全品高考备战2027年数学一轮学生用书04第4讲基本不等式【答案】听课手册

第4讲基本不等式●课前基础巩固【知识聚焦】1.(1)a>0,b>0(2)a=b(3)a2.(1)2ab(2)23.(1)2p(2)p【对点演练】1.42[解析]因为x>1,所以x+4x≥2x×4x=4,当且仅当x=2时,等号成立,所以y=x2.98[解析]因为0≤x≤1,所以3-2x>0,所以y=12×2x×(3-2x)≤122x+(3-2x)3.3[解析]因为x>2,所以f(x)=x+1x-2=(x-2)+1x-2+2≥2(x-2)·1x4.99162π[解析]设矩形的长为acm,宽为bcm,∵矩形的周长为36cm,∴2(a+b)=36,∴b=18-a,而旋转形成的圆柱的侧面积为2πab=2πa(18-a)≤2π×a+(18-a)22=162π,当且仅当a=18-a,即5.3+23[解析]因为x<0,所以-3x>0,-1x>0,所以y=3-3x-1x=3+(-3x)+-1x≥3+2(-3x)·-1x=3+23,当且仅当-3x6.-3[解析]设x-2=t,则x+4x-2=t+4t+2.由x≤-2得t≤-4,因为函数y=t+4t+2在(-∞,-4]上单调递增,所以当t=-4时,y=t+4t+2取得最大值,最大值为-4+4-4●课堂考点探究例1[思路点拨](1)由基本不等式结合特例即可判断.(1)C(2)ABD[解析](1)对于A,当a=b时,a2+b2=2ab,故A错误;对于B,取a=12,b=14,此时1a+1b=2+4=6<112×14=8=1ab,故B错误;对于C,由基本不等式可得a+b≥2ab>ab,故C正确;对于D,方法一:取a=12,b=14方法二:由基本不等式知,若a>0,b>0,则21a+1b≤ab,即1a+1b≥2ab(2)对于A选项,4ab-(a+b)2=-(a-b)2≤0,即4ab≤(a+b)2,故A选项正确;对于B选项,当a+b>0时,a+b2>0,则a+b22-a2+b222=a2+b2+2ab-2a2-2b24=-(a-b)24≤0恒成立,即a+b2≤a2+b22恒成立,当a+b≤0时,原不等式恒成立,故B选项正确;对于C选项,当a+b>0时,2ab-(a+b)22=-(a-b)22≤0,即2ab变式题(1)AD(2)B[解析](1)对于选项A,当x≠0时,x2>0,y=x2+2x2≥22,当且仅当x2=2时,等号成立,故y=x2+2x2的最小值是22,故选项A符合题意;对于选项B,当x>0时,y=x+1x≥2,当且仅当x=1时,等号成立,即y=x+1x的最小值是2,故选项B不符合题意;对于选项C,y=x2+3+1x2+3,令t=x2+3,则t≥3,y=t+1t在[3,+∞)上单调递增,当t=3时,y=t+1t取得最小值,最小值为433,故选项C不符合题意;对于选项D,y=ex+2e(2)当a2+b22≥a+b2成立时,可以有a<0,b<0,此时a+b≥2ab不成立,故充分性不成立;当a+b≥2ab成立时,a+b≥0,ab≥0,故a≥0,b≥0,所以a2例2[思路点拨](1)由于-1<x<0,故可将所求式子化为-2x232-x2,结合基本不等式可得结果;(2)由已知得x+1>1,将y=2+3x+4x(1)C(2)A[解析](1)因为-1<x<0,所以x3--x2(3-2x2+32-x222=-2×916(2)∵x>0,∴x+1>1,∴y=2+3x+4x+1=2+3(x+1)-3+4x+1=3(x+1)+4x+1-1≥23(x+1)·4x+1-1=43-1,当且仅当3(x+1)=4x+1,即x=例3[思路点拨](1)由x+(4-x)=4,可得f(x)=1x+164-x=14[x+(4-x)]1x+164-x,利用基本不等式求解即可;(2)4x+2y-xy=0可化为2x+4(1)D(2)A[解析](1)由x∈(0,4),得-x∈(-4,0),4-x∈(0,4),故f(x)=1x+164-x=141x+164-x(x+4-x)=1417+(2)由题意可知2x+4y=1,∴2x+y=(2x+y)2x+4y=8xy+2yx+8≥28xy·2例4[思路点拨]由题意得y=12-2xx-3=-2+6x-3,则A[解析]因为x>3,且xy+2x-3y=12,所以y=12-2xx-3=-2+6x-3,所以x+y=x-2+6x-3=(x-3)+6x-3+1≥26+1,当且仅当x【应用演练】1.A[解析]∵x>1,∴x-1>0,则y=x+4x-1=x-1+4x-1+1≥2(x-1)2.AC[解析]对于A,x+2y=1≥22xy,当且仅当x=2y=12时,等号成立,则xy≤18,故A正确;对于B,由x+2y=1,得y=-12x+12,由x>0,y>0,得0<x<1,所以x2+y=x2-12x+12=x-142+716≥716,故B错误;对于C,1x+1y=1x+1y(x+2y)=3+2yx+xy≥3+22,当且仅当x=3.9[解析]方法一:因为a>0,b>0,且a+2b=ab,所以a+2bab=2a+1b=1,故2a+b=(2a+b)2a+1b=5+2ba+2ab≥5+22b方法二:由a+2b=ab得b=aa-2,因为a>0,b>0,所以2a+b=2a+aa-2=2(a-2)+2a-2+5≥22(a-2)·4.18[解析]∵x+2y≥22xy,∴x+2y+xy=30≥22xy+xy,当且仅当x=2y时,等号成立,令xy=t,则t2+22t≤30,即t2+22t-30≤0,∵t>0,∴0<t≤32,∴0<xy≤18,∴xy例5[思路点拨](1)根据题意,当t=0时,x=1,代入已知等式解出k,进而得到函数关系式;(2)根据(1)中的式子,结合基本不等式即可求解.解:(1)根据题意,当t=0时,x=1,则1=4-k1,解得k=3,所以x=4-32t+1,所以y=1.5·6+12xx·x-(6+12x)-t=3+6x-t=3+64-32t(2)由(1)知,y=27-182t+1-t=27.5-9t+0.5+(t+0.5)≤27.5-2所以该厂家2026年该产品的年促销费用为2.5万元时该产品的年利润最大.变式题36[解析]设仓库的长为am,高为bm,则(3b+3b+ab)×900+3a×600=32400,即6b+a