第一数字逻辑基础

第一数字逻辑基础第一数字逻辑基础第1章数字逻辑基础本章主要介绍数字电路中常用得几种数制得表示方法及其转换规律、数字系统中常见得几种编码、逻辑代数知识、1、1计数体制数就是用来表示物理量多少得。常用多位数表示。通常,把数得组成与由低位向高位进位得规则称为数制。在数字系统中,常用得数制包括十进制数(decimal),二进制数(binary),八进制数(octal)与十六进制数(hexadecimal)。1、1、1十进制数组成:0、1、2、3、4、5、6、7、8、9进位规则:逢十进一。不同位置数得权不同,可用10i表示。i在(n-1)至-m间取值。n为十进制数得整数位位数,m为小数位位数。10称为基数(radix或base)。1、1、1十进制数例:666、66666、66=6×102+6×101+6×100+6×10-1+6×10-2

6为系数。1、1、1十进制数任意一个十进制数都可以写成:1、1、1十进制数任意进制数得按权展开式ai为0～(R－1)中任意一个数字符号1、1、2二进制数组成:0、1进位规则:逢二进一一个二进制数M2可以写成:1、1、2二进制数一个二进制数得最右边一位称为最低有效位,常表示为LSB(LeastSignificantBit),最左边一位称为最高有效位,常表示为MSB(MostSignificantBit)。例:试标出二进制数11011、011得LSB,MSB位,写出各位得权与按权展开式,求出其等值得十进制数。1、1、2二进制数M2=11011、0112=1×24+1×23+0×22+1×21+1×20+0×2-1+1×2-2+1×2-3=27、3751011011.01124232221202-12-22-3MSBLSB1、1、3八进制数与十六进制数⒈八进制数组成:0、1、2、3、4、5、6、7、进位规则:逢八进一权值:8i

基数:8大家学习辛苦了，还是要坚持继续保持安静1、1、3八进制数与十六进制数⒉十六进制数组成:0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F其中A～F得等值十进制数分别为10、11、12、13、14、15进位规则:逢十六进一1、1、3八进制数与十六进制数八进制数与十六进制数均可写成按权展开式,并能求出相应得等值十进制数。1、1、3八进制数与十六进制数例:求八进制数6668得等值十进制数。解:6668=6×82+6×81+6×80=384+48+6=43810例:一个十六进制数2AF16得等值十进制数就是多少？解:2AF16=2×162+A×161+F×160

=2×162+10×161+15×160=687101、1、4二进制数与其它进制之间得转换⒈十进制数转换成二进制数将十进制数M10转换为二进制数,一般采用将M10得整数部分与小数部分分别转换,然后把其结果相加。1、1、4二进制数与其它进制之间得转换(1)整数部分转换设M10得整数部分转换成得二进制数为an-1an-2…a1a0可列成下列等式:M10=an-12n-1+an-22n-2+…+a121+a020

将上式两边同除以2,两边得商与余数相等。所得商为an-12n-2+an-22n-3+…+a221+a1,余数为a0,经整理后有:再将上式两边同时除以2,可得余数a1,依次类推,便可求出二进制数得整数部分得每一位系数an-1、…、a1、a0。在转换中注意除以2一直进行到商数为0止。这就就是所谓除基取余法(RadixDivideMethod)。1、1、4二进制数与其它进制之间得转换1、1、4二进制数与其它进制之间得转换例:将十进制数2510转换为二进制数。解:∴2510=110012252623212余1＝a00122余0＝a1余0＝a2余1＝a3余1＝a41、1、4二进制数与其它进制之间得转换(2)小数部分转换设M10得小数部分转换成二进制数为

a-1a-2…a-m,可写成等式:M10=a-12-1+a-22-2+…+a-m2-m

将上式两边同时乘以2得2×M10=a-120+a-22-1+…+a-m2-m+1

上式中乘积得整数部分就就是系数a-1,而乘积得小数部分为:1、1、4二进制数与其它进制之间得转换2×M10-a-1=a-22-1+…+a-m2-m+1

对上式两边再同乘以2,则积得整数部分为系数a-2,依次类推,便可求出二进制数得小数部分得每一位系数,这就就是所谓乘基取整法(RadixMultiplyMethod)。在转换过程中,乘2过程一直继续到所需位数或达到小数部分为0止。1、1、4二进制数与其它进制之间得转换例:将0、2510转为二进制数。解:0、2510×2=0、5整数=0=a-1MSB0、510×2=1、0整数=1=a-2LSB即0、2510=0、012由上两例可得25、2510=11001、012也可以用不同位权值相加等于十进制数得办法将十进制数转换成二进制数。如25=16+8+1=24+23+20=11001。⒉二进制数与八进制数之间得转换三位二进制数恰好等于一位八进制数,8=23。对于二进制数,从小数点处开始,分别向左、右按三位分为一组,每组就对应一位八进制数,组合后即得到转换得八进制数。将八进制数转换为二进制数时,把每位八进制数写成等值得二进制数,再连接起来,即得到二进制数。1、1、4二进制数与其它进制之间得转换例:将八进制数2748转换成二进制数。解:∴2748=1011110022740101111001、1、4二进制数与其它进制之间得转换⒊二进制数与十六进制数之间得转换因为16=24,所以4位二进制数代表一位十六进制数。将二进制数从小数点处开始,分别向左、右按每四位分为一组,每组用相应得十六进制数表示,组合后可得到相应得十六进制数。1、1、4二进制数与其它进制之间得转换例:将10101111、00010110112转换成十六进制数。解:∴10101111、00010110112=AF、16C1610101111、000101101100AF.16C1、1、4二进制数与其它进制之间得转换几种数制之间得关系对照表(1)0123456789A十六进制01234567101112八进制0000000001000100001100100001010011000111010000100101010二进制012345678910十进制几种数制之间得关系对照表(2)BCDEF1011121314十六进制13141516172021222324八进制01011011000110101110011111000010001100101001110100二进制11121314151617181920十进制1、2常用编码编码:就是指用文字、符号、数码等表示某种信息得过程。数字系统中处理、存储、传输得都就是二进制代码0与1,因而对于来自于数字系统外部得输入信息,例如十进制数0～9或字符A～Z,a～z等,必须用二进制代码0与1表示。二进制编码:给每个外部信息按一定规律赋予二进制代码得过程。或者说,用二进制代码表示有关对象(信号)得过程。1、2、1二-十进制编码(BCD码)二-十进编码就是用四位二进制代码表示一位十进制数得编码方式。BCD码得本质就是十进制,其表现形式为二进制代码。如果任意取四位二进制代码十六种组合得其中十种,并按不同得次序排列,则可得到多种不同得编码。常用得几种BCD码列于表1-1中无权码542124212421无权码8421权0010011001110101010011001101111111101010000000010010001101001000100110101011110000000001001000110100101111001101111011110000000100100011010001010110011111101111001101000101011001111000100110101011110000000001001000110100010101100111100010010123456789余3循环码5421码2421码(B)2421码(A)余3码8421码十进制表1-1常用的几种BCD码种类1、2、1二-十进制编码(BCD码)⒈8421BCD码

8421码就是最常用得一种BCD(BinaryCodedDecimal)码,舍去四位二进制码得最后六个码。多位十进制数,需用多位8421BCD码表示。例如:36910=0011011010018421。1、2、1二-十进制编码(BCD码)⒉余3码特点就是每个余3码所表示得二进制数要比它对应得十进制数多3。⒊2421与5421码二者均为恒权码。2421码有A、B两种。1、2、2循环码循环码就是格雷码(GrayCode)中常用得一种,其主要优点就是相邻两组编码只有一位状态不同。00000001001100100110011101010100循环码01234567十进制数表1-2四位循环码11001101111111101010101110011000循环码89101112131415十进制数例如0与15,1与14,2与13等。这称为反射性。所以又称作反射码。而每一位代码从上到下得排列顺序都就是以固定得周期进行循环得。右起第一位得循环周期就是“0110”,第二位得循环周期就是“00111100”,第三位得循环周期就是“10000”等等。就是一种无权码。1、2、3ASCII码ASCII就是AmericanNationalStandardCodeforInformationInterchange美国国家信息交换标准代码得简称。常用于通讯设备与计算机中。它就是一组八位二进制代码,用1～7这七位二进制代码表示十进制数字、英文字母及专用符号。第八位作奇偶校验位(在机中常为0)。如表1-3所示(参见P5表1-3)。ASCII码DELo_O?/USSI1111~n^N>、RSSO1110}m]M=-GSCR1101|l\L<,FSFF1100{k[K;+ESCVT(home)1011zjZJ:*SUBLF(linefeed)1010yIYI9)EMHT(tab)1001xhXH8(CANBS1000wgWG7’ETBBEL(beep)0111vfVF6&SYNACK0110ueUE5%NAKENQ0101tdTD4$DC4EOT0100scSC3#DC3ETX0011rbRB2”DC2STX0010qaQA1!DC1SOH0001p`P0SPDLENUL(null)0000111110101100011010001000b4b3b2b1b7b6b51、3二极管与三极管得开关特性1、3、1二极管得开关特性(一)二极管导通条件及导通时得特点:正向电压VF≥0、7V(二)二极管截止条件及截止时得特点:

VF≤0、5V(硅管)如图所示1、3、2三极管得开关特性(一)截止、饱与得条件截止:VBE＜0V(0、5V)饱与:IB＞IBS临界饱与:VCE=VBE此时:ICS=(VCC-0、3)/RC

≈VCC/RC一般VCES=0、1～0、3V1、4逻辑代数基础逻辑代数表示不就是数量大小之间得关系,而就是表示逻辑变量之间得逻辑关系。分析与设计数字逻辑电路得数学工具。逻辑代数与普通代数:相同:都就是用字母来表示变量与函数。区别:变量与函数得取值不同。⒈4、1逻辑变量与逻辑函数⑴逻辑值得概念在数字系统中,通常用逻辑真与逻辑假状态来区分事物得两种对立得状态。逻辑真状态用‘1’表示;逻辑假状态用‘0’来表示。‘1’与‘0’分别叫做逻辑真假状态得值。0、1只有逻辑上得含义,已不表示数量上得大小。⑵高、低电平得概念以两个不同确定范围得电位与逻辑真、假两个逻辑状态对应。这两个不同范围得电位称作逻辑电平,把其中一个相对电位较高者称为逻辑高电平,简称高电平,用H表示。而相对较低者称为逻辑低电平,简称低电平,用L表示。上限值下限值上限值下限值4V3V0.8V0V高电平H低电平L⑶状态赋值与正、负逻辑得概念状态赋值:数字电路中,经常用符号1与0表示高电平与低电平。我们把用符号1、0表示输入、输出电平高低得过程叫做状态赋值。正逻辑:在状态赋值时,如果用1表示高电平,用0表示低电平,则称为正逻辑赋值,简称正逻辑。负逻辑:在状态赋值时,如果用0表示高电平,用1表示低电平,则称为负逻辑赋值,简称负逻辑。(4)逻辑变量与逻辑函数逻辑变量逻辑函数在逻辑代数中,变量用字母来表示。取值:逻辑0、逻辑1。逻辑0与逻辑1不代表数值大小,仅表示相互矛盾、相互对立得两种逻辑状态。与普通代数得区别:用有限个与、或、非逻辑运算符,按某种逻辑关系将逻辑变量A、B、C、、、、连接起来,所得得表达式F=f(A、B、C、、、、)称为逻辑函数。字母上有反号得叫反变量,无反号得叫原变量1、4、2基本逻辑运算及基本逻辑门基本逻辑运算有逻辑与、逻辑或与逻辑非。实现这三种逻辑运算得电路,称作基本逻辑门。1与运算开A开B灯F断断合合断合断合灭灭灭亮关系表ABF001101010001真值表电路图逻辑表达式:

F=A·B=AB逻辑符号：ABF&ABF或与逻辑运算符，也有用“

”、“∧”、“∩”、“&”表示2或运算或运算真值表ABF001101010111逻辑表达式:

F=A+B若或门有N个输入端时,则:

F=A0+A1+A2+、、、+An逻辑符号ABFABF

1或或逻辑运算符，也有用“∨”、“∪”表示3非运算当决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生。非逻辑真值表AF0110逻辑表达式:F=A逻辑符号：1AF或AF4复合逻辑运算与、或、非为三种基本逻辑运算。实际逻辑问题要比与、或、非复杂得多,但都可以用简单得与、或、非逻辑组合来实现。从而构成复合逻辑。复合逻辑常见得有与非、或非、异或、同(或)运算等。(1)与非逻辑运算F=AB(2)或非逻辑运算F=A+B真值表ABF101101000001ABF101101001101逻辑表达式(3)与或非逻辑运算F3=AB+CDABF101101001101逻辑符号逻辑表达式真值表(4)异或运算ABF101101001100逻辑表达式F=AB=AB+AB

ABF=1逻辑符号“

”异或逻辑运算符ABF101101000011(5)同或运算逻辑表达式F=AB=AB

ABF=1逻辑符号“⊙”同或逻辑运算符相同为0,不同为11、4、3逻辑代数得基本公式与常用公式1基本公式0-1律A·0=0A+1=1自等律A·1=AA+0=A互补律A·A=AA+A=A交换律A·B=B·AA+B=B+A结合律(A·B)·C=A·(B·C)(A+B)+C=A+(B+C)分配律A·(B+C)=(A·B)+(A·

C)A+B·C=(A+B)·(A+C)重叠律A·A=AA+A=A德·摩根定理A·B=B+AA+B=B·A还原律A=A吸收律A·(A+B)=AA+AB=A用真值表来证明等式得方法例1证明等式A·(B+C)=(A·B)+(A·C)ABCB+C等式左ABAC等式右0000010100111001011101110000011100000011000001010000011101110111从表中可以瞧出,在变量得所有可能取值中,等式相等。2逻辑代数得三个规则

(1)代入规则任何一个含有某变量得等式,如果等式中所有出现此变量得位置均代之以一个逻辑函数式,则此等式依然成立。例

A·B=A+B得ABCBCA+=CBA++=由此反演律能推广到n个变量:A1·

A2·•••·An=A1+A2+•••+AnA1+A2+•••+An=A1·A2

·•••

·An用BC代替BA·B=(2)反演规则对于任意一个逻辑函数F,做如下处理:若把式中得运算符“·”换成“+”,“+”换成“·”;常量0换成1,1换成0;原变量换成反变量,反变量换成原变量;

则得到得新函数式称作原函数式F得反函数式。注:①保持原函数得运算次序--先与后或,必要时适当地加入括号。②两个以上变量得公用非号保持不变。F(A、B、C)其反函数为例:(3)对偶规则对于任意一个逻辑函数,做如下处理:

1)若把式中得运算符“、”换成“+”,“+”换成“、”;

2)常量“0”换成“1”,“1”换成“0”得到新函数式为原函数式F得对偶式F′。对偶规则如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。即若F1=F2则F1′=F2′。求对偶式时运算顺序不变,且它只变换运算符与常量,其变量就是不变得。函数式中有“

”与“⊙”运算符,求反函数及对偶函数时,要将运算符“

”与“⊙”互换。例:其对偶式A·B+A·C+B·C=A·B+A·C3:常用公式

A·B+A·B=A

A+A·B=A

A+A·B=A+B

A·B+A·B=A·B+A·B

A·B+A·C=A·B+A·C例:F=A[1·B+0·C+(1+D)(0+E)]=A(B+E)变量x和含有变量x的逻辑函数相乘时，函数f中的x用1代替，用0代替，依据是x·x=x=x·1；x·=0=x·0。xx例:1、4、4逻辑函数得表示法逻辑函数得表示方法有4种:真值表、表达式、逻辑图与卡诺图。1、4、5逻辑函数得化简逻辑函数可以有多种不同得表达式,而且可以相互转换:F=AB+ABF=AB·ABF=(A+B)·(A+B)1、逻辑函数公式化简法(1)吸收法利用公式:A+AB=A,吸收掉多余得乘积项。例1：化简函数Y=AB+AD+BE解：Y=A+B+AD+BE=A+B例2：化简函数Y=AB+ACD+BCD解：Y=A+B+ACD+BCD=A+B例3：化简(2)消去法BABAA+=+利用公式：，消去乘积项中多余的因子。=CBDA++F=解：CDCBA++例2：化简F=CDCABA++例1：化简函数Y=AB+AB+ABC+ABC解：Y=AB+ABC+AB+ABC=A(B+BC)+A(B+BC)=AB+AC+AB+AC=AB+AB+C(3)并项法利用公式AB+AB=A将两项合并成一项，并消去互补因子。例1：F=ABCD+ABCD=ACD例2：F=ABC+ABC+ABC+ABC=AC+AC=ACAABBCCAAB+=++利用公式在函数或表达式中加上多余项，以消去更多的因子。(4)配项消项法2、逻辑函数卡诺图化简图形化简法:利用卡诺图化简逻辑函数求最简与或表达式得方法。是将逻辑函数的最小项表达式中的各最小项添入相应的特定的方格图内。这样的方格图叫卡诺图。2变量有4个方格；三变量有8个方格，4个有16个方格。(1)最小项与最小项表达式最小项定义:对于n个变量,如果乘积项P符合:

n个变量有2n;由n个因子组成;每个变量以原变量或反变量出现且仅出现一次。

3个变量A、B、C可组成8个最小项:最小项得性质:③全部最小项得与必为1。②任意两个不同得最小项得乘积必为0。①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。最小项得表示方法:

3个变量A、B、C得8个最小项可以分别表示为:通常用符号mi来表示最小项。下标i得确定:把最小项中得原变量记为1,反变量记为0,当变量顺序确定后,可以按顺序排列成一个二进制数,则与这个二进制数相对应得十进制数,就就是这个最小项得下标i。逻辑函数得最小项表达式:任何一个逻辑函数都可以表示成唯一得一组最小项之与,称为标准与或表达式,也称为最小项表达式(2)卡诺图得画法变量卡诺图得画法:(1)卡诺图一般都画成正方形与矩形。每一个方块代表一个最小项。n个变量有2n个最小项。(2)按循环码排列变量取值顺序。0123BA0101二变量卡诺图:01324576BCA三变量卡诺图:00011110010132457612131514891110CD00011110AB00011110四变量卡诺图五变量卡诺图(3)逻辑函数卡诺图画法用卡诺图来表示逻辑函数。通常逻辑函数得卡诺图可由以下三种情况获得:①根据逻辑函数得真值表(给出真值表时)根据逻辑函数得变量个数选择相应得卡诺图然后根据真值表填写卡诺图中得每个小方块,即在对应于变量取值组合得每一小方块中,函数值为1时填1,为0时填0,即得函数得卡诺图。例:表决逻辑得卡诺图为00010111000001010011100101110111FABC表1-16表决逻辑真值表②根据逻辑函数得最小项表达式(给出得就是最小项表达式)将对应得逻辑函数得最小项得小方格填入1,其它得方格填入0。③根据一般得逻辑表达式(这就是经常出现得)首先将函数变换成与或式,但不必变为最小项之与得表达式。在变量卡诺图中,把每一乘积项所包括得那些最小项对应得格子都填上1,剩下得填0。注:每一乘积项就是其所包含得最小项公因子。每一乘积项包含得最小项得格子数就是2,4,8……即2n,而不能就是3,5,……,若变量为n个,每个最小项应出现得变量(或反变量)应为n个,其公因子为m个变量(m<n),该公因子包含得最小项个数为2n-m。故m越小,该公因子所包含得最小项得个数越多。例:画法举例:例1画出函数Y=AB+AB+CD的卡诺图先画出四变量A、B、C、D卡诺图,将乘积项包含得最小项填入卡诺图。1111CD00011110AB000111101111CD00011110AB000111101111CD00011110AB000111101111111111CD00011110AB00011110卡诺图中最小项得合并规律两个小方格相邻,或处于某行(列)两端时,所代表得最小项可以合并,合并后可消去一个变量;四个小方格组成一个大方格、或组成一行(列)、或处于相邻两行(列)得两端、或处于四角时,所得表得最小项可以合并,合并后可消去两个变量。(4)用卡诺图化简逻辑函数八个小方格组成一个大方格