈0,π3.在△ABC中,由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC,则asinθ=bsin2θ=csin3θ,因为sin3θ=sin(2θ+θ)=sin2θcosθ2sinθ2cosθ-12cos2θ+1-2sin2θ=2cosθ-14cos2θ-1=112.解:(1)由2sinC+π6=b+ca,可得b+cacosC+3sinC,所以sinB+sinC=sinAcosC+3sinAsinC,又sinB=sin(A+C),所以sinAcosC+cosAsinC+sinC=sinAcosC+3sinAsinC,所以cosAsinC+sinC=3sinAsinC,又sinC≠0,所以cosA+1=3sinA,所以sinA-π6=12.因为0<A<π,所以-π6<A-π6<5π6,所以A-π(2)由(1)知A=π3,由正弦定理得bsinB=csinC,所以c=bsinCsinB=sin因为0<B<π2,0<2π3-B<所以0<1tanB<3,所以12<32·则c的取值范围为1213.解:(1)由sinA-sinBc-b=sinCa+b及正弦定理得a-bc所以cosA=b2+c2-a22bc=(2)因为BD=2DA,BC=CD,所以AD=13c,DC=a在△ADC中,由余弦定理得DC2=AD2+AC2-2AD·ACcosA,即a2=c29+b2-在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA,即a2=c2+b2-bc,所以c29+b2-13bc=c2+b2-bc,得23c43c-b=0,所以b=43c,所以a2=139c2,可得a=133c.在14.解:(1)因为asinA+C2=b所以由正弦定理得sinAsinπ-B2=sinB故sinAcosB2=2sinB2cosB2sinA,又0<A<π,0<B<π,所以sinA>0,0<B则cosB2>0,可得sinB2=12,所以B2=π6(2)由正弦定理可得2R=asinA=csinC