全品高考备战2027年数学一轮学生用书11培优专题(九)概率与其他知识的交汇问题【正文】听课手册

类型一统计图表与概率例1[2025·陕西汉中模拟]杜老师随机选取了开学测试中本班10名学生的数学成绩,得到如下统计图.(1)从这10名学生中随机选出1人,求其数学成绩不低于120分的概率.(2)杜老师将对数学成绩不低于135分的学生给予奖励,现在从这10名学生中随机选出3人,记X为选出获得奖励的学生人数,求X的分布列和数学期望.(3)杜老师针对测试内容与学习计划,对“三角函数”“概率”“导数”这3个模块进行复习训练,且在训练中进行多轮测评.规定:在一轮测评中,若这3个模块至少有2个模块达到90分以上,则该轮测试记为合格.在复习训练中,甲同学3个模块中每个模块达到90分以上的概率均为13,每轮测评互不影响.

总结反思高考常将频率分布直方图等统计图表与概率分布列交汇在一起进行考查,因此在解答此类题时,准确地把题中所涉及事件进行分解,明确所求问题所属的事件类型是关键.自测题[2025·山东德州三模]随着信息技术的迅猛发展,智能化家居让人们的生活越来越幸福,智能门锁就是其中之一.智能门锁的质量是根据其正常使用的时间来衡量的,使用时间越长,表明质量越好,且使用时间大于或等于6年的为优质品.现用A,B两种不同品牌的智能门锁做试验,各随机抽取部分产品作为样本,得到试验结果的频率分布直方图如图所示(分组依次为[3,4),[4,5),[5,6),[6,7),[7,8]),以试验结果中各组的频率作为相应的概率.(1)现从大量的A,B两种品牌智能门锁中各随机抽取2件产品,求其中至少有3件是优质品的概率.(2)通过多年统计发现,A品牌智能门锁每件产品的利润y(单位:元)与其使用时间t(单位:年)的关系如下表:使用时间t(单位:年)t<55≤t<6t≥6每件产品的利润y(单位:元)-200200400若从大量的A品牌智能门锁中随机抽取2件产品,其利润之和记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.

类型二统计案例与概率例2[2025·重庆南开中学质检]某健身机构为研究碳水摄入情况与肥胖情况之间的关联,在该机构的健身学员中随机抽取200名学员进行调查,得到的2×2列联表如下.单位:人肥胖情况碳水摄入情况合计不控制碳水摄入控制碳水摄入肥胖4060不肥胖合计135200(1)补全2×2列联表,根据小概率值α=0.05的独立性检验,分析不控制碳水摄入是否会增加变肥胖的风险;(2)用样本频率估计概率,从该健身机构肥胖的学员中随机抽取5名学员,用P(X)表示这5名学员中恰有X名不控制碳水摄入的概率,求P(X)取最大值时X的值.附:χ2=n(ad-bc)2(a+bα0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828

例3[2025·湖南长沙适应性考试]我国新能源汽车的卓越性能赢得全球人民的信赖,某品牌新能源汽车凭借科研创新、广告宣传和可靠售后保障,在全球赢得了很好的营销局面.下表为2017年~2024年(年份代码分别记为1,2,3,4,5,6,7,8)该品牌新能源汽车的科研经费和全球市场规模统计.年份代码i12345678科研经费xi(单位:百亿元)2361013151821市场规模yi(单位:百万辆)1122.53.53.54.56(1)根据样本数据,推断两个变量x,y线性相关,请计算样本相关系数r,判断它们的线性相关程度(结果精确到0.01).(当|r|越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强;当|r|越接近0时,成对样本数据的线性相关程度越弱)(2)已知在国内,新能源汽车车主购买的新能源汽车为该品牌新能源汽车的概率为p(p∈(0,1)),从国内新能源汽车车主中随机抽取5人,记这5人中购买该品牌新能源汽车的人数为随机变量X,若P(X=5)=P(X=4),求随机变量X的数学期望和方差.参考数据:∑i=18xiyi=347,∑i=18xi参考公式:样本相关系数r=∑i

总结反思高考常将统计案例与概率分布列交汇在一起进行考查,求解时注意概率模型的应用,明确所求问题所属的事件类型是关键.自测题[2025·山东日照联考]近期根据中国消费者信息研究报告显示,超过40%的消费者更加频繁地使用网上购物,某网购专营店统计了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数y和时间x(第x天)的数据,列表如下:x12345y75849398100(1)由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合y和x之间的关系?若可用,求出y关于x的经验回归方程,并预测1月10日到该专营店购物的人数;若不可用,请说明理由(人数用四舍五入法取整数,若样本相关系数r满足|r|>0.75,则线性相关程度很强,可以用线性回归模型拟合,r精确到0.01).(2)该专营店为了吸引顾客,推出两种促销方案.方案一:购物金额每满100元可减5元;方案二:一次性购物金额超过800元可抽奖三次,每次中奖的概率均为14,且每次抽奖互不影响,中奖一次打9折,中奖两次打8折,中奖三次打6折.某顾客计划在此专营店购买1000元的商品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠参考数据:4340≈65.88,∑i=15(xi-x)2=10,∑i=15(yi-y)2=434,∑i=15(xi附:样本相关系数r=∑i=1n(xi-x)(yi

类型三概率与函数、导数例4甲、乙两人进行知识问答比赛,比赛规则如下:每道题由1人作答,若答对,则答题者得1分,并继续回答下一道题;若答错,则对方得1分,并由对方回答下一道题.比赛规定:先得3分者赢得比赛且比赛结束.若比赛中甲答对任一道题的概率为p,乙答对任一道题的概率为q,且每人每道题是否答对相互独立.经赛前抽签,确定甲先答题.(1)求乙在第二道题得分的概率(用p,q表示);(2)若p=12,q=1(3)若p+q=1,记比赛结束时答题道数为X,求E(X)的最大值.

总结反思解决概率与函数的综合问题的步骤(1)建模,建立函数模型或概率模型;(2)求最值,借助二次函数、分段函数的性质,利用单调性求均值、方差的最值或利用导数研究函数的极值,从而确定最值;(3)检验,结合题目的实际意义确定符合题意的解.自测题甲参加一项招聘考试,分为笔试和面试两个环节,笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题,每道专业理论题的难度系数(考生能够正确作答的概率)均为p(0<p<1),每道岗位实践题的难度系数均为q(0<q<1),考生至少答对3道题才能进入面试,否则被淘汰出局;面试共有5道问答题,由考官逐一提问作答,累计答对3道题或