小学数学五年级下册“分数除以整数”运算律深度探究教案

小学数学五年级下册“分数除以整数”运算律深度探究教案

一、教学背景与设计理念

（一）教学内容解析

本课内容属于小学数学五年级下册“分数除法”单元的起始课，是学生从整数、小数四则运算跨入分数除法运算的关键一步。【基础】它建立在学生已经掌握了整数除法的意义、运算律（如商不变规律、除法性质），以及分数乘法、倒数概念的基础上。本节课的核心任务并非仅仅是教会学生“分数除以整数”的计算法则（即乘除数的倒数），而是引导学生在理解算理的基础上，自主探究并验证这一法则与整数运算律之间的内在一致性，从而将分数除法纳入到已有的运算知识体系中，实现知识的迁移与重构。【重要】教材通常呈现为“把一张纸的4/5平均分成2份，每份是这张纸的几分之几”的情境，本设计将在此基础上，将运算律的探究作为暗线贯穿始终，最终明线化，帮助学生构建更为完整的“数的运算”知识网络。

（二）学生学情分析

五年级学生已经具备了一定的抽象逻辑思维能力，能够进行简单的演绎推理。他们对整数运算律（如乘法交换律、结合律、分配律，除法商不变性质）已经熟练掌握并能够运用。【基础】然而，当数的范围从整数扩展到分数时，学生可能会产生认知冲突：整数除法中的规律在分数除法中还适用吗？他们容易陷入机械记忆法则的误区，即只知“除号变乘号，除数取倒数”，而不知其所以然，更难以理解其与整数除法的本质联系。因此，本设计的关键在于激活学生已有的整数运算律经验，引导他们通过猜想、验证、归纳，将新知识（分数除以整数）顺利纳入旧知识（整数运算体系）的框架中，从而深刻理解运算的一致性。【核心概念】

（三）设计理念与跨学科视野

本设计秉持“为理解而教”的理念，强调过程性探究和意义建构。借鉴数学史中数学家们如何统一运算规则的思想脉络，引导学生经历从特殊到一般、从直观到抽象的探究过程。同时，融入工程思维（解决问题的最优路径选择）和语言学科的逻辑表达训练，【跨学科渗透】鼓励学生在探究过程中清晰、严谨地阐述自己的思路和发现。课堂设计的核心是创设一个“运算律是否依然有效”的探究场域，让学生像数学家一样去发现、去论证，最终不仅习得知识，更锤炼数学思维品质。

二、教学目标

（一）知识与技能目标

【基础】理解并掌握分数除以整数（0除外）的计算方法：分数除以整数（0除外）等于分数乘这个整数的倒数。

能够正确、熟练地进行分数除以整数的计算。

【重要】理解分数除以整数与整数除法的内在联系，初步体会运算律在分数范围内仍然适用。

（二）过程与方法目标

经历猜想、验证、归纳的数学探究过程，通过折纸、画图、计算等多种策略，探索分数除以整数的算理与算法。

【核心概念】在对比、分析整数除法和分数除法的过程中，发展类比、推理和抽象概括能力，渗透转化思想。

（三）情感、态度与价值观目标

在探究活动中体验数学知识的普遍联系，增强学习数学的兴趣和信心。

养成严谨求实的科学态度和敢于质疑、勇于探索的理性精神。

【热点】通过了解古代数学家对分数运算的贡献，感受数学文化的魅力。

三、教学重难点

（一）教学重点

理解并掌握分数除以整数（0除外）的计算法则：除以一个不等于0的整数，等于乘这个整数的倒数。

（二）教学难点

理解分数除以整数（整数不为0）的算理，即为什么可以转化为乘整数的倒数。

【难点】探究并理解分数除以整数的运算与整数运算律（特别是除法性质）之间的内在一致性与逻辑关联。

四、教学准备

多媒体课件（包含折纸动画、例题演示、拓展练习），长方形白纸若干张，彩色笔。

五、教学实施过程

（一）激活经验，引入猜想

1.复习铺垫，唤醒记忆

课堂伊始，教师通过一组口算题，引导学生回顾整数除法的相关知识。

（1）计算：120÷30=12÷3=4÷2=400÷80=

（2）思考：在整数除法中，我们学过哪些重要的性质或规律？（引导学生回答：商不变的规律，即被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。）

【基础】【高频考点】教师进一步追问：“谁能用字母表示商不变的规律？”学生回答：a÷b=(a×n)÷(b×n)(n≠0)；a÷b=(a÷n)÷(b÷n)(n≠0)。

（3）口算热身：4/5÷2=？如果让你来计算这个分数除法，你会怎么想？暂时不会没关系，这就是我们今天要探究的内容。

2.创设情境，引出问题

教师利用多媒体展示生活情境：“同学们，学校手工小组的同学准备用一张大纸的4/5来制作两个完全一样的风车，每个风车需要用这张纸的几分之几呢？”

【重要】引导学生列出算式：4/5÷2。

学生根据情境能够列出算式，但对于计算结果可能众说纷纭，有的凭直觉说2/5，有的可能不知道怎么算。教师此时不做评判，而是抛出核心问题：“4/5÷2到底等于多少？我们能否用已经学过的知识或方法来验证一下？更重要的是，这个新运算和我们熟悉的整数除法，它们背后的‘规矩’是一样的吗？”

3.基于经验，提出猜想

教师引导学生进行类比猜想：“同学们，当我们从整数世界走进分数世界时，许多老朋友依然陪伴着我们。想想看，整数除法里有商不变的规律，分数除以整数这个新运算里，会不会也隐藏着类似的规律呢？比如，4/5÷2，是否等于(4/5×3)÷(2×3)？我们能否借助某些方法来证明或者推翻它？”【核心概念】这个问题将学生的思维从单纯的计算引向了对运算本质规律的思考，激发了他们探究的欲望。

（二）多元探究，验证猜想

1.直观操作，初探算理

（1）折一折，画一画。

学生以小组为单位，拿出准备好的长方形纸，将其看作单位“1”。

【重要】任务一：请用折纸或画图的方式表示出4/5÷2。

学生开始动手操作。大部分学生可能会这样操作：将一张纸平均分成5份，涂出其中的4份，得到4/5。然后，将这4份平均分成2份。通过观察，学生发现，每一份是2个1/5，即2/5。

教师巡视指导，选取代表性作品进行展示。

（2）说一说，议一议。

请小组代表上台，利用投影仪边演示边讲解：

“我们是把整个长方形看作‘1’，先把它平均分成5份，取其中4份，这就是4/5。然后把这4份平均分成2份，每份就是2份，也就是2/5。所以4/5÷2=2/5。”

【基础】教师引导全班学生观察这一过程，并总结：这种方法其实是在做“分子除以整数”。当分子能被整数整除时，我们可以用分子除以整数的商作分子，分母不变。即a/b÷c=(a÷c)/b(a是c的倍数)。

2.数形结合，深化理解

（1）挑战新问题。

教师出示新问题：“如果不是4/5，而是5/6÷3，还能用刚才的方法吗？大家试试看。”

学生尝试后发现，分子5不能被3整除，无法直接得到整数结果，产生了认知冲突。

（2）转化思路，另辟蹊径。

教师引导学生：“当一条路走不通时，我们就要寻找新的路径。想想看，除法除了平均分，还有什么含义？它和乘法是什么关系？”

【重要】【思想方法】教师启发学生：“我们能不能把除法转化成我们更熟悉的乘法来做呢？大家再拿起手中的纸，试着把5/6平均分成3份，看看一份是多少。”

学生再次操作。这次，可能会有学生想出不同的方法：

方法二：把5/6的每一份（即1/6）再平均分成3份，这样整个单位“1”就被平均分成了5×3=18份，原来的5份变成了15个小份，现在取其中的一小份，就是5/6÷3=5/(6×3)=5/18。

教师结合学生的操作，用课件动态演示这个过程：将表示5/6的阴影部分，每一小份（1/6）再细分成3份，整个图形就被分成了6×3=18份，原来的5份现在变成了5×3=15个更小的份，但我们取的不是15份，而是1份，所以是5/18。引导学生理解：5/6÷3=5/6×1/3=5/18。

（3）对比归纳，初识法则。

教师引导学生对比两种方法：4/5÷2=4÷2/5和5/6÷3=5/6×1/3。

提问：“观察这两个算式，你有什么发现？分数除以整数，在不能直接用分子整除的情况下，可以怎么算？”

学生讨论后初步归纳：分数除以一个整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。

教师板书这一初步结论，并强调“0除外”的原因。

3.运算律视角，追根溯源

（1）提出深层问题。

【核心概念】【难点】教师提出本节课最具挑战性的问题：“同学们，我们通过直观操作找到了计算方法。但数学不仅要知其然，更要知其所以然。我们刚才猜想整数除法中的规律可能在分数除法中也适用，现在就来验证一下。比如，我们刚学的‘除以一个整数等于乘它的倒数’，这个法则和整数除法的性质有没有关系呢？它是不是整数除法性质在分数世界里的另一种表现？”

（2）以商不变规律为工具进行验证。

教师引导学生回到第一个例题4/5÷2。

“我们可以利用整数除法的‘商不变规律’来试一试。我们把被除数4/5和除数2都乘2的倒数，也就是1/2，看看商变不变。”

推导过程：

4/5÷2

=(4/5×1/2)÷(2×1/2)（依据：商不变规律，两数同乘1/2）

=(4/5×1/2)÷1

=4/5×1/2

=2/5

【重要】教师边板书边讲解：“看，利用我们熟悉的商不变规律，我们竟然推导出了和刚才完全一样的算式和结果！这就证明了，分数除以整数的法则，并不是凭空而来的，它和我们整数除法里的商不变规律是高度统一的。”

（3）拓展验证，巩固认知。

教师再出示一个例子：7/8÷5。让学生尝试用商不变规律来推导，即被除数和除数同时乘除数的倒数1/5。

学生独立完成计算：7/8÷5=(7/8×1/5)÷(5×1/5)=(7/8×1/5)÷1=7/8×1/5=7/40。

通过亲身实践，学生深刻体会到，无论分子能否被除数整除，利用商不变规律都能完美地将分数除以整数转化为分数乘法。

（4）回顾除法性质，建立完整联系。

教师进一步引导：“除了商不变规律，整数除法还有一个重要的性质：a÷b÷c=a÷(b×c)。大家大胆猜测一下，这个性质在分数除以整数里成立吗？”

以4/5÷2为例，假设有4/5÷2，我们可以理解为4/5÷1÷2（除以1不影响结果）。那么，它是否等于4/5÷(1×2)=4/5÷2呢？这本身是一个循环论证。教师可以引导学生换一个角度：将4/5÷2看作4/5÷1÷2，如果我们要将其转化为乘法，是不是每一步都是乘倒数？

即：4/5÷1÷2=4/5×1×1/2=4/5×1/2。这与直接利用法则得到的结果一致。这从一个侧面说明，除法性质所蕴含的“连续除以几个数等于除以这几个数的积”的逻辑，与“除以一个数等于乘它的倒数”的转化思想是相通的，它们共同构成了除法运算的统一体系。

【热点】通过这样层层递进的探究，学生不仅学会了算法，更深刻地理解了算法背后的算理，以及分数运算与整数运算之间血脉相连的关系。

（三）巩固练习，内化新知

1.基础性练习（面向全体，巩固算法）

【高频考点】计算下列各题，并说出你的计算过程。

8/9÷4=6/7÷3=5/12÷5=11/15÷22=

学生独立完成，指名板演，集体订正。重点强调计算过程中的约分和“0除外”的注意事项。

2.辨析性练习（深化理解，辨析概念）

下面的计算对吗？把不对的改正过来。

（1）4/7÷2=4/7×2=8/7（）

（2）9/10÷3=10/9×3=10/3（）

（3）5/8÷5=5/8×1/5=1/8（）

让学生用手势判断对错，并说明理由。第（1）题错在除法变乘法时，忘记将除数取倒数；第（2）题错在被除数也变成了倒数；第（3）题正确。通过辨析，强化对法则的准确记忆。

3.应用性练习（解决问题，提升能力）

【重要】解决问题：

（1）一辆汽车行驶9千米耗油3/5升，平均每千米耗油多少升？

（2）把一根长7/8米的铁丝平均截成5段，每段长多少米？

引导学生分析数量关系，列式计算，并解释每一步的含义。第（1）题是求单一量，用除法；第（2）题是平均分，也用除法。将所学知识与实际生活联系起来，提高应用意识。

4.拓展性练习（挑战思维，探究规律）

【核心概念】【难点】不计算，直接在○里填上“>”、“<”或“=”，并说说你是怎样想的。

（1）4/5÷3○4/5

（2）7/8÷1○7/8

（3）11/12÷0.5○11/12（这里0.5可以看作1/2，即除以一个小于1的数）

（4）a÷2/3○a(a>0)

通过这组练习，引导学生发现规律：一个数（0除外）除以一个大于1的数，商小于这个数；除以1，商等于这个数；除以一个小于1的数，商大于这个数。这不仅巩固了分数除以整数的计算，更将学生对除法运算的理解提升到了一个新的高度，并与小数除法的规律相呼应，进一步体现了运算的一致性。

（四）回顾反思，构建体系

1.课堂小结，梳理收获

教师引导学生回顾本节课的探究历程：“同学们，回想一下，今天我们是如何学习分数除以整数的？我们从生活情境出发，通过折纸画图找到了计算的方法；当我们遇到分子不能整除的新问题时，我们又想到了转化，将除法转化为乘法；最后，我们更深入地思考，发现这个新的计算法则竟然和我们熟悉的整数除法性质（商不变规律）是相通的。这说明了什么？”

学生畅谈收获，教师总结升华：“这说明数学知识之间不是孤立的，而是有着紧密的内在联系。我们学习新知识，就是不断把它和旧知识联系起来，把它变成我们已有知识体系的一部分。这种‘转化’的数学思想，是我们解决数学问题最重要的法宝之一。”

2.知识梳理，构建网络

教师引导学生在脑中或本子上构建知识网络图：

以“数的运算”为核心，分出“整数运算”和“分数运算”两个分支。在整数运算分支下，列出“除法意义”、“商不变规律”、“除法性质”等。在分数运算分支下，列出“分数除以整数”。

然后，用彩色的线将“分数除以整数”的法则（乘倒数）与“整数运算”中的“商不变规律”连接起来，并标注“转化思想”。

【重要】通过这样的方式，帮助学生将零散的知识点串联成线，编织成网，形成结构化的认知。

3.文化渗透，拓展视野

简要介绍中国古代数学著作《九章算术》中关于分数运算的记载，书中已经系统总结了分数的加减乘除法则，尤其是“分数除法，将除数分子分母颠倒与被除数相乘”的规则，比欧洲早了约1400年。以此激发学生的民族自豪感，感受数学文化的源远流长。

（五）分层作业，发展个性

1.基础性作业（必做）

完成练习册相关习题，要求书写规范，计算准