高三二轮高效复习讲义数学专题突破统计与概率第1讲计数原理与概率

第1讲计数原理与概率▶对应学生用书P76【考情分析】1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选择题、填空题为主.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇考查.3.概率重点考查古典概型、条件概率、全概率公式的基本应用.1.(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是()A.14 B.C.12 D.解析：选B.画出树状图：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为824＝12.(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有()A.12种 B.24种C.36种 D.48种解析：选B.因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3！种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有3！×2×2＝24(种)不同的排列方式.3.(2024·全国甲卷)(13＋x)10的展开式中，各项系数中的最大值为解析：(13＋x)10的展开式的通项公式为Tr＋1＝C10r·1310－rxr(r＝0，1，2，…，10).若Tr＋1项的系数最大，则C10r(13)10－r≥C10r－1(13)11－r，答案：54.(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种(用数字作答).解析：(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有C41C41＝(2)当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C41C42＝②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有C42C41＝综上所述：不同的选课方案共有16＋24＋24＝64(种).答案：64考点1排列与组合问题解决排列、组合问题的一般过程(1)认真审题，弄清楚要做什么事情；(2)要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素.(1)(2025·安徽蚌埠模拟)2025年春节，国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球，更是于2月18日登顶全球动画榜.甲、乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘庄、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则不同的安排方法有()A.120种 B.150种C.180种 D.300种解析：选B.将五位同学分成三组，各组人数分别为1，1，3或1，2，2.当各组人数为1，1，3时，共有C51C41C33A当各组人数为1，2，2时，共有C52C32C11A所以不同的安排方法有60＋90＝150(种).(2)(多选)(2025·福建泉州二模)某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是()A.从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有56种不同的选法B.从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有12种不同的选法C.将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320种D.8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有356种排法解析：选AC.对于A选项，从8个人中选2人，1人做正组长，1人做副组长选法共有A82＝56(种)，故A对于B选项，从8个人中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人选法共有A51A31＝15(种)对于C选项，将3个女生捆绑在一起，形成一个大“元素”，与5个男生一起排序，由捆绑法可知，不同的排法种数为A33A66＝4320(种)对于D选项，8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，由倍缩法可知，不同的排法种数为A88A55＝336(种)[规律方法]排列、组合问题的求解方法与技巧(1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题先整体后局部；(8)正难则反，等价转化.对点练1.(1)(2025·河北石家庄模拟)某班有A，B，C，D，E五名同学要排成一排进行拍照，其中B同学不站在两端，C，D两名同学相邻，则不同的排列方式种数为()A.12 B.24C.36 D.48解析：选B.根据题意，因为C，D两名同学相邻，所以有A22种，又因为B同学不站在两端，所以有A21种，其他同学(C，D看做一个整体)进行排列有A33种(2)(2025·河南郑州模拟)已知某校包含甲、乙、丙在内的7名同学参加了某次数学竞赛，并包揽了前7名(排名无并列).若甲、乙、丙中的两人占据前两名，且丙不是最后两名，则这7名同学获奖的名次情况共有()A.524种 B.564种C.624种 D.664种解析：选C.若甲、乙占据前两名，则所有的情况有A22C31A若丙在前两名，则从甲、乙中选1人和丙排在前2名，故所有的情况有C21A22A故共有144＋480＝624(种).考点2二项式定理1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b1＋…＋Cnkan－kbk＋…＋Cn(2)通项：Tk＋1＝Cnkan－kbk，它表示展开式的第k＋1(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数Cnk(k＝0，1，2，…，n)2.二项式系数的性质(1)(多选)(2025·江西上饶二模)若(x＋2)(x－1)8＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋a3(x＋1)3＋…＋a9(x＋1)9，则下列结论正确的是()A.a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2B.a7＝96C.a0＋2a1＋22a2＋23a3＋…＋29a9＝4D.a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9＝－15解析：选BD.对于A，令x＝－1，得a0＝28＝256；令x＝0，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2，因此a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2－a0＝－254，A错误；对于B，(x＋2)(x－1)8＝[(x＋1)＋1][(x＋1)－2]8，因此a7＝C82×(－2)2＋C81×(－2)＝96对于C，令x＝1，得a0＋2a1＋22a2＋23a3＋…＋29a9＝0，C错误；对于D，原等式两边求导得(x－1)8＋8(x＋2)(x－1)7＝a1＋2a2(x＋1)＋3a3(x＋1)2＋…＋9a9(x＋1)8，令x＝0，得a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9＝(－1)8＋8×2×(－1)7＝－15，D正确.(2)(2025·山东菏泽一模)若n是数据1，3，2，2，9，3，3，10的第75百分位数，则(x＋y)(2x－y)n展开式中x4y3的系数为.解析：已知数据从小到大排列为：1，2，2，3，3，3，9，10，共8个，8×75％＝6，第6个数是3，第7个数是9，3+92＝6，所以n＝6x＋y2x－y6展开式中x4y3的系数为23C63×(－1)3＋24C答案：80[规律方法]关于二项式定理及其应用(1)准确写出并化简展开式的通项公式解决特定项问题，对于三项n次式或三项式与二项n次式的组合式，一是用组合的方法生成特定项，二是写出其中的二项展开式的通项公式，再与三项式相乘生成特定项.(2)利用赋值法解决系数和(差)的问题，观察系数的特征后灵活赋值，如－1，1，12等(3)注意二项式系数的性质在解题中的应用.对点练2.(1)(多选)(2025·广东广州一模)已知在(x＋124x)n的展开式中，设前3项的系数分别为a，b，c，若a＋c＝2b，则下列结论正确的是A.n＝6B.展开式的中间项为358C.展开式中有4项有理项D.展开式中系数最大项为第3项和第4项解析：选BD.∵(x＋124x)n展开式的通项为Tr＋1＝12rCnrx2n－由于前3项的系数为a，b，c，且a＋c＝2b，∴2×12Cn1＝120Cn0＋122Cn2，整理可得n2－9n＋8＝0，解得n(x＋124x)8展开式的通项为Tr＋1＝12rC8rx16－3则展开式的中间项为T5＝116C84x＝358x令16－3r4∈Z，0≤r≤8且r∈N，所以r＝0或r＝4或则当r＝0，4，8时为有理项，共3项，故C错误；由12rC8r≥1故展开式中系数最大项为第3项和第4项，故D正确.(2)(2025·湖北武汉一模)已知在(x－2x)n，n∈N的展开式中，有且只有第4项的二项式系数最大，则展开式中x3的系数为解析：依题意可知n＝6，(x－2x)6的展开式通项为Tr＋1＝C6rx6－r(－2x)r＝C6r(－2)rx6－32r(r＝0，1，令6－32r＝3，则r＝2，故x3的系数为C62答案：60考点3概率1.古典概型的概率公式P(A)＝事件A2.条件概率公式设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，则P(B｜A)＝P(3.全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，有P(B)＝∑i=1nP(Ai)P(B｜A角度1古典概型(2025·河南焦作二模)为了抒写乡村发展故事、展望乡村振兴图景、演绎民众身边日常、唱出百姓幸福心声，某地组织了2025年“美丽乡村”节目汇演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，则歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出的概率为()A.16 B.C.110 D.解析：选A.因为歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出，有A53A22＝120(种)排法，又六个节目演出，共有A66＝720(种)排法，则所求概率为P角度2条件概率与全概率(1)(2025·黑龙江齐齐哈尔二模)已知P(A)＝0.4，PA｜B＝0.3，PA｜B＝0.8，则P(B)＝(A.0.2 B.0.375C.0.75 D.0.8解析：选A.因为P(A)＝PABPB＋PABP(B)，所以0.4＝0.3×1－P(B)＋0.8×P(B)，解得P(2)(多选)(2025·安徽马鞍山一模)甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球.整个取球过程分为两步：①先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件A1为“取出的是红球”，事件A2为“取出的是白球”；②再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则()A.PBA1＝512 B.PC.P(B)＝1127 D.P(C)＝解析：选AD.由题意知P(A1)＝46＝23，P(A2)＝26P(B｜A1)＝C62C92＝512，P(B｜A2)＝C52C92＝518，P(C｜A1)＝C61CP(B)＝P(A1)P(B｜A1)＋P(A2)P(B｜A2)＝23×512＋13×5P(C)＝P(A1)P(C｜A1)＋P(A2)P(C｜A2)＝23×12＋13×5[规律方法](1)解条件概率问题的三种方法定义法先求P(A)和P(AB)，再由P(B｜A)＝P(AB)P(A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求A包含的基本事件个数n(A)，再求AB所包含的基本事件个数n(AB)，得P(B｜A)＝n缩样法缩小基本事件集合的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简(2)应用全概率公式的思路①将一个复杂事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)；②求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生的条件下的概率P(B｜Ai)；③代入全概率公式计算.对点练3.(1)(2025·广东佛山二模)学校举办篮球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支最强的球队被分在不同组的概率为()A.15 B.C.35 D.解析：选C.由题意可知，两支最强的球队被分在不同组的分组组数为C21C42，所有的分组组数为C63，(2)(2025·山东济南模拟)现有5种颜色的筷子各一双，从中任取两根筷子，若已知取到的筷子中有红色的，则两根筷子都是红色的概率为()A.15 B.C.113 D.解析：选D.设事件M为“两根筷子都是红色的”，则PM＝1C102设事件N为“取到的筷子中有红色的”，则PN＝1－C82C所求即为PM｜N＝PMNPN(3)长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有15的学生每天玩手机超过1h，这些人近视率约为12，其余学生的近视率约为38，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是(A.15 B.C.25 D.解析：选C.设事件A为“任意调查一名学生，每天玩手机超过1h”，事件B为“任意调查一名学生，该学生近视”，则P(A)＝15，P(B｜A)＝12，所以P(A)＝1－P(A)＝45，P(B｜A)＝38，则P(B)＝P(A)P(B｜A)＋P(B｜A)P(A)＝15×12＋[课下巩固检测练(三十三)]计数原理与概率(单选题、填空题每题5分，多选题每题6分)一、单选题1.(2024·北京高考)在x－x4的展开式中，x3的系数为A.6 B.－6C.12 D.－12解析：选A.x－x4的二项展开式为Tr＋1＝C4rx4－r·－xr＝C4r(－1)rx4－r2(r＝0，1，2，3，4)，令4－r2.某同学忘记单词“succeed”的字母顺序，但是记得前两个字母为“su”，后两个字母为“ed”，则该同学能写对的概率为()A.15 B.C.13 D.解析：选C.因为单词succeed中间三个字母cce的排列有A31＝3(种)排法，所以该同学能写对的概率为3.(2025·四川攀枝花模拟)男、女各3名同学排成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一性别的两名同学不相邻，则不同的排法种数为()A.36 B.72C.144 D.288解析：选B.若第一排有2名男生，1名女生，则第一排女生只能站中间，第二排男生只能站中间，不同的排法种数为C32A22C31A22＝36；同理可得根据分类加法计数原理可知，不同的排法种数为36＋36＝72.4.(2025·辽宁沈阳二模)在1－x1＋2x5的展开式中，A.－40 B.－20C.20 D.40解析：选D.1－x1+2x5＝1+2x5的通项为Tr＋1＝C5r2xr(r∈{0，1，2，3所以x3的系数是1×C5323＋(－1)×C5222＝80－5.(2025·湖南岳阳一模)甲、乙两人参加一项户外挑战赛，该挑战赛设置了多道关卡，已知两人是否通过某道关卡是相互独立的，且两人中至少有一人通过当前关卡，才有资格同时进入下一关挑战，否则挑战结束.已知在第一关中甲、乙两人通过的概率分别为35，310，若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率为(A.712 B.C.23 D.解析：选D.在第一关中甲、乙两人通过的事件分别为A，B，两人有资格挑战第二关的事件为M，则P(A)＝35，P(B)＝310，P(M)＝1－P(AB)＝1－(1－35)(1－310)＝1825，P(AM)＝P所以若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率P(A｜M)＝P(AM)P(6.(2025·吉林延边一模)编号为A，B，C，D，E的5种蔬菜种在如图所示的五块实验田里，每块只能种一种蔬菜，要求A品种不能种在1，2试验田里，B品种必须与A品种在相邻的两块田里，则不同的种植方法种数为()A.24 B.30C.36 D.54解析：选B.当A种在4号田时，B只能种在3号，其余三种蔬菜在三个位置全排列，共有A33＝6(种)当A种在5号田时，结果相同，也有6种；当A种在3号田时，B有3种结果，余下的三种蔬菜在三个位置全排列，有3A33＝18(种)根据分类计数原理，共有6＋6＋18＝30(种)结果.7.(2025·辽宁沈阳一模)若Cn1x＋Cn2x2＋…＋Cnnxn能被5整除，则xA.x＝2，n＝6 B.x＝4，n＝6C.x＝8，n＝4 D.x＝14，n＝4解析：选C.依题意，Cn1x＋Cn2x2＋…＋Cnnxn＝Cn0＋Cn1x＋Cn2x2＋…＋Cnn对于A，x＝2，n＝6，36－1＝(33－1)(33＋1)＝26×28，不能被5整除，A不是；对于B，x＝4，n＝6，56－1，不能被5整除，B不是；对于C，x＝8，n＝4，94－1＝(92－1)(92＋1)＝80×82，能被5整除，C是；对于D，x＝14，n＝4，154－1＝(152－1)(152＋1)＝224×226，不能被5整除，D不是.8.(2025·陕西咸阳二模)已知甲箱中有3个白色乒乓球和4个黄色乒乓球，乙箱中有4个白色乒乓球和3个黄色乒乓球.先从甲箱中随机取出1球放入乙箱中，以A1，A2分别表示由甲箱中取出的是白球和黄球，再从乙箱中随机取出1球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是()A.A1，A2互斥B.PB｜AC.PA2BD.P(B)＝31解析：选C.对于A中，由A1，A2分别表示甲箱中取出的是白球和黄球，因为每次只取1个球，所以A1，A2是互斥的事件，所以A正确；对于B中，由题意，可得PA1＝37，PA2＝47，PB｜A1对于C中，由PB｜A2＝48，可得PA2B＝PA2·PB｜A2＝对于D中，由P(B)＝PA1B＋PA2B＝37×58＋47×4二、多选题9.已知(2x－5)2025＝a0＋a1x－2＋a2(x－2)2＋…＋a2025(x－2)2025，则下列结论成立的是(A.a0＋a1＋…＋a2025＝1B.22024a0＋22023a1＋…＋2a2023＋a2024＝5×C.a0－a1＋a2－a3…－a2025＝32025D.a1＋2a2＋3a3＋…＋2025a2025＝4050解析：选AD.令x＝3，得12025＝a0＋a1＋…＋a2025，即a0＋a1＋…＋a2025＝1，A正确.令x－2＝t，则原等式变形为(2t－1)2025＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a2025t2025，由二项式定理得，a2025＝C2025022025＝2令t＝12，得0＝a0＋a12＋a222＋等式两侧同乘22024，得22024a0＋22023a1＋…＋2a2023＋a2024＋a2025所以22024a0＋22023a1＋…＋2a2023＋a2024＝－a20252＝－22024令x＝1，得(－3)2025＝a0－a1＋a2－a3…－a2025，故a0－a1＋a2－a3…－a2025＝－32025，C错误.对等式(2t－1)2025＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a2025t2025两侧同时求导函数得，4050(2t－1)2024＝a1＋2a2t＋3a3t2＋…＋2025a2025t2024，令t＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋2025a2025＝4050，D正确.10.某电影院的一个播放厅的座位如图所示(标黑表示该座位的票已被购买)，甲、乙两人打算购买两张该播放厅的票，且甲、乙不坐前两排，则()A.若甲、乙左右相邻，则购票的情况共有54种B.若甲、乙不在同一列，则购票的情况共有1154种C.若甲、乙前后相邻，则购票的情况共有21种D.若甲、乙分坐于银幕中心线的两侧，且不坐同一排，则购票的情况共有508种解析：选ABD.若甲、乙左右相邻，可选择三至七排，(10＋4＋3＋6＋4)A22＝54(种)，所以一共有54种购票情况，故A甲、乙在同一列的情况共有A32＋A52＋A52＋A32＋A22＋A则甲、乙不在同一列的情况有A362－106＝1154(种)，所以一共有1154种购票情况，故B若甲、乙前后相邻，先选座位，有2＋4＋4＋1＋2＋4＋4＝21(种)，再考虑甲乙顺序，有A22＝2(种)，所以一共有42种购票情况，故C银幕中心线左侧有18个座位，右侧有18个座位，甲、乙分坐于两侧，有A22×18×18＝648(种)甲、乙分坐于两侧且坐同一排(按每一排考虑)，有A22(5×6＋3×3＋3×2＋4×4＋3×3)＝140(种)所以甲、乙分坐于两侧，且不坐同一排的购票情况共有648－140＝508(种)，故D正确.11.(2024·安阳模拟)甲是某公司的技术研发人员，他所在的小组负责某个项目，该项目由A，B，C三个工序组成，甲只负责其中一个工序，且甲负责工序A，B，C的概率分别为0.5，0.3，0.2，当他负责工序A，B，C时，该项目达标的概率分别为0.6，0.8，0.7，则下列结论正确的是()A.该项目达标的概率为0.68B.若甲不负责工序C，则该项目达标的概率为0.54C.若该项目达标，则甲负责工序A的概率为15D.若该项目未达标，则甲负责工序A的概率为5解析：选ACD.记“甲负责工序A”为事件M1，“甲负责工序B”为事件M2，“甲负责工序C”为事件M3，“该项目达标”为事件N.对于选项A，该项目达标的概率为P(N)＝P(M1)P(N｜M1)＋P(M2)P(N｜M2)＋P(M3)P(N｜M3)＝0.5×0.6＋0.3×0.8＋0.2×0.7＝0.68，故选项A正确；对于选项B，P(N｜(M1∪M2))＝P＝0.5×0.6+0对于选项C，P(M1｜N)＝P(M1)P(NM1对于选项D，P(M1｜N)＝P(M1)P(N｜M三、填空题12.(2025·陕西咸阳二模)在2x3－ax6的展开式中，x2项的系数为60解析：展开式的通项公式Tk＋1＝C6k2x36－k－axk＝(－a)k×2令18－4k＝2，可得k＝4，则x2项的系数为(－a)4×26－4×C64＝4a4×15＝60，可得a＝±答案：±113.(2024·天津高考)某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为.解析：法一(列举法)：给这5个项目分别编号为A，B，C，D，E，从五个活动中选三个的情况有：ABC，ABD，ABE