第2章-矩阵-2.1-矩阵与向量

第2章矩阵2.1矩阵与向量2.3矩阵的创建2.2向量的创建2.4矩阵的运算§2.1矩阵与向量第2章矩阵

由m行n列构成的数组a称为(m×n)阶矩阵,它总共由(m×n)个元素组成并按如下的形式排列：注：矩阵的元素记为aij，其中，i表示行，j表示列。矩阵的大小可用如下命令获得：（1）size(a)----size可显示出两个值，第一个值为行数(m)，第二个值为列数(n)。（2）[m，n]=size(a)----表示矩阵的行数赋给m，列数赋给n。一、矩阵当m=n时，a称为方阵。二、方阵三、对角阵当aij

=0，i≠

j，且m=n时，得到对角阵：四、列矩阵和行矩阵

当aij=ai1(即只有一列时)，称为列矩阵或者列向量，记做：1、列阵第2章矩阵2、行矩阵

当aij=a1j(即只有一行时)，称为行矩阵或者行向量，记做：注：在MATLAB中，这是向量的默认定义。五、矩阵和向量的转置矩阵的转置用(’)表示：第2章矩阵第2章矩阵六、对角阵与三角阵

只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵，对角线上的元素相等的对角矩阵称为数量矩阵，对角线上的元素都为1的对角矩阵称为单位矩阵。1、对角阵设A为m×n矩阵，diag(A)函数用于提取矩阵A主对角线元素，产生一个具有min(m,n)个元素的列向量。

diag(A)函数还有一种形式diag(A,k)，其功能是提取第k条对角线的元素。(中间为0条,下负,上正)(1)提取矩阵的对角线元素例：A=[4,-65,-54,0,6;56,0,67,-45,0]B=[4,-65,-54;0,6,56;0,67,-45]>>diag(A)ans=40>>diag(B,2)ans=-54>>diag(B,0)ans=46-45第2章矩阵(2)构造对角矩阵设V为具有m个元素的向量，diag(V)将产生一个m×m对角矩阵，其主对角线元素即为向量V的元素。

diag(V)函数也有另一种形式diag(V,k)，其功能是产生一个n×n(n=m+)对角阵，其第k条对角线的元素即为向量V的元素。例：V=[123]>>diag(V)ans=100020003>>diag(V,1)ans=0100002000030000例：先建立5×5矩阵A，然后将A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，…，第五行乘以5。A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25,2,19]

D=diag(1:5)

D*A%用D左乘A，对A的每行乘以一个指定常数第2章矩阵2．三角阵

三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵，所谓上三角阵，即矩阵的对角线以下的元素全为0的一种矩阵，而下三角阵则是对角线以上的元素全为0的一种矩阵。(1)上三角矩阵

求矩阵A的上三角阵的MATLAB函数是triu(A)。triu(A)函数也有另一种形式triu(A,k)，其功能是求矩阵A的第k条对角线以上的元素。例如，提取矩阵A的第2条对角线以上的元素，形成新的矩阵B。(2)下三角矩阵在MATLAB中，提取矩阵A的下三角矩阵的函数是tril(A)和tril(A,k)，其用法与提取上三角矩阵的函数triu(A)和triu(A,k)完全相同。第2章矩阵例：A=[137;248;368],>>triu(A)ans=137048008>>triu(A,-1)ans=137248068七、矩阵的旋转1、利用函数rot90(A,k)将矩阵A旋转90º的k倍，当k为1时可省略。A=137248368>>rot90(A,1)ans=788346123第2章矩阵2、矩阵的左右翻转对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，…，依次类推。MATLAB对矩阵A实施左右翻转的函数是fliplr(A)。3、矩阵的上下翻转MATLAB对矩阵A实施上下翻转的函数是flipud(A)。§2.2向量的创建一、向量向量可以表示为：f=[axb…]或f=[a,x,b,…]其中a，x，b，…可以是变量、数值、表达式或字符串。注：如果它们是变量或表达式，则所有变量及由这些变量所构成的表达式必须先定义；并且在执行语句之前，每一个变量必须先赋值。例：如果a是一个表达式，则表达式字符和运算符之间无空格。如果a=h+dg，则f可以写成：

f=[h+d^gxb…]或f=[h+d^g,x,b,…]二、向量创建的两个主要方法第2章矩阵1、使用冒号来指定数值范围和相邻值的步长其中s=起始值或初始化值；d=增量或减量值；f=结束值或终值。x=s:d:f第2章矩阵因此，可产生如下的行向量x:x=[ss+ds+2d…s+nd]其中s+nd=f注意:⑴在创建向量x时没有直接指定n的数值，s、d和f可以是数值、变量和表达式的任意组合。⑵当d省略时，MATLAB默认d=1，即x=s:f例如：x=[s,s+1,s+2,…,s+n]其中s+n=f⑶向量x中元素的个数由式n=length(x)确定。

2、指定n为从s到f的等间隔值x=linspace(s,f,n)其增量或减量值d由MATLAB通过下式计算:因此，linspace可创建如下的向量:x=[s,s+d,s+2d,…,s+(n-1)d]注意:⑴

s和f的值可以为正也可以为负，并允许s>f或s<f。

⑵如果没有指定n的值，MATLAB给出默认值n=100。第2章矩阵三、向量中元素值的获取行向量b=[b1b2b3…bn]，可用b(3)或b(1,3)获得第三个元素b3。1、行向量列向量b=[b1b2b3…bn]’，可用b(3)或b(3,1)获得第三个元素b3。2、列向量四、向量操作的几个命令例：创建[-2，1，3，5，7，9，10]的向量x，可通过下式实现：x=[-21:2:910]或x=[-2,1,3,5,7,9,10]1、向量与标量进行加减运算时，标量与向量中的每一个元素相加减。例：

z=x-1的结果为z=[-3024689]2、可以修改向量中的某些元素。例：z中的第二个元素除以2，可写为z（2）=z（2）/2。第2章矩阵3、由现有向量创建新向量

(1)如要创建一个由z的第三到第五个元素组成的新向量x，则x=z(3:5)4、确定向量中元素的个数

(2)如要创建一个由z的前两个元素和后两个元素组成的向量x，则x=[z(1)z(2)z(6)z(7)]或x=[z(1,2,6,7)]用length命令，即n=length(x)第2章矩阵§2.3矩阵的创建一、矩阵创建的基本方法对于(4×3)阶矩阵a：可以有以下几种方法来创建：1、先创建向量，再创建矩阵注：其中分号表示行的结束。第2章矩阵2、直接创建矩阵a=[a11a12a13;a21a22a23;a31a32a33;a41a42a43]或形象的描述方法：a=[a11a12a13;…a21a22a23;…a31a32a33;…a41a42a43]其中省略号是必须的。或通过在每一行的末尾处按下Enter键来完成：a=[a11a12a13a21a22a23a31a32a33a41a42a43]注意：以上几种形式中，可以是数值、变量、表达式或字符串。如果它们是变量或表达式，则所有变量及由变量构成的表达式必须先定义；并且在执行语句之前，每一个变量必须先赋值。如果是字符串，则每一行中的字母个数应相同。第2章矩阵二、用函数生成矩阵的元素1、one=ones(r,c)可创建一个元素为1的(r×c)阶矩阵。2、zero=zeros(r,c)可创建一个元素为0的(r×c)阶矩阵。例1：one=ones（2,5），创建一个（2×5）阶矩阵：1111111111例2：

zero=zeros（3,2），创建一个（3×2）阶零矩阵：000000例3：对于（3×5）阶矩阵：可通过如下语句创建：a=[3:2:11;linspace(20,21,5);ones(1,5)]3、eye=eye(r,c)可创建一个(r×c)阶的单位矩阵。第2章矩阵三、矩阵元素的访问应用上面的例子说明：a(1,1)→3a(3,4)→1a(:,2)→[520.251]’a(2,:)→[20.020.2520.520.7521.0]a(1:3,3:5)→[7911;20.520.7521.0;111]四、创建矩阵的函数1、函数repmat的调用格式为w=repmat(x,r,c)

其中x可以是标量、向量或矩阵，r是x的行数、c是x的列数。函数repmat可创建任意长度的列向量和行向量，而且每个元素都具有相同的值。第2章矩阵2、函数meshgrid的调用格式为：[u,v]=meshgrid(s,t)注：其中s，t是两个行向量例：如果s=[s1s2s3s4]，t=[t1t2t3]，则上述命令生成两个(3×4)阶矩阵：函数meshgrid也可以返回一个矩阵，如：w=meshgrid(s,t)，生成w=u。四、向量和矩阵创建举例例2-1分别建立3×3、3×2和与矩阵A同样大小的零矩阵。(1)建立一个3×3零矩阵zeros(3)(2)建立一个3×2零矩阵。zeros(3,2)第2章矩阵(3)设A为2×3矩阵，则可以用zeros(size(A))建立一个与矩阵A同样大小零矩阵。

A=[123;456];%产生一个2×3阶矩阵A

zeros(size(A))%产生一个与矩阵A同样大小的零矩阵例2-2建立随机矩阵：(1)在区间[20,50]内均匀分布的5阶随机矩阵。x=20+(50-20)*rand(5)(2)均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵。y=0.6+sqrt(0.1).*rand(5)

此外，常用的函数还有reshape(A,m,n)，它在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排成m×n的二维矩阵。魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。对于n阶魔方阵，其元素由1,2,3,…,n2共n2个整数组成。MATLAB提供了求魔方矩阵的函数magic(n)，其功能是生成一个n阶魔方阵。第2章矩阵例2-3

将101~125等25个数填入一个5行5列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为565。

M=100+magic(5)帕斯卡矩阵：我们知道，二次项(x+y)n展开后的系数随n的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡(Pascal)矩阵。函数pascal(n)生成一个n阶帕斯卡矩阵。例2-4

求(x+y)5的展开式。

在MATLAB命令窗口，输入命令：

pascal(6)

矩阵次对角线上的元素1,5,10,10,5,1即为展开式的系数。第2章矩阵§2.4矩阵的运算一、点运算

在MATLAB中点运算(.)是对同阶矩阵中逐个元素进行的算术运算。点运算包括点乘、点除和指数运算的点运算。例：如两个(2×2)阶矩阵：第2章矩阵如果是标量常数时，点乘和乘法(点除和除法)运算是一样的。与矩阵中每一个元素相乘。二、矩阵的数学运算矩阵的数学运算主要包括：加、减、乘、转置、求逆、行列式、方程式及其根(特征值)1．基本算术运算(1)矩阵加减运算假定有两个矩阵A和B，则可以由A+B和A-B实现矩阵的加减运算。运算规则是：若A和B矩阵的维数相同，则可以执行矩阵的加减运算，A和B矩阵的相应元素相加减。如果A与B的维数不相同，则MATLAB将给出错误信息，提示用户两个矩阵的维数不匹配。第2章矩阵例：已知：a=[1213;237],b=[14;26],求：a-b???Errorusing==>-Matrixdimensionsmustagree.(2)矩阵乘法假定有两个矩阵A和B，若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则C=A*B为m×p矩阵。已知：a=[1213;237],b=[14;26;59],求：a*b>>a*bans=581574389(3)矩阵除法在MATLAB中，有两种矩阵除法运算：\和/，分别表示左除和右除。如果A矩阵是非奇异方阵，则A\B和B/A运算可以实现。A\B等效于A的逆左乘B矩阵，也就是inv(A)*B，而B/A等效于A矩阵的逆右乘B矩阵，也就是B*inv(A)。第2章矩阵注1：对于含有标量的运算，两种除法运算的结果相同。如3/4和4\3有相同的值，都等于0.75。又如，设a=[10.5,25]，则a/5=5\a=[2.10005.0000]。(4)矩阵的乘方一个矩阵的乘方运算可以表示成A^x，要求A为方阵，x为标量。例：A=[234;432;568],>>A^4ans=587064177554488253376282121981333515698注2：对于矩阵来说，左除和右除表示两种不同的除数矩阵和被除数矩阵的关系。对于矩阵运算，一般A\B≠B/A。

第2章矩阵解：x=A-1bA=[816;357;492]b=[7.5412]’x=inv(A)*b

或x=A\b三、矩阵的逆与伪逆1、矩阵的逆对于一个方阵A，如果存在一个与其同阶的方阵B，使得：

A·B=B·A=I(I为单位矩阵)，则称B为A的逆矩阵，当然，A也是B的逆矩阵。

求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作，容易出错，但在MATLAB中，求一个矩阵的逆非常容易。求方阵A的逆矩阵可调用函数inv(A)。例：用求逆矩阵的方法解Ax=b线性方程组。