广东工业大学《大学物理》课件-第十六章 量子

第16章量子物理基础第6篇近代物理基础(量子1)量子力学是近代物理理论体系的两大支柱之一，是研究物质微观结构、相互作用、运动和转化规律的学科。量子物理的发展经历了旧量子论和量子力学两个阶段旧量子论发展的三个标志：1900年

普朗克提出能量子假设，成功解释了黑体辐射的问题。1905年

爱因斯坦提出光量子假设，成功解释了光电效应。1913年

玻尔提出氢原子理论，建立了量子化定态的概念和定态之间跃迁的频率法则，成功解释了氢原子光谱的规律性。量子力学的诞生：1924年

德布罗意提出物质波假设，指出实物粒子也有波粒二象性，在物质波的基础上，薛定谔、海森伯建立了波动力学即量子力学。从而导致了近代量子物理的诞生和发展。

量子力学的基本概念、规律和方法与经典物理截然不同。本篇介绍有关量子力学的基本知识。康普顿散射进一步证实了光的波粒二象性。1、热辐射根据经典电磁理论，带电粒子的加速运动将向外辐射电磁波。一切物体都以电磁波的形式向外辐射能量（辐射能）。§16.1量子概念的诞生

热辐射和普朗克量子假设火炉600度1000度400度一定时间内，辐射能的多少，以及辐射能按波长的分布都与温度有关，故称这种辐射为热辐射。例如加热一个物体，开始时物体是暗淡的，温度升高，物体的颜色将由红变黄，再由黄变白，温度极高时，变为青白色。物体辐射的总能也随温度的升高而增加。*单色辐出度（单色发射本领）单色辐出度若在单位时间内从物体表面单位面积上辐射的、波长

在λ→

范围内的能量为，则*辐出度(总辐射能）W/m2单位时间内从物体表面单位面积上所辐射的各种波长的总辐射能量（单位面积上的辐射功率），称为该物体的辐出度

,用E表示。2、描述热辐射的物理量与物体的温度和所取定的波长都有关，是和T的函数。单色辐出度反映了在不同温度下辐射能按波长分布的情况。w/m3物体辐射能量的同时，也吸收周围其它物体的辐射能量。为了描写物体的吸收和反射能力,还有“吸收率”和“反射率”的概念,它们都是温度和波长的函数。很多物体都具有选择性吸收的特性，即对某些波长的电磁辐射吸收本领特别大，对于不透明的物体，单色吸收率和单色反射率的总和等于1。黑体模型有一类物体，能全部吸收所有波长的入射辐射能，即无反射，吸收率为1。这类物体称为“黑体”黑体的例子：（1）建筑物的窗口（2）冶炼炉上开的小孔注意：黑体是一种理想模型，类似质点、刚体、理想气体等模型一样。3、黑体辐射的实验定律

利用黑体模型（开有小孔的空腔），用实验方法可以测出黑体的单色辐出度随波长变化的关系实验装置图：AL1BPL2C黑体准直系统三棱镜测量系统从黑体A的小孔上发出的辐射，经透镜和平行光管成为平行光束而入射于棱镜P上，不同波长的射线有不同的偏向角，平行光管L2对准某一方向，这一方向的射线将聚焦在热电偶C上，因而可测出这一波长射线的功率（单位时间入射于热电偶的能量）调节测量系统的方向，即可测出不同波长的功率。（1）斯忒潘（Stefan)—波尔兹曼(Boltzmann)定律温度升高，面积迅速增大。斯忒藩常量分析曲线得出两条实验规律：0123451700K1500K1300K1100K每条曲线下的面积等于黑体在该温度下的总辐射能实验结果每条曲线反映了在一定温度下，黑体的单色辐出度随波长分布的情况。（1）斯忒潘—波尔兹曼定律（2）维恩位移定律维恩常量0123451700K1500K1300K1100K每条曲线的峰值叫最大单色辐射强度，与峰值对应的波长用

表示。向短波方向移动，与T的关系这两个定律反映出热辐射的量值随温度的升高而迅速增加,而且热辐射的峰值波长也随温度的升高而向短波方向移动。热辐射的规律在现代科学技术上的应用很广泛，它是测高温、遥感、红外追踪等技术的物理基础。例1

实验测得太阳辐射谱的峰值波长为490nm，将太阳视为黑体，试计算太阳的辐射功率和地球每秒内接收到的太阳能。（已知太阳半径R=6.96×108m，地球半径r=6.37×106m，日地距离d=1.496×1011m）

解由维恩位移定律计算太阳表面温度由斯忒潘—波尔兹曼定律得太阳辐射总功率为这功率分布在以太阳为中心，以日、地距离d

为半径的球面上，故地球表面单位面积接收到的辐射功率地球接收到的辐射功率4、经典理论的困难（1）维恩(Wien)公式此公式在长波方向与实验数据不符c1、c2为常数维恩线

为了从理论上导出符合实验曲线的函数式，19世纪末，许多物理学家在经典物理学基础上作了相当大的努力，但他们都遭到了失败，理论公式与实验结果不符合，其中较典型的有（2）瑞利(Rayleigh)金斯(Jeans)公式维恩线此公式在短波紫外光区域完全与实验结果不符，物理学史上把它称为“紫外区的灾难”c3为常数瑞利—金斯线紫外灾难瑞利-金斯公式和维恩公式都是用经典物理学的方法来研究热辐射，所得结果虽然都与实验不符，但是它们在近代物理学的发展史占有重要的地位，因为它们明显地暴露了经典物理学的缺陷。5、普朗克能量子假说式中c是光速，k是玻尔兹曼常数，e是自然对数的底，h是普朗克常数。普朗克(1858～1947)经典理论带出的这一理论灾难是由普朗克消除的，1900年普朗克利用内插法将维恩公式和瑞利-金斯公式衔接起来，提出一个新的公式：普朗克常数普朗克公式与实验结果符合得相当好。瑞利—金斯线维恩线普朗克得到上述公式后，决定寻找公式的理论依据，经深入分析和研究，发现必须使谐振子的能量取分立值，才能的到上述公式。普朗克假说1900年普朗克提出能量子假设：②这些谐振子辐射或吸收的能量是量子化的，最小能量单元为为普朗克常数①辐射体看成许多带电线性谐振子组成；物体发射或吸收的能量只能是

的整数倍。由普朗克公式可以推出斯忒潘—波尔兹曼定律和维恩位移定律

普朗克假设与经典理论不相容，在经典的热力学理论和电磁波理论中，能量是连续的，物体发射或吸收的能量可以是任意的量值，按普朗克的量子假设，能量是不连续的，存在能量的最小单元，物体辐射或吸收的能量是这个最小单元的整数倍，而且是一份一份地按不连续的方式进行的。量子假设不仅能圆满地解释热辐射现象，以后还为其他物理学发展推广，逐渐形成近代物理学中极为重要的量子理论。普朗克也由于这一概念的革命性和重要意义，获得了1918年的诺贝尔物理学奖。1、光电效应的实验规律(1)光电流和入射光强度之间的关系§16.2爱因斯坦光子理论（Einstein’stheoryaboutLightQuantum)

光照射到金属表面时，金属表面有电子逸出，这种现象叫光电效应。这个电子称为光电子。光电效应实验装置图光电效应iU0

入射光频率一定时，饱和光电流与入射光光强I成正比,但反向截止电压与入射光光强无关。(1)光电流和入射光强度之间的关系——光电效应实验规律之一CsCaNa光电子的初动能(2)光电子的初动能和入射光的频率之间的关系iU0Ua称为反向截止电压截止电压Ua与入射光的频率之间具有线性关系。式中为常数，不同的金属，

的值有不同，同一金属，为恒量。k为不随金属改变的普适恒量。由以上两式得到光电子的初动能随入射光的频率线性增加，而与入射光的强度无关。——光电效应实验规律之二CsCaNaiU0

即：每一种金属都存在频率的极限值——

红线。上式还表明，要产生光电效应，入射光的频率必须满足，称为光电效应的红限。

当入射光的频率小于红限频率时，无论光强多大，也不产生光电效应。CsCaNa(3)光电效应和时间的关系

实验指出，从光开始照射到金属释出电子，无论光强如何，几乎是瞬时的，不存在一个可测的滞后时间。——光电效应实验规律之三2、经典波动理论的困难按光的波动说（1）光电子的初动能应随入射光的强度而增加；（2）各种频率的光都可以产生光电效应，不存在红限；（3）金属中电子从入射光中吸收能量，必须积累到一定的量值才能逸出电子。3、爱因斯坦的光子理论1905年爱因斯坦在普朗克能量子假设的基础上提出光子假设:光束是一群以速度c运动的粒子流,称为光子.每个光子具有能量和动量对光电效应实验规律的解释(1)电子只要吸收一个光子就可以从金属表面逸出，所以无须时间上的累积过程。(2)光强大，光子数多，释放的光电子也多，所以饱和光电流也大。对光电效应实验规律的解释(3)入射光子能量=逸出功+光电子初动能此方程表明：光电子初动能和入射光的频率成线性关系。(4)红限频率对应光电子初动能等于0。爱因斯坦光电效应方程爱因斯坦光子理论圆满地解释了光电效应。1921年因此获诺贝尔奖

1916年密立根（Milikan）对光电效应进行了精密测量也由此获诺贝尔奖（另一原因是他用油滴法精确地测定了电子电量）光子的能量，质量和动量光不仅具有波动性,而且具有粒子性。关系式

：光子：光子的能量：光子的动量：光子的质量；把光的波动性和光的粒子性联系了起来，动量和能量描述光的粒子性，而频率和波长则描述光的波动性。光的波粒二象性4、光电效应的应用放大器接控件机构光光控继电器示意图光电倍增管光控继电器、自动控制、自动计数、自动报警等.例2钾的光电效应的红限波长为

o=620nm，求（1）钾电子的逸出功；（2）在

=300nm的紫外线照射下，钾的截止电压为多少？解例3

光电效应实验中测得某金属光电子初动能与入射光频率的关系如图所示，求普朗克常数h.ORQS解:由光电效应方程由图可知,入射光频率为时作业：

3,

32

第16章量子物理基础第6篇近代物理基础(量子2)氢原子光谱和玻尔理论§16.4玻尔的氢原子理论1、氢原子光谱的实验规律

原子光谱是研究物质结构的有利手段，从氢气放电管可获得氢原子光谱。

19世纪中叶发现氢光谱在可见光范围内有四条谱线，分别叫线，它们的波长的实验值分别为656.3nm486.1nm434.1nm410.2nm

1885年，巴尔末发现这四条谱线可归并为一个简单经验公式表示是巴尔末系中波长最短的一条谱线，称为巴尔末系的极限波长或叫线系限。式中称为里德伯常数.上述经验公式所代表的谱线系称为巴尔末系。公式中令，得到的波长

式中分别令

可以计算出氢光谱中等谱线的波长值,与实验值符合得很好。光谱学中,谱线常用频率或波数(波长的倒数)来表征

氢光谱中，除可见光区的巴尔末系外，还有紫外的赖曼系(1906年)红外还发现三个线系，分别为帕邢系(1908年)布拉开系(1922年)普丰德系(1924年)巴尔末指出:上述五个线系可以用一个公式表示

里德伯公式巴尔末系赖曼系帕邢系布拉开系普丰德系实验中观察到:氢原子光谱的谱线是分裂的，线状的。

氢原子巴尔末系的里德伯公式式中令2、经典理论的困难

原子光谱的规律性，与原子内部的结构有关。正负电荷在原子中如何分布的问题成为19世纪末20世纪初物理学家研究的主要课题之一。

原子中带正电的部分均匀分布在的整个原子球体中，而带负电的电子镶嵌在带正电的球体之中。带正电的球体与带负电的电子二者电量相等，故原子不显电性。

1903年汤姆逊提出一种模型西瓜模型J.JThomson1856—1940

汤姆逊西瓜1909年

卢瑟福用粒子轰击原子核,否定了汤模型，提出一种行星结构模型：

卢瑟福1871年8月13日出生在新西兰，1894年大学毕业，1895年到英国剑桥大学学习，成为J.J.汤姆孙的研究生。1908年卢瑟福荣获诺贝尔化学奖，同年在曼切斯特大学任教，继续指导他的学生进行

粒子散射的实验研究。

卢瑟福不仅是一位伟大的科学家，而且是一位受学者尊敬的导师，在他的学生中有十几位获得了现代科学界最高荣誉――诺贝尔奖，其中包括玻尔、查德威克等。原子由原子核和核外电子构成，原子核带正电荷，占据整个原子的极小一部分空间，而电子带负电，绕着原子核转动，如同行星绕太阳转动一样。卢瑟福的核式模型1909年卢瑟福提出一种模型“有核结构模型”

+-

粒子散射实验1/8000被反射，大部分透过

粒子束射向金箔：

为了建立适合于微观过程的量子理论，1913年，英国剑桥大学的学生N·Bohr在卢的核式结构模型基础上，应用库仑定律和牛顿定律，同时将普朗克的量子化理论运用于原子系统，提出了三个基本假设，成功解释了氢原子光谱的规律性。经典电磁理论解释不了氢原子光谱的规律性按卢瑟福模型

电子绕原子核（10-15m）高速旋转,高速旋转的电子向外辐射能量,(1)辐射的频率等于电子绕核转动的频率;+另电子在放射辐射能时，能量逐渐减少,频率也逐渐改变,因而(2)光谱连续；同时,按经典电磁理论,电子自动辐射时,由于能量的减少,电子将逐渐接近原子核,最后落在核上，这个过程时间<10-12秒，因此，（3）原子系统不稳定。3、玻尔假设（1）量子化定态假设原子处在一系列能量不连续的状态，在这些状态中，电子虽然绕核作加速运动，但不辐射能量，这些状态称为定态。（2）轨道角动量量子化假设

电子绕核作圆周运动中，不同的可能的稳定状态决定于下一条件，轨道角动量是量子化的，即n=1,2,3,…n称为量子数，量子化条件（3）量子化跃迁的频率法则原子从一个能量为En的定态跃迁到另一个能量为Ek的定态时，发出或吸收单色辐射的频率满足：只有当原子从一个较大能量En的定态跃迁到另一较低能量Ek的定时，才发射单色光，其频率：

反之，当原子在较低能量Ek的定态时,吸收了一个频率为的光子能量就可跃迁到较大能量En的定态。E2E1E2E1玻尔假设与经典理论不相容按经典理论原子没有定态；电子绕核运动的角动量是一个恒量，且可以任意取值；原子发光的频率应等于电子绕核转动的频率。由玻尔假设得到的结论（1）轨道量子化——

稳定轨道半径公式

电子绕核作圆周运动①由量子化条件②

①②消去，并以代得③

得第一玻尔轨道半径结论：电子绕核转动的轨道半径是量子化的。氢原子系统的总能

=电子动能

+系统的势能，即③式写成为基态能量其中（2）能量量子化能级（原子系统的总能量公式）

量子化轨道半径公式氢原子任一激发态的能量可用公式表示（3）氢原子光谱按玻尔假设，原子中的电子从较高能级En跃迁到较低能级Ek时，发出单色光的频率为结论：氢原子系统的能量是量子化的。这种量子化的能量值称为原子能级（简称能级）。若令，则上式成为量子化能量公式理论值和实验值符合的相当好。这正是巴尔末公式，RH就是里德堡常数，它的计算值为而实验值：原子光谱的产生可解释如下：由公式可知，n越大，原子系统的能量的绝对值越小，但代数值越大，亦即电子离核越远，原子能量越大。

时，能量最小，原子最为稳定，这种状态称为基态氢原子状态跃迁示意图

以上的态叫激发态，n

增加时，相邻能级的间隔减小。玻尔在分析原子的量子状态时，提出了著名的对应原理。他认为，原子保持量子状态的个性和稳定性具有一定的限度，只有当外来干扰的强度不足以把原子激发到较高量子状态时，原子才显现量子的特性。如果外来干扰足够强，原子的量子特性会消失，原子就成为经典粒子了，就是说，原子在很高量子状态时，量子理论必须得出与经典理论相同的结论，这就是通常说的对应原理。例如，当电子运动的轨道半径很大时，所发射的谱线频率就应该与电子绕核转动的频率相同。把各定态的能量用横线表示得氢原子能级图。氢原子光谱跃迁示意图+n=1n=2n=3n=4n=6n=5赖曼（Lyman）系巴尔末（Balmer）系帕邢（paschen）系布喇开（Brackett）系普丰德（Pfund）系氢原子能级图4、玻尔理论的成功和缺陷玻尔理论对氢原子光谱的解释获得了巨大的成功，对类氢离子（外层仅一个价电子的离子，如He+、Li2+、Be3+等）玻尔理论也能很好地说明它们的光谱。同时他关于定态假设和能级跃迁决定谱线频率的假设，在原子结构、分子结构的现代理论中，仍然是有用的概念，玻尔的创造性工作对现代量子力学的建立有着深远的影响。（2）逻辑上有缺陷玻尔把微观粒子看成遵循牛顿力学规律的经典粒子并强加量子化条件。故玻尔理论只能说是一个半经典半量子的理论。直到1924年，德布罗意揭示了微观粒子具有波粒二象性后，一个体系完整的描述微观粒子运动规律的理论量子力学才得以诞生。

（1）玻尔理论只能计算氢原子及类氢离子光谱的频率,无法计算光谱的强度、宽度、偏振等问题。对结构复杂的多电子原子光谱不能计算。但例1若用能量为12.09eV的电子轰击基态氢原子，求可能产生的谱线的波长。解可能的跃迁：31，32，21基态氢原子吸收能量为12.09eV的电子后被激发到高能态En由，可求得例2

计算氢原子中的电子从量子数为n的能级跃迁到量子数为k=n

－1的能级时所发射的谱线的频率，并证明当n很大时，这个频率等于电子在量子数n

的圆轨道上旋转的频率。解当n很大时，而电子在半径为rn的圆轨道上旋转的频率为①②例3

氢原子部分能级跃迁示意如图,在这些能级跃迁中,(1)

从n=

跃迁到n=

的能级时发射的光子的波长最短;(2)从n=

到n=

的能级跃迁所发射的光子的频率最小。例4

氢原子中主量子数n=2的电子至少需要吸收多少能量才能成为自由电子？解量子物理第二次练习题9，10，23

第16章量子物理基础第6篇近代物理基础(量子3)康普顿散射粒子的波动性§16.3康普顿（Compton）效应1923年美国物理学家Compton研究了x射线通过物质后的散射，进一步证实了光的量子性。康普顿散射实验装置示意图石墨X光管获1927年诺贝尔奖摄谱仪石墨摄谱仪射线散射线中除有与入射x射线波长相同的射线外，还有比入射线波长更长的散射线，这种现象叫康普顿散射实验规律:3.原子量越小的物质，康普顿效应越显著。

随散射角

的增大而增加，且新谱线的相对强度也增大。2.

与散射物质、原波长

均无关。经典理论无法解释康普顿效应光子论对康普顿效应的解释光子和实物粒子一样，能与散射物中的自由电子发生弹性碰撞，即满足动量守恒和能量守恒。碰撞时光子把自己的一部分能量传给了散射物中的自由电子，因而发生散射的光子能量减少，由知，散射光子的频率将比入射光子小，即波长比入射光子长。按经典电磁波理论，x射线通过物质时,引起物质中带电粒子作同频率的受迫振动，振动的带电粒子向周围辐射电磁波,成为散射光。散射光的频率应等于入射光的频率。且因电磁波是横波，在

=90°的方向应无散射。即经典电磁波理论只能解释波长不变的散射。康普顿效应的定量分析ee动量守恒光子的能量和动量电子的能量和动量碰前光子沿x方向运动,动量为上两式平方后相加①碰后光子沿散射,动量为电子沿反冲,动量为e能量守恒入射光子能量散射光子能量反冲电子能量①②②式两边平方后减①，再由质速关系整理得于是得到波长改变公式电子碰前静止能量为称为康普顿波长上式表明:(1)仅与散射角

有关，而与散射物及入射x射线的波长无关。最大，这与实验结果是一致的。（2）的数量级为

,而可见光波长为，所以可见光入射看不到Compton效应。即波长短的光量子效应显著。康普顿效应进一步证明了光的粒子性，同时也证明了动量守恒和能量守恒具有普适性，相对论效应在宏观和微观领域都存在。例1在康普顿效应中，入射光的波长为3×10-3nm，电子反冲的速度为0.6c，求散射光的波长和散射角。解λ=3×10-3nm，v

=0.6c

，m0=9.1×10-31kg，h=6.63×10-34

J·s，c=3×108m/s解例2波长为

0

=0.02nm的

x

射线与静止的自由电子碰撞，在

=90°的方向观察。求散射

x

射线的波长，反冲电子的动能和动量。作动量矢量图碰后光子动量碰前光子动量反冲电子动量

整个世纪以来，在辐射理论上，相对于波动的研究方法，我们过于忽视了粒子的研究方法；而在实物理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们关于粒子的图象想得太多，而忽略了波的图象呢？

L.V.deBroglie1924年博士论文《量子理论研究》，1929年诺贝尔奖§16.5粒子的波动性

德布罗意假设1、德布罗意假设

1924年法国物理学家德布罗意把光学中对波和粒子的描述应用于实物粒子上。假设一个质量为m

的实物粒子，以速度v运动时，具有能量E

和动量p

，能量E

与频率

，动量p

与波长

有关系

按德布罗意波假设，一个作匀速运动的实物粒子有一波与之联系，其波长为2、德布罗意公式①与实物粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波①式中

为粒子的动能。当粒子的速度接近光速时，应考虑相对论效应，

式改为①②当

时，粒子的波动性不明显。①②两式称为德布罗意公式。例如地球又如子弹宏观物体的德布罗意波长太小，难以观察其波动特性。其德氏波长但对于动能为的电子

这个波长与x射线有同一数量级，可用x射线衍射的办法观察到其波动性。

实物粒子的波动性当时只是作为一种假设提出来，直到1927年美国物理学家戴维孙和革末才用实验证实了电子的波动性，实验装置示意图如图3、戴维孙革末实验戴维孙革末的电子衍射实验装置电子束镍晶体电子枪

一束电子射线打到晶体的特选晶面上，探测器测量沿不同方向散射的电子束强度。

实验发现：当入射电子的能量为54eV时,在的方向上散射电子束的强度最大.

按x

射线衍射分析，散射电子束极大的方向应满足

若按德氏公式计算电子波的波长值为戴维孙革末的电子衍射实验装置电子束镍晶体电子枪

镍晶面原子之间的距离

,按上式计算电子波的波长为与实验结果符合得很好,从而证实了电子具有波动性。

实验证实了电子的波动性后，后来陆续证实了中子、质子、原子甚至分子等实物粒子都具有波动性。例1计算：25℃时的慢中子的德布罗意波长。解例2

设第一玻尔轨道半径为a，计算氢原子中电子在第n

轨道运动时相应的德布罗意波长。解电子在第n

轨道运动量子物理第三次练习题

4,7

20,21第16章量子物理基础第6篇近代物理基础(量子4)不确定关系薛定谔方程§16.6不确定关系

经典力学中,可同时确定质点的位置和动量;微观粒子由于具有波粒二象性，同时确定它的坐标和动量受到限制。如图,电子一个一个地通过单缝长时间积累后出现衍射图样

设有一束动量为的电子,沿y方向垂直通过宽度为的狭缝,由于电子有波动性,电子过狭缝后,在屏上形成衍射图样。

xθ

考察一个电子通过缝时的位置和动量由于缝有一定宽度,电子通过缝上哪一点是不确定的,即(1)

电子位置坐标的不确定量等于缝的宽度它沿x方向的动量是多大呢?

如果电子在过缝前px=0,过缝后,px不再是零.因为电子有波动性,过缝后电子波产生衍射花样,其分布关于y轴对称,中心是主极大。且越小,px将越大。（2）一个电子过缝后在x方向动量px的不确定量为：xθ即电子过缝后向什么方向偏是不确定的。忽略次极大，可认为电子过缝后都落在中央亮纹处，其运动方向可以有大到的偏转。所以一个电子过缝后在x方向动量的分量的大小为下列不等式所限

是第一极小对应的衍射角。海森伯不确定关系量子力学中由海森伯给出更严格的关系式如果考虑次极大，还要大些，因此一般有除了坐标和动量的不确定关系外，还有能量与时间也有不确定关系。如果粒子处于某一状态的时间为，则其能量必有一个不确定量，量子力学给出这就是激发态的能级宽度。除基态外，原子的激发态平均寿命越长，能级宽度越小。原子由激发态跃迁到基态的光谱线也有一定宽度。利用这个关系可以解释原子各激发态的能级宽度和它在该激发态的平均寿命之间的关系。原子在激发态的平均寿命s，可知激发态能级的能量值的不确定量为应该指出：不确定关系是波粒二象性及其统计关系的必然结果，并非测量仪器对粒子的干扰，也不是仪器或实验误差的缘故。例1

证如果确定一个低速运动的粒子的位置时,其不确定量等于粒子的德布罗意波长,则同时确定粒子的速度时,其不确定量等于粒子的速度。解已知又例2

一维运动的粒子，设其动量的不确定量等于它的动量，试求此粒子位置的不确定量与它的德布罗意波长的关系。解由题意义①②比较①②得解光子动量由不确定关系例3

光子波长,如果测量此波长的精度，试求此光子位置的不确定量。其不确定量§16.7波函数薛定谔方程

经典力学中由牛顿第二定律可求得质点的运动方程。

下面先从自由粒子入手，介绍波函数及其物理意义，然后讨论薛定谔方程的建立。如谐振子：解方程可得

量子力学中与牛二定律地位相当的是薛定谔方程，它的解称为波函数，一般用表示微观粒子由于具有波粒二象性，其运动状态如何描述呢？1、自由粒子的波函数

经典波动理论中，沿x正向传播的平面简谐波的波函数为

与恒定速度的自由粒子联系的德布罗意波是平面波，其波函数也可写成上式的形式自由粒子

不受外力的粒子把上式写成复数形式，并取其实部有①对自由粒子②可用光波与物质波类比的方法来阐明波函数的物理意义。这就是与能量为E，动量为p，沿x正向运动的自由粒子相联系的德布罗意波的波函数，是波函数的振幅。2、波函数的物理意义把②式改写成其中

仅与坐标x有关，与时间t无关，称为振幅函数或叫定态波函数。光具有波粒二象性：按波动观点,衍射图样中②或

粒子在某处附近出现的几率与该处波函数的振幅平方成正比。亮处光强大振幅平方(电场强度振幅)大按粒子观点：亮处入射该处的光子数多两种看法是等效的结论是:入射到空间某处的光子数与该处光振动的振幅平方成正比.电子的衍射图样与光的衍射图样类似,对电子或其它微观粒子,在微粒性与波动性之间,也应有类似的结论。某时刻，在空间某一地点，体元dV

内找到粒子的概率与该时刻、该地点的波函数的振幅平方成正比。——玻恩关于波函数的统计意义光的强度与光子数成正比即物质波的强度也应与波函数的平方成正比，物质波强度大的地方，亦即粒子分布多的地方。粒子在空间某处分布数目的多少，与单个粒子在该处附近出现的概率成正比。因此得到类似的结论：*波函数必须满足的条件波函数的归一化条件即：波函数必须满足单值、连续、有限而且因为是复数，而几率必须是实数，所以称为概率密度①几率连续是连续函数②几率不会无限大是有限函数③一个地方一个几率是单值函数④全空间找到粒子的几率为1，即因此，德布罗意波既不是机械波，也不是电磁波，而是一种几率波。体元dV内找到粒子的几率为自由粒子的波函数上式对x

求二阶偏导数3、薛定谔方程(1926年建立）对t

求一阶偏导数代入得对自由粒子①这就是一维运动自由粒子含时的薛定谔方程，其解便是一维运动自由粒子的波函数。如果粒子在势场中运动（非自由粒子），粒子的动能这就是非自由粒子一维运动含时的薛定谔方程。作类似上述的运算，得②如果粒子在三维空间中运动，则上式推广为③其中为拉普拉斯算符引入能量算符和动量算符，则③式可看作粒子的能量两边乘上，然后将E和p换为相应的算符得到的结果。练习题7，12，26,质量为m沿x方向运动的粒子，若其势能仅为坐标的函数，则含时的薛定谔方程可表为1、一维定态薛定谔方程§16.8一维定态问题对定态问题，能量E确定，波函数中的时空变量可分离，写成其中是与t无关而仅与x有关的函数，称为振幅函数或叫定态波函数。代入含时薛定谔方程可得满足的方程④或薛定谔方程④与t

无关而仅与x有关，称为非自由粒子一维定态薛定谔方程。（1）一维无限深势阱中的粒子按经典理论，处于无限深势阱中的粒子，其能量可取任意值，粒子在势阱中各处出现的概率相等。量子力学的结论如何？2、薛定谔方程的应用一维无限深势阱的势能函数aOU(x)

x令波函数必须有限1）势阱外定态薛定谔方程为特征方程方程的通解为确定常数处处找不到粒子U(x)aOx2）阱内

令波函数必须连续定态薛定谔方程aOx常数C可由归一化条件确定得到归一化的波函数为

基态波函数

第一激发态对解的讨论（1）由于波函数标准条件和边界条件的约束，E只能取某些特定值，即无限深势阱中粒子的能量是量子化的。EOaxn=1n=2n=3n=4称为零点能相邻能级的间距n增加，能级间距增大能量公式表明，仅当a、m与同数量级时，能量量子化特征才显现。宏观物体能量连续。

对一维线性谐振子的讨论也将得到类似的结果：其能量的可能取值是分立的，零点能（基态能）为（2）势阱中不同位置粒子出现的概率不相同。x处找到粒子的概率密度概率密度函数概率最大值的位置由求得Oan=1n=2n=3n=4xa/2

n=1求得只有一个极大值点,出现在处n=2得

处概率密度最大当

时,概率处处相同经典粒子Oan=1n=2n=3n=4Oan=1n=2n=3n=4xxa/2粒子在各定态运动的波函数及各定态找到粒子概率最大值的位置解找到粒子的概率为例1粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动的波函数为计算n=1时,在区间找到粒子的概率。问题离子A和粒子B的波函数分别如图所示，若用位置和动量描述它们的运动状态，两者中哪一个粒子位置的不确定量最大？哪一个粒子的动量的不确定量最大？为什么？设粒子的波函数为

答:即A粒子位置的不确定量较大。又根据不确定关系式由于

B

粒子位置的不确定量较小，因而B粒子动量的不确定量较大。x处找到粒子的概率密度。则表示

t

时刻在比较A、B两粒子

的区间

,可以看出问题答案:(A)如果将波函数在空间各点的振幅同时增大N倍，则粒子在空间的分布概率（

）（D）增大2N倍（A）不变（B）增大N倍（C）增大倍（2）势垒及隧道效应粒子在图所示的势场中作一维运动势能函数从区域A沿x方向运动的粒子，当粒子能量E>U0时，无论从经典或量子力学角度看，粒子都可以越过势垒到达区域C，不同的是，按量子力学，因为粒子有波动性，粒子在界面处有反射，故在区域A有入射波和反射波；在区域B有透射波和反射波；在区域C只有透射波。另按经典理论，粒子能量E<U0时，只有反射而不可能进入区域B，量子力学的结论是，粒子可以穿过区域B而进入区域C。在区域A，定态薛定谔方程为在区域B，定态薛定谔方程为在区域C，定态薛定谔方程为在情况下，为实数，上述三个方程的通解为：由于粒子到达区域C后，不再反射，故C2=0，再由波函数的单值、连续条件上面三式中，第一项表示沿x正向传播的平面波，第二项为沿x负向传播的平面波。可确定其余五个积分常数，从而得到粒子在三个区域中运动的波函数。粒子在其总能的情况下，有一定概率穿透势垒的现象称为隧道效应。用贯穿系数T表示粒子穿透势垒的概率，定义为xUU0OaE<U0微观粒子的隧道效应已被许多现代实验所证实。1981年由宾宁（G．Binning）和罗雷尔（H．Rohrer）发明的扫描隧道显微镜（STM），就是利用量子隧道效应产生隧道电流的原理制作的显微镜。其分辨率可达原子水平，即能观察到原子级的图像。

扫描隧道显微镜(STM)1981年，宾宁、罗雷尔研制成。1986年获诺贝尔物理学奖。我国也在1988年研制成新型的STM。Omicron低温超高真空STMSTM是根据电子穿过表面势垒的隧道效应制成的。它利用针尖扫描样品表面，通过隧道电流(tunnelcurrent)获得样品表面的图像。利用STM，人类第一次观察到了物质表面上排列的一个个单个原子，STM的发明对表面科学、材料科学乃至生命科学等领域都具有重大的意义。硅表面硅原子的排列砷化镓表面砷原子的排列碘原子在铂晶体上的吸附纳米科学技术应用实例

STM照片48个Fe原子形成电子围栏，围栏中电子形成驻波。STM不但被用来观察材料表面的原子排列，而且可以用它来配置原子。用它的针尖吸住一个原子，然后把它放到另一个位置图形和量子力学的预言符合的相当好。通过移走原子构成的图形练习题P213~217页选13，14计50第16章量子物理基础第6篇近代物理基础(量子5)氢原子的量子力学描述多电子原子§16.9氢原子的量子力学描述电子自旋因势能仅是r的函数，采用球坐标计算方便设原子核不动，电子在核的库仑场中绕核运动。1、氢原子的定态薛定谔方程势能函数定态薛定谔方程为球坐标表示的拉普拉斯算符为定态薛定谔方程写成采用分离变量法求解，设球坐标表示的波函数为分别只是的函数。上述三个函数对应的微分方程分别为和为常数①②③求解上述三个微分方程时，很自然得到氢原子的一些量子化特征(求解过程略)（1）能量量子化和主量子数求解方程③时，为使R(r)满足标准条件，氢原子的能量必须满足如下量子化条件求解上述三个方程，并利用波函数的标准条件，可得波函数2、量子化条件和量子数n为能量量子数或主量子数，与玻尔的量子化能量公式一致。但这是解方程的结果，无须人为地假设，故这是一个自洽的理论体系。（2）轨道角动量量子化和角量子数求解方程①和②时，为使方程满足标准条件的确定解，电子绕核转动的轨道角动量必须满足如下量子化条件L称为角量子数或副量子数，与玻尔的量子化条件不同。玻尔理论中最小值最小值量子力学的结论是正确的。量子力学中，轨道的概念已无意义，角动量的矢量表示是量子力学的近似且直观的表示。求解薛定谔方程还指出，不仅轨道半径是量子化的,而且轨道角动量矢量L（或轨道平面）在空间的取向也是量子化的。角动量矢量L在外磁场方向（z方向）的投影必须满足如下量子化条件对于一个给定的l

,

ml可以有(2l+1)

个可能值（取向）。+（3）轨道角动量空间量子化和磁量子数

称为磁量子数，其决定了电子角动量在空间的可能取向。例如：L在z方向的投影有三个值（三个取向）L在z方向的投影有五个值（五个取向）角动量不同态的名称

在光谱学中常用spdf…等字母分别表示l=0,1,2，3,…(n-1)电子的状态,现仍沿用这些符号。的最小值是0，最大值是的最小值是0，最大值是2说明电子轨道角动量在空间的取向是分立的，共有（2l+1)个可能值，称为“空间量子化”。（1）主量子数n,n=1,2,3,

…代表氢原子的能量。（2）角量子数l，l=0,1,2,…,(n-1)代表原子的角动量，根据氢原子定态薛定谔方程的求解可以得到如下重要结论：氢原子只能处于一些分立的状态，这些状态可用三个量子数n,l,ml来描述。他们所代表的物理内容和取值归纳如下：角动量的大小为（3）磁量子数ml，ml

=0,±1,±

2,…,±l代表电子的角动量在空间的可能取向。它在外磁场z方向的分量为具有角动量的量纲。L也叫轨道角动量。注意：在量子力学中，电子没有轨道的概念，只能给出空间的分布概率。当l=0时，L=0，说明电子在核外分布的概率是球对称的。当n确定之后，l有n个可能的取值，l的最大值是（n-1)。由于l对能量也有些影响，即由n的一个值所决定的能级实际上包含了若干个与l有关、靠得很近的分能级，故l也叫副量子数能级简并,简并度简并度——

一个能级所能允许的不同的量子态数目。氢原子的能级简并度为n2

氢原子中电子的稳定状态用一组量子数n,l,ml来描述，每一组量子数确定了氢原子的一个状态，相应地有一个代表该状态的波函数，当n给定时，

l

有n个可能值，当l给定时，ml有（2l+1)个可能值；所以对应能级En，电子可有个不同的运动状态（量子态或波函数），这种现象称作“能级简并"现象。（1）碱金属光谱的精细结构

碱金属的每一条光谱线是由两条或三条线组成。（2）Stern-Gerlach实验

S态的银原子经过狭缝和不均匀磁场后，分裂成上下对称的两束。这一现象证明原子具有磁矩且在外磁场中只有两种取向，即空间的取向是量子化的。OttoStern1888-19691943年获Nobel奖WalterGerlach1889-19793、电子自旋

1921年，斯特恩和格拉赫为了验证电子轨道角动量在空间的取向是量子化的进行了实验。（3）电子自旋假设的提出

1925年乌伦贝克（Uhlenbeck）和高斯密特（Goudsmit）提出电子自旋假设：S.A.Goudsmit1902-1979G.E.Uhlenbeck1900-1988尽管实验证实了原子在外磁场中的空间取向量子化。但按量子化理论，处于基态的氢原子，角量子数l=0，则磁量子数ml只能取0，即电子的角动量和相应的磁矩均为0，因而不应发生分裂。

每个电子都具有自旋角动量S

和相应的自旋磁矩，自旋角动量的大小为s

称为自旋量子数，每个电子都取同样的值s=1/2。

引入电子自旋的概念，不仅解释了斯特恩—格拉赫实验的结果，而且使碱金属原子光谱的双线结构等现象得到完满的解释。自旋角动量S在空间的取向也是量子化的，S在外磁场方向（z方向）的分量为这样，描述原子中电子的运动状态又增添了新的量子数ms

，即原子中电子的运动状态必须由四个量子数来确定。ms

称为自旋磁量子数，它只能取两个值§16.10多电子原子原子的壳层结构（1）主量子数n: