人教版七年级数学下册第九章不等式与不等式组导学案

同学们，前面我们已经学习了一元一次方程及其应用，体会了“相等关系”在解决实际问题中的作用。但在现实生活中，数量之间的关系不仅仅只有相等，更多的时候是“不相等”。比如，你的身高和同桌的身高，你们家每月的收入和支出，一次考试中你的得分和班级平均分等等。如何用数学的方法来描述和研究这些“不相等”的关系呢？这就是我们本章将要探索的内容——不等式与不等式组。通过本章的学习，我们将建立“不等观念”，学会用不等式表示数量之间的不等关系，并掌握解不等式（组）的方法，最终能运用它们解决一些简单的实际问题。准备好了吗？让我们一起走进“不等式”的世界，探索其中的奥秘吧！9.1不等式9.1.1不等式及其解集学习目标：1.感受生活中存在的大量不等关系，初步理解不等式的概念，能用不等式表示简单的不等关系。2.理解不等式的解与解集的意义，能在数轴上直观地表示不等式的解集，体会数形结合的思想。学习过程：一、情境引入，感受不等我们来看几个生活中的例子：1.小明的年龄（设为x岁）比他妹妹的年龄（设为y岁）大，即x____y。2.这辆公交车的核载人数是50人，现在车上有乘客a人，没有超载，即a____50。3.当x=2时，x+3的值是5；当x=3时，x+3的值是6。我们可以说，当x>2时，x+3____5。思考：这些例子中的数量关系有什么共同特点？它们与我们学过的等式有什么不同？二、新知探究，形成概念1.不等式的概念：像上面例子中用符号“>”（大于）、“<”（小于）、“≥”（大于或等于）、“≤”（小于或等于）、“≠”（不等于）连接而成的式子，叫做不等式。例如：x>y，a≤50，x+3>5，3≠5等都是不等式。思考与辨析：下列式子中哪些是不等式？为什么？(1)3>2(2)2x≤1(3)2x-1(4)s=vt(5)1+1≠32.不等式的解：我们知道，使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。那么，什么是不等式的解呢？对于不等式x+3>5，当x=3时，3+3=6>5，不等式成立，所以x=3是不等式x+3>5的一个解；当x=2时，2+3=5，不等式不成立，所以x=2不是它的解。由此可见，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。尝试与发现：请你找出不等式x+3>5的其他一些解，比如x=4，x=5，x=2.5，x=10……你能找出多少个？从中你发现了什么？3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式解集的过程叫做解不等式。例如，不等式x+3>5的解集是x>2，它表示所有大于2的数都是这个不等式的解。思考：不等式的解与不等式的解集有什么区别与联系？4.在数轴上表示不等式的解集：为了更直观地表示不等式的解集，我们常常利用数轴。*表示x>a：在数轴上找到表示数a的点，画一个空心圆圈，表示不包括a本身，然后从这个点向右画一条线。*表示x<a：类似地，画空心圆圈，从该点向左画线。*表示x≥a：画一个实心圆点，表示包括a本身，然后向右画线。*表示x≤a：画实心圆点，向左画线。例题示范：在数轴上表示下列不等式的解集：(1)x>1(2)x≤-2学生尝试：在数轴上表示不等式x≥0和x<3的解集。三、课堂练习，巩固提升1.用不等式表示下列关系：(1)a是正数；(2)b是非负数；(3)c的一半不大于3；(4)x与2的差小于1。2.下列数值中，哪些是不等式2x+3>9的解？哪些不是？-4，-2，0，3，3.5，4，5.63.在数轴上表示下列不等式的解集：(1)x<-1(2)x≥2.5(3)x>0(4)x≤-3四、课时小结，反思收获通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些疑问？*我学到了什么是不等式、不等式的解、不等式的解集。*我学会了如何在数轴上表示不等式的解集。*我觉得最容易出错的地方是……---9.1.2不等式的性质学习目标：1.通过类比等式的性质，自主探究并归纳不等式的基本性质。2.能利用不等式的性质对不等式进行简单变形，并初步理解变形的依据。3.体会类比和数形结合的思想方法。学习过程：一、复习回顾，引入新课还记得等式有哪些性质吗？等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。我们知道，不等式与等式既有联系又有区别。那么不等式是否也有类似的性质呢？这节课我们就来一起研究。二、探究新知，归纳性质探究一：不等式的性质1用“>”或“<”填空，并观察不等号的方向是否改变：(1)5>3，那么5+2___3+2；5-2___3-2。(2)-1<3，那么-1+2___3+2；-1-3___3-3。猜想：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向会改变吗？归纳性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。即：如果a>b，那么a±c___b±c。探究二：不等式的性质2与性质3继续用“>”或“<”填空，并观察不等号的方向：(3)6>2，那么6×2___2×2；6÷2___2÷2。(4)-2<3，那么-2×6___3×6；-2÷2___3÷2。(5)6>2，那么6×(-1)___2×(-1)；6÷(-2)___2÷(-2)。(6)-2<3，那么-2×(-4)___3×(-4)；-2÷(-1)___3÷(-1)。思考与讨论：1.观察(3)、(4)，不等式两边乘（或除以）同一个正数时，不等号的方向有何变化？2.观察(5)、(6)，不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向又有何变化？归纳性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。即：如果a>b，c>0，那么ac___bc（或a/c___b/c）。归纳性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。即：如果a>b，c<0，那么ac___bc（或a/c___b/c）。特别提醒：不等式的性质3是我们最容易出错的地方，一定要牢记“乘除负数，方向改变”！对比思考：不等式的性质与等式的性质最大的区别是什么？三、例题解析，深化理解例题1：设a>b，用“>”或“<”填空，并说明依据不等式的哪条性质。(1)a-7___b-7(2)a+6___b+6(3)-4a___-4b(4)a/5___b/5(5)-a/2___-b/2(6)3a-1___3b-1例题2：利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集。(1)x-7>26(2)3x<2x+1(3)-x/3>5(4)-4x≥3分析与解答：解不等式，就是要借助不等式的性质，把不等式逐步化为x>a或x<a（x≥a或x≤a）的形式。(1)x-7>26根据不等式性质1，两边加7：x-7+7>26+7所以x>33在数轴上表示：（略，注意方向和空心圆圈）(2)3x<2x+1根据不等式性质1，两边减2x：3x-2x<2x+1-2x所以x<1在数轴上表示：（略）(3)-x/3>5根据不等式性质3，两边乘（-3），不等号方向改变：x<-15在数轴上表示：（略）(4)-4x≥3根据不等式性质3，两边除以（-4），不等号方向改变：x≤-3/4在数轴上表示：（略，注意实心圆点）学生尝试：解不等式：(1)x+5<-1(2)4x>36(3)-x/2≤-3(4)5x-4≤7x四、课堂小结，知识梳理*本节课我们学习了不等式的三条基本性质，尤其要注意性质3的应用。*解简单不等式的依据是不等式的性质，目标是将不等式化为x>a(x<a,x≥a,x≤a)的形式。*在数轴上表示解集时，要注意端点的虚实和方向。---9.2一元一次不等式学习目标：1.理解一元一次不等式的概念，能识别一元一次不等式。2.掌握解一元一次不等式的一般步骤，并能熟练求出一元一次不等式的解集，能在数轴上正确表示解集。3.体会解一元一次不等式与解一元一次方程的联系与区别，培养类比迁移能力。学习过程：一、温故知新，引入概念1.什么是一元一次方程？它的一般形式是什么？2.解一元一次方程的一般步骤有哪些？3.观察下列不等式，它们有什么共同特点？(1)3x<2x+1(2)x/3>5(3)-4x≥3(4)2(x+1)<3x-4这些不等式都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，未知数的系数不为0，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。辨析：下列不等式中，哪些是一元一次不等式？为什么？(1)x²+1>2x(2)1/x+3<5(3)2x+y≤0(4)3(x-1)≥0二、探究解法，总结步骤我们已经会利用不等式的性质解一些简单的一元一次不等式。对于更复杂一些的一元一次不等式，比如2(x+1)<3x-4，又该如何求解呢？例题：解不等式2(x+1)<3x-4，并把它的解集在数轴上表示出来。解：去括号，得2x+2<3x-4移项，得2x-3x<-4-2（移项要变号）合并同类项，得-x<-6系数化为1，得x>6（根据不等式性质3，两边除以-1，不等号方向改变）这个解集在数轴上的表示（略）。思考：回顾解一元一次方程的步骤，解一元一次不等式的步骤有哪些？它们之间有什么异同？总结解一元一次不等式的一般步骤：1.去分母（根据不等式性质2或3，注意：若分母为负数或乘以/除以负数，不等号方向要改变）2.去括号（依据去括号法则和分配律）3.移项（依据不等式性质1，移项要变号）4.合并同类项（依据合并同类项法则）5.系数化为1（根据不等式性质2或3，注意不等号方向是否改变）注意事项：*去分母时，不要漏乘不含分母的项。*去括号时，若括号前是负号，括号内各项要变号。*系数化为1时，一定要注意不等号的方向是否需要改变（关键看两边乘或除以的数是正数还是负数）。例题示范：解不等式(x+1)/2-(2x-1)/3>1，并把解集在数轴上表示出来。解：去分母（两边同乘6，6是2和3的最小公倍数）：3(x+1)-2(2x-1)>6去括号：3x+3-4x+2>6移项：3x-4x>6-3-2合并同类项：-x>1系数化为1（两边同乘-1，不等号方向改变）：x<-1在数轴上表示解集（略）。学生练习：解下列不等式，并在数轴上表示解集：1.5(x-1)≤3(x+1)2.(2x-1)/3-(3x+1)/2≥13.1-(x-1)/2<2-x/3三、解一元一次不等式与解一元一次方程的异同点比较项目一元一次方程一元一次不等式------------------------------------------------------------------------未知数个数1个1个未知数次数1次1次解法步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1关键区别（系数化为1）两边同乘（或除以）同一个非零数，等号不变两边同乘（或除以）同一个**正数**，不等号方向不变；同乘（或除以）同一个**负数**，不等号方向**改变**解的形式一般是一个具体的数（x=a）一般是一个范围（x>a,x<a,x≥a,x≤a）解的个数1个（或无解）无数个（或无解）四、课堂小结，反思提升