全品高考备战2027年数学一轮学生用书04第51讲直线与圆、圆与圆的位置关系【答案】听课手册

第51讲直线与圆、圆与圆的位置关系●课前基础巩固【知识聚焦】1.<=>>=<2.d>R+rd=R+rR-r<d<R+rd=R-rd<R-r【对点演练】1.相交[解析]圆心(0,0)到直线y=x+1,即直线x-y+1=0的距离d=12=222.10[解析]方法一:由3消去y,得x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2,所以直线l与圆C相交,有两个公共点.设两个公共点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),把x1=1,x2=2分别代入3x+y-6=0,得y1=3,y2=0,所以直线l与圆C的两个公共点分别为A(1,3),B(2,0),则|AB|=(1-2方法二:圆C:x2+y2-2y-4=0的圆心为C(0,1),半径r=5,因为圆心C到直线l:3x+y-6=0的距离d=|1-6|9+1=510,所以直线l被圆3.x+2y-33=0[解析]∵点A(3,6)是圆x2+y2=r2上的一点,∴(3)2+(6)2=r2,即r2=9.圆x2+y2=9的圆心为O(0,0),直线OA的斜率kOA=6-03-0=2,∵直线OA与过点A的圆的切线垂直,∴过点A的圆的切线的斜率是-12=-22,∴过点A的圆的切线方程是y-6=-22(x-3),即4.x-y+2=0[解析]由x2+y2-4=0,x2+y2-4x+4y-12=0两式相减得4x-4y+8=0,即x-y+2=0,故公共弦所在直线的方程为x-y+2=0.5.±42或±23[解析]两圆的圆心距d=22+a2,由两圆相切(外切或内切),得22+a2=5+1或226.x=3或5x+12y-39=0[解析]由题意知P在圆外.当切线的斜率不存在时,切线方程为x=3,满足题意;当切线的斜率存在时,设斜率为k,则切线方程为y-2=k(x-3),即kx-y+2-3k=0,所以|k×0-0+2-3k|k2+(-1)2=3,解得k=-●课堂考点探究例1[思路点拨](1)将直线l的方程变形可得直线l过定点(1,4),由点(1,4)在圆C上,即可判断直线l与圆C的位置关系;(2)求出点A关于直线y=a的对称点A'的坐标,进而得到直线l的方程,利用圆心C到直线l的距离小于等于圆C的半径,列出不等式求解a的取值范围即可.(1)D(2)13,32[解析](1)由x2+y2-8y+15=0可得x2+(y-4)2=1,直线l的方程x+ky-1-4k=0,可化为x-1+k(y-4)=0,则直线l恒过点(1,4),又12+(4-4)2=1,故点(1,4)在圆C上,所以直线l与圆C(2)由题意知直线l过点B.点A(-2,3)关于直线y=a的对称点为A'(-2,2a-3),所以直线l的方程为y=(2a-3)-a-2-0x+a,即(a-3)x+2y-2a=0.由题意知,圆心C(-3,-2)到直线l的距离d=|-3(a-3)变式题(1)ABD(2)B[解析](1)对于A,∵点A在圆C上,∴a2+b2=r2,∴圆心C(0,0)到直线l的距离d=r2a2+b2=r,直线l与圆C相切,A正确;对于B,∵点A在圆C内,∴a2+b2<r2,∴圆心C(0,0)到直线l的距离d=r2a2+b2>r,∴直线l与圆C相离,B正确;对于C,∵点A在圆C外,∴a2+b2>r2,∴圆心C(0,0)到直线l的距离d=r2a2+b2<r,∴直线l与圆C相交,C错误;对于D,∵点A在直线l上,∴a2+b2=r2,∴圆心C(2)圆C:x2+(y-2a)2=14a2的圆心为C(0,2a),半径R=|a|2,因为直线y=3x+a+1与圆C相离,所以点C到直线y=3x+a+1的距离d=|-2a+a+1|2>|a|2,解得a<12例2[思路点拨](1)利用几何法先求圆心到直线的距离d,由|AB|=2r2-d2即可求解|a(1)C(2)±2[解析](1)由题意知圆(x-a)2+y2=4的半径为2,圆心(a,0)到直线2x-y=0的距离d=|2a|4+1=|2a|5,又|AB|=222-d2=23(2)由∠AOB=90°,得|AB|=42+42=42,则点O到直线ax-4y+12=0的距离为42-(22)2=22,所以变式题D[解析]由(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0可得(2x+y-7)m+(x+y-4)=0.令2x+y-7=0,x+y-4=0,解得x=3,y=1,所以直线过定点P(3,1).圆(x-1)2+(y-2)2=25的圆心为C(1,2),半径r=5,所以|CP|=(3-1例3[思路点拨](1)先判断点P的位置,再根据kPC求出切线的斜率,利用点斜式可得切线的方程;(2)分切线的斜率不存在与存在两种情况讨论,结合点到直线的距离公式和切线长公式即可求出结果.解:(1)圆C:(x-1)2+(y-2)2=4的圆心为C(1,2),半径r=2,易知点P在圆C上,因为kPC=-1,所以过点P的圆的切线的斜率为1,故过点P的圆的切线方程为y-(2-2)=x-(2+1),整理得x-y+1-22=0.(2)由题知点M在圆C外.当过点M的直线的斜率不存在时,直线的方程为x=3,因为点C(1,2)到直线x-3=0的距离为3-1=2=r,所以直线x=3是圆C的切线,满足题意;当直线的斜率存在时,设直线的方程为y-1=k(x-3),即直线的方程为kx-y+1-3k=0,由圆心C(1,2)到直线的距离d=|k-2+1-3k|故直线的方程为3x-4y-5=0.故过点M的圆C的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.过点M的圆C的切线长为|MC|2-变式题(1)x-3y+4=0(2)53[解析](1)易知点A在圆O上,故所求切线与直线OA垂直,又kOA=-3,所以所求切线的斜率k=13,故所求切线的方程为y-3=13(x+1),即x-3y(2)圆M的圆心为M(1,m),半径为5.由弦长为10,结合垂径定理可得|3-4m-7|9+162+1022=52,解得m=-1,则|PM|=(-7-例4[思路点拨]设|PM|=t,由已知结合四边形的面积公式及三角形的面积公式可得|PM|·|AB|=4t2-4,要使|PM|·|AB|最小,则需t最小,此时PM与直线l垂直,进而可得直线D[解析]连接AM,BM,由题知☉M的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.设|PM|=t,则|PA|=t2-4.∵四边形APBM的面积S=|PA|·|AM|=12|AB|·|PM|,∴|AB|=2|PA|·|AM||PM|=2t2-4×2t,∴|PM|·|AB|=4t2-4.要使|PM|·|AB|最小,只需t最小,当且仅当PM变式题B[解析]圆C:x2+y2-4x=0的圆心为C(2,0),半径r=2.设圆心C到直线l的距离为d,则四边形PACB的周长为|CA|+|CB|+|PA|+|PB|=2r+2|PC|2-r2≥4+2d2-4,又d=|2-例5[思路点拨]先求出两圆的圆心坐标及半径,再逐项利用圆心距与半径的和或差的关系判断两圆的位置关系即可.AB[解析]由题得圆O的圆心为O(0,0),半径r1=2.圆C的标准方程为x2+(y+1)2=1-a,则a<1,圆C的圆心为C(0,-1),半径r2=1-a.|OC|=1,r1+r2=2+1-a,|r1-r2|=|2-1-a|.对于A,当a=0时,r1+r2=3,|r1-r2|=1,则|OC|=|r1-r2|,所以两圆内切,故A正确;对于B,当a=-3时,r1+r2=4,|r1-r2|=0,则|r1-r2|<|OC|<r1+r2,所以两圆相交,又圆O:x2+y2=4,圆C:x2+y2+2y-3=0,所以直线MN的方程为2y-3=-4,即y=-12,故B正确;对于C,若两圆相交,则|r1-r2|<|OC|<r1+r2,即|2-1-a|<1<2+1-a,解得-8<a<0,故C错误;对于D,由选项B可知,当a=-3时,圆心O到直线MN的距离为变式题(1)ACD(2)D[解析](1)对于A,由圆C1的方程知,圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=5.圆C2的标准方程为(x-3)2+(y+4)2=1,所以圆C2的圆心为C2(3,-4),半径r2=1.因为两圆的圆心距|C1C2|=(3-0)2+(-4-0)2=5,且|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2,所以圆C1与圆C2相交,故A正确.对于B,如图①所示,当直线PQ同时经过两圆圆心C1,C2且C1,C2均在线段PQ上时,|PQ|取得最大值,且|PQ|max=|C1C2|+r1+r2=5+5+1=11,故B错误.对于C,如图②所示,两圆方程作差,得两圆公共弦所在直线的方程为6x-8y-49=0,又圆心C1到直线6x-8y-49=0的距离d=|-49|62+(-8)2=4910,所以两圆的公共弦长为2r12-d2=2×52-49102=3115