福建省名校联盟高三下学期开学联考试题数学

数学试题本试卷共4页，19小题，考试时间120分钟，总分150分.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C解析：由得，解得，故，又因为，所以.故选：C.2.若，则的虚部为（）A.1 B. C.i D.【答案】A解析：因为，所以，其虚部为.故选：A3.双曲线的两条渐近线的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B解析：由双曲线，得，且双曲线的焦点在轴上，所以，所以双曲线的渐近线方程为，又渐近线的倾斜角为，由双曲线的对称性可知双曲线的两条渐近线的夹角为.故选：B.4.已知随机变量，若，且，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C解析：因为，，所以，所以，又，，所以，解得.故选：C.5.已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】B解析：因为，所以.故选：B.6.已知，为锐角，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D解析：设，已知.，即：，，因此：，解得.因为为锐角，所以，，故，因此.故选：D7.已知等差数列的各项均为正数，记其前项和为，若数列是等差数列，且与的公差相等，则（）A B. C. D.【答案】B解析：设等差数列的公差为，则等差数列的公差也为，设，则，当时，，当时，，也满足，即，故，所以，因为数列的公差为，所以，解得或，若，则，与等差数列各项均为正数不符，舍去；若，则，对任意的，，符合题意，故，故选：B.8.已知函数恰有两个极值点，且曲线与x轴相切，则a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D解析：由题意得，则有两个极值点等价于关于x的方程有两个相异正实数解，所以，可知，且，，曲线与x轴相切，则的极值中有一个为0，不妨设，易知，所以，，因为，，，所以，解得，且，即，且，令函数，，则，令，得，则在区间上单调递增，在区间上单调递减，因为，所以，综上所述，a的取值范围为.故选：D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数的最小正周期为，且，则（）A. B.在区间上单调递减C.的图象关于点对称 D.的图象关于直线对称【答案】AC解析：因为函数的最小正周期为，所以，解得，所以，又，所以，所以，所以，解得或，又，所以，故A正确；所以，当，所以，所以在区间上单调递增，故B错误；又，故C正确；又，所以不是函数图像的对称轴，故D错误.故选：AC.10.设抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点，若弦的中点为，则（）A.F的坐标为 B.直线的斜率为1C. D.【答案】ABD解析：对于A，抛物线的焦点，A正确；对于B，设直线的方程为，由，得，设，由弦的中点为，得，解得，直线的斜率，B正确；对于C，由选项B知，，，C错误；对于D，由选项B知，，因此，D正确.故选：ABD11.已知棱长为的正四面体的四个顶点、、、均在球的球面上，动点、分别在棱、上（不包括端点），则（）A.面积的最小值为B.若恰有两个点满足，则的取值范围是C.到平面和到平面的距离之和为定值D.若，则的周长不可能为【答案】ACD解析：将正四面体补成正方体，以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，设，其中，则，，，所以点到直线的距离为当且仅当时，等号成立，即点到直线距离的最小值为，所以，A对；对于B选项，易知球心为正方体体对角线的中点，且，则球心，，同理可知，所以为等腰直角三角形，所以球心到直线的距离为，故恰有两个点满足，则，即的取值范围是，B错；对于C选项，，易知、都是边长为的等边三角形，，设点到平面、平面的距离分别为、，由得，解得，C对；对于D选项，设，，、，在中，，所以在中，由余弦定理，得，同理，有，在中，由余弦定理，得，在直角中，，所以，即，由基本不等式，得，即，令，则，解得，或（舍），所以，显然等号可以取得，在中，，又，所以，所以的周长为，则的周长为定值，不可能为，所以选项D正确，故选：ACD．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.若两个单位向量满足，则与的夹角是__________.【答案】解析：由题意知：，，所以，所以，所以，所以，所以向量与的夹角是.故答案为：.13.在中，已知的角平分线交于D，，，则_____．【答案】解析：因为的角平分线交于D，所以，设，又因为，所以，又因为，设，则，解得，在中，由余弦定理可得.故答案为：.14.在平面直角坐标系中，设集合，从U中随机选取2个不同的元素，其对应的点记为A，B，记事件M为“A，O，B三点能构成三角形”，事件N为“的面积恰为整数”，则______；______．【答案】①.②.解析：由题意可得的选法有3种，的选法有3种，所以全集中有9个点.首先，计算所有可能的点对的种数为，下面考虑不能构成三角形的情况：①A，B中含原点，此时有8种；②A，B中不含原点，则O，A，B三点共线，有，，，共3种，因此，A，O，B三点能构成三角形的种数为，所以；方法1：①考虑A，B中含点，且使得的面积为整数的点对的情况，有，，，共3对；②考虑A，B中含点，且使得的面积为整数的点对的情况，有，，，，，，共6对；③考虑A，B中含点，且使得的面积为整数的点对的情况（去除重复的点对），有，，共2对；④考虑A，B中含点，且使得的面积为整数的点对的情况（去除重复的点对），有，，，，共4对；⑤考虑A，B中含点，且使得的面积为整数的点对的情况（去除重复的点对），有，，共2对；所以，所以．方法2：不妨设，，易知的面积为，则为整数，等价于“为偶数”，将非原点的8个点按坐标的奇偶性分类如下：（偶，偶）：，，，有3个；（偶，奇）：，，有2个；（奇，偶）：，，有2个；（奇，奇）：，有1个，令，则d为奇数当且仅当，中恰为一奇一偶，点对类型为：{（偶，奇），（奇，偶）}，{（偶，奇），（奇，奇）}，{（奇，偶），（奇，奇）}，有种，注意到在A，O，B三点能构成三角形的前提下，d为偶数的种数为，所以，所以．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.为研究某市高三年级学生身高和性别的关系，随机抽取了名高三年级学生，得到如下列联表：性别身高合计低于不低于女男合计（1）求列联表中的、的值；将样本频率视为概率，若在全市高三学生中随机抽取人，其中不低于的人数记为，求的期望．（2）依据小概率值的独立性检验，分析高三年级学生的身高是否与性别有关．附：，【答案】（1），，（2）有关（1）由题意，，，样本中抽取的不低于的学生的频率为，将样本频率视为概率，若在全市高三学生中随机抽取人，其中不低于的人数记为，则，所以．（2）零假设为高三年级学生的身高与性别无关，由（1）可知，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即该市高三年级学生的身高与性别有关．16.记数列的前n项和为，已知．（1）求的通项公式；（2）设，记数列的前n项和为，若，，求t的取值范围．【答案】（1）（2）（1）因为，所以，当时，，所以，即，则是首项为1，公比为3的等比数列，所以的通项公式为．（2）由（1）可得，所以，因为，，所以t的取值范围为．17.如图，在三棱锥中，与均为等边三角形，平面平面，D是的中点，E是上的动点．（1）证明：；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）（1）与均为等边三角形，，取中点O，连接，，则有，，平面平面，平面，平面，平面平面，，，，，，，，在中，有，在中，有，，中，可得，．（2）由（1）可知，，，如图所示，以O为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设，，，，，，则，，，，设，，设平面的一个法向量为，则令，则，设直线与平面的夹角为，则，解得，，易得平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，，平面与平面的夹角的余弦值为．18.在直角坐标系中，点，动点P在直线的左侧，且到直线的距离恒为，记P的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）设不经过F的直线l的方程为，已知l交C于M，N两点，且的值与m的值无关．（i）求k的值；（ii）是否存在实数m，使得?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）（i）（ii）不存在，理由见解析（1）设，由已知，得，所以，两边平方，化简得C的方程为．（2）（i）设，，由（1）可知，，所以，由得，所以，且，，因此，因为的值与m无关，所以，解得（此时）．（ii）若存在实数m符合题设，则，所以，因为，所以，在中，由正弦定理，得，易知，且，所以，所以，所以，所以，即，所以，即，由（1）可知，所以，，故，，从而l的方程为，显然这与l不经过矛盾，所以不存在符合题设的实数m．19.已知函数，，，且．（1）讨论函数的单调性；（2）若曲线和存在公切线，求a的取值范围；（3）若存在相异实数m，n，使得，且，求a的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）（3）（1）因，，则，当时，，在上单调递增；当时，令，解得，所以当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，综上所述，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．（2）因，则曲线在点处的切线方程为：，即，又因，则曲线在点处切线方程为，，即，所以，故，且，所以，整理得，（），设，则，当时，，当时，，故在区间单调递减，在区间单调递增，所以的极小值，也是最小值为，由（），可得，解得，所以a的取值范围是．（3）依题意，ln⁡m=an,ln⁡n=am