全品高考备战2027年数学一轮学生用书04第25讲简单的三角恒等变换【答案】听课手册

第25讲简单的三角恒等变换●课堂考点探究例1[思路点拨](1)分子化为完全平方式,分母利用切化弦及诱导公式变形后,再利用二倍角的正弦、余弦公式以及诱导公式化简即可;(2)根据同角三角函数的基本关系化切为弦,化简整理后结合二倍角公式、同角三角函数的基本关系计算可得结果.(1)12cos2x[解析](1)原式=12(4cos4x-4cos2(2)(tan12°tan6°+1)·sin24°2cos12°=2sin12°cos12°2cos12°变式题(1)B(2)①2sinα[解析](1)21+sin4+2+2cos4=2sin2+2(2cos4cos22=2|sin2+cos2|+2|cos2|.∵π2<2<3π4,∴cos2<0.∵sin2+cos2=2sin2+π4,3π4(2)①原式=cosα2sinα2-sincosα2cos②原式=sin(2αcosαsin(α+例2[思路点拨](1)根据已知条件及两角和的正切公式求出tanα,再根据二倍角的余弦公式和同角三角函数的基本关系将cos2α化为关于tanα的式子,代入正切值即可求解.(2)思路一:根据两角和的正切公式得tan(α+β)=-22,再缩小α+β的取值范围,最后结合同角三角函数的平方关系即可得到答案;思路二:利用弦化切的方法及两角和的正弦公式即可得到答案.(1)A(2)-223[解析](1)由tanα+π4=7,可得tanα+tanπ41-tanαtanπ4=7,即tanα(2)方法一:由题得tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=4-2=-22.∵2k1π<α<π2+2k1π,k1∈Z,π+2k2π<β<3π2+2k2π,k2∈Z,∴π+2(k1+k2)π<α+β<2π+2(k1+k2)π,k1,k2∈Z,即π+2kπ<α+β<2π+2方法二:∵α为第一象限角,β为第三象限角,∴cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan变式题(1)D(2)C[解析](1)因为sinα+π6=-112,所以sin2α-π6=-sinπ6-2α=-sin(2)因为tanθtan2θ所以sinθcosθ所以sinθsin2θ所以sinθsin2θsin(θ-2θ)=45,所以sin2θ=-45,所以2sinθcosθ=-45,所以sinθcosθ=-25,所以sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ例3[思路点拨]先切化弦、通分,再根据两角差的正弦公式、二倍角的正弦公式和诱导公式即可求解.-1[解析]原式=sin40°sin10°cos10°-sin40°·2sin(10°-60°)cos10°=变式题4[解析]∵1=tan45°=tan(13°+32°)=tan13°+tan32°tan13°tan32°,即tan13°+tan32°+tan13°tan32°=1,∴(1+tan13°)(1+tan32°)=1+tan13°+tan32°+tan13°tan32°=2,同理可得(1+tan17°)(1+tan28°)=2,∴(1+tan13°)(1+tan17°)(1+tan28°)(1+tan32°)=4.例4[思路点拨](1)根据α∈0,π2,得到α+π3∈π3,5π6,结合同角三角函数的平方关系求得sinα+π解:(1)因为α∈0,π2,所以α+π3∈π3,5π6,又coscosα=cosα+π3-π3=cosα+π3cosπ3+sinα+π3(2)由(1)可知tanα=312,所以tanβ=tan(α+β-α)=tan(α+β因为β∈0,π2,所以β变式题(1)A(2)A[解析](1)由题意知sin3π2+2α+cosα-π4=-cos2α+cosα-π4=0,即cos2α=cosα-π4,即cos2α-sin2α=22(cosα+sinα).因为α∈0,π2,所以cosα+sinα>0,所以cosα-sinα=22,即cosα+π4=12.因为(2)∵sin2α=2sinαcosα=55>0,∴sinα,cosα符号相同,又α∈π4,π,∴α∈π4,π2,∴2α∈π2,π.由sin2α=55可得cos2α=-255,又β∈π,3π2,∴β-α∈π2,5π4,又sin(β-α)=1010>0,∴β-α∈π2,π,∴cos(β-α)=-31010,∴cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos2αcos(β-α)-sin2αsin(β-α)=-255×-例5[思路点拨](1)结合平面向量减法运算的坐标表示以及模长的坐标公式可得(cosα-cosβ)2+(sin解:(1)因为向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),所以a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ),又因为|a-b|=255,所以(cos即cos2α+cos2β-2cosαcosβ+sin2α+sin2β-2sinαsinβ=45即2-2cos(α-β)=45所以cos(α-β)=35(2)因为0<α<π2,-π2<β<0,所以0<α-β<π,所以sin(α-β)=1-因为sinβ=-513,-π2<β<0,所以cosβ=1-所以sinα=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ=45×1213+35×-变式题解:(1)由题意得f(x)=24sinπ4-x+64cosπ4-x=因为x∈π4,3π2,所以x-7π12∈-π3,11π12,所以sin故函数f(x)在区间π4,3π2上的最大值为(2)因为cosθ=45,θ∈3π所以sinθ=-35,所以sin2θ=2sinθcosθ=-2425,cos2θ=cos2θ-sin2θ=1625-9所以f2θ+π3=-22sin2θ+π3-7π12=-22sin2θ)=12×725+例6[思路点拨](1)首先利用θ的三角函数表示HE和HF,再结合三角形的面积公式、二倍角公式以及角θ的取值范围,即可求面积S的取值范围;(2)根据(1)得到HE,HF,利用勾股定理得到FE,表示出Rt△EHF的周长L,利用换元法,令sinθ+cosθ=t,将L转化为关于t的函数,结合t的取值范围求最值即可.解:(1)由题图可知,在Rt△HBE中,HE=1cosθ,在Rt△HAF中,HF=1sinθ,∴S=12HE·HF=12·由π6≤θ≤π3得π3≤2θ∴sin2θ∈32,1,∴S(2)由(1)知HE=1cosθ,HF=1sinθ,在Rt△EHF中,FE=HE2+HF2=1sinθ令sinθ+cosθ=t,则sinθ·cosθ=12(t2-1),其中t=2sinθ∵π6≤θ≤π3,∴5π12≤θ+π∴6+24∴t∈3+1∵L=t+112(t2-1)=2t-1且t-1∈3-12,2-1变式题解:(1)在Rt△PAQ中,∠PAQ=α,AP=60米,所以PQ=APsinα=60sinα(米).又∠BAC=π3,所以∠PAR=π3-α,在Rt△