高中数学课程标准

抽象代数(第2章)

——理论、问题与方法西南大学数学与统计学院1.第2章数环与数域2.1整数剩余类环2.2整环的分式域2.3素域与扩域2.4素数的欧拉分解2.5

Hamilton四元数环2.6

Lagrange平方和定理2.2.1整数剩余类环定义1整数剩余类运算定理2Zm成为一个环例1环Z2.3.环同构定义3环同态f:R～S定义4环同构f:R≌S例2环同态f:Z～Zn4.剩余类环Zp定理6a、b∈Z，则a、b互素当且仅当存在s、t∈Z使sa+tb=1.定理7若是p素数则剩余类环Zp是域.5.理想与剩余类环定义8理想;剩余类环定理9(同态基本定理)设有环同态:R～R,则A={r∈R|=0}=Ker(同态核)是R的理想;反之若R有理想A,则存在环同态:R～R/A=R.6.2.2整环的分式域例从整数环Z到有理数域Q.定义1整环例整数环Z;Zn是整环当且仅当n=p是素数.定义2环嵌入7.整环的分式域定理3每个整环都可以嵌入一个域(分式域).证明分3步第1步定义2元集A,得商集F.第2步验证F是一个域.第3步整环R嵌入域F.8.整环的分式域定理4如果一个非零环R含在一个域F中,那么F含R的分式域,说明分式域是包含环的最小域.定理5同构的环分式域也同构.例F[x]的分式域F(x).9.分式域:问题思考问题:整数环与偶数环有相同的分式域.一般地,问一个无零因子交换环R与它的子环S在什么条件下有相同分式域?10.问题思考典型事实观察:以下的环与子环有相同分式域:Z与nZ;Z[x]与Q[x];设R是没有零因子的交换环，S是它的子环，对

∈R记

S={

u|u∈S}.

猜想:R与S有相同分式域当且仅当每

∈R都有

SS≠{0}.11.问题思考定理无零因子交换环R与它的子环S有相同分式域当且仅当每

∈R都有

SS≠{0}.12.2.3素域与扩域复习和问题:从任何整环可以获得分式域反过来,任意一个域可以通过什么一般的途径而获得呢?答:域扩张的方法13.素域定义两个已知的域:Q与Zp特点:最小域问题:是否还有其他最小域?14.素域定义定义1

素域定理2(无零因子环的特征)

设R是一个没有零因子的环,则(1)na=0,0≠a∈Rn=0,这时记charR=0.或者(2)存在素数p使每pa=0,这时记charR=p.15.素域与扩域定理3设F是素域,则(1)charF=0,F≌Q,或者(2)charF=p,F≌Zp.注由定理3知道,任一个域或者是Q的扩域或者是一个p元域Zp的扩域.16.素域与扩域定理4域上的n次多项式最多有n个根.证明利用带余除法17.2.4素数的欧拉分解本节证明下面的欧拉定理：定理2.4.3(欧拉)奇素数p在复整数环Z(i)中有非平凡因子当且仅当p≡1(4)18.素数的欧拉分解定理1(Fermat)设p是素数,p†a则ap-1≡1(p)证记b=a-1则ap≡(b+1)p≡bp+1≡(a-1)p+1

≡(a-2)p+2≡…≡a(p)故ap-1≡1(p).19.素数的欧拉分解定理2(Wilson)设p是素数,则(p-1)!≡-1(p).证由定理1,1,2,3,…,p-1(p)是