2026年7月天津市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03（解析版）

1/22026年7月天津市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷03本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：样本数据的标准差其中为样本平均数柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式，其中，S分别为上、下底面面积，h为高锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径第Ⅰ卷（选择题共45分）一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，则中的元素个数是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】求得，再求出，即可得答案．【详解】因为，所以，共8个元素．2．已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意，问题转化为两个集合的包含关系，可求实数的取值范围．【详解】非空集合，是的充分不必要条件，则有集合是集合的真子集，所以，即实数的取值范围为．3．已知不等式的解集是，则的值是（

）A．1 B． C．0 D．2【答案】C【详解】由不等式的解集是，所以是方程的两根，所以，解得，所以．4．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】根据函数的奇偶性直接计算得到答案．【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，，所以．5．（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】,,所以6．（

）A．e B． C． D．【答案】C【分析】利用指数、对数的运算法则计算各项，再合并求解．【详解】，，，，，故C正确．故选：C．7．已知，，，则、、的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系．【详解】因为为第二象限角，所以，，幂函数在上为减函数，所以，对数函数在上为增函数，所以，故．故选：B．8．如图，已知，，，，则下列等式中成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，即，所以．9．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式化简得，最后利用余弦定理即可得到答案．【详解】由正弦定理得，即，即，即，又因为，所以，显然，所以，又因为为三角形内角，所以，由余弦定理得，即，解得（负舍）．10．当时，曲线与的交点个数为（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】B【分析】在同一坐标系中画出两函数图象即可得．【详解】在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有7个交点．11．已知函数的零点分别为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先通过导数判断函数单调性，再代入特殊点（如）判断函数值符号，结合单调性确定零点所在区间，最后比较区间得出大小关系即可．【详解】已知的零点为，则，因为对于任意实数，都有，所以，所以函数在定义域上是单调递增的，则，又因为单调递增，且，所以其零点必定在的左侧，即．已知的零点为，因为函数的定义域为，且，因为，所以，则，所以函数在定义域上是单调递增的，则，又因为单调递增，且，所以其零点必定在的左侧，又因为定义域要求，所以．已知的零点为，则，因为对于任意实数，都有，所以，即，所以函数在定义域上是单调递增的，则，因为单调递增且，所以是函数的唯一零点，故．由以上知，，，故．12．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】连接．因为，所以异面直线与所成的角即为与所成的角，即．因为，所以，，，所以．13．气象学上判定春季进入夏季的标准为：当某地连续5天的日平均气温达到或超过时，便将这5天中的第一天定为夏季的开始．已知甲、乙、丙3个地区某连续5天日均气温的数据特征如下：甲地：中位数是27，平均数是26．乙地：最高气温31，平均数是26，方差是10．4．丙地：中位数是24，众数是22．则由此判断一定进入夏季的地区是（

）A．乙地 B．丙地 C．甲地，乙地 D．乙地，丙地【答案】B【详解】设5天气温从小到大排列为．甲地：中位数，平均数．因中位数大于平均数，所以必有，可构造，不一定入夏，如21,26,27,28,28．乙地：5天平均气温为26，总和为，方差，故气温与均值差的平方和为．假设存在一天气温为21（低于22），与均值差为，平方为25，最高气温31,剩余天平方和只需，又因为．所以完全可以构造出五个数满足总和130,方差10．4,最大为31的数值，因此乙地不能保证每天气温，不一定进入夏季，如21,25,26,27,31．丙地：中位数，众数，，故；众数为，则，5天均，一定入夏．14．甲、乙两名选手进行围棋比赛，已知每局比赛结果只有胜负两种，且甲每局获胜的概率为若比赛采用局胜制先胜局者赢得比赛，则甲赢得比赛的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合已知条件，对甲最终获胜的情况进行分类，进而即可得到答案．【详解】由题意可知，甲最终获胜的情况：胜胜，胜负胜，负胜胜，故甲获胜的概率为：．15．一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球中至少有一个红球”，事件“2个球中至多有一个红球”，事件“2个都不是红球”，则（

）A．与互斥 B．与对立C．与相互独立 D．【答案】D【分析】由和互斥事件、对立事件定义即可判断AB；由即可判断C；由交事件定义计算即可判断D．【详解】将2个红球、2个绿球和2个蓝球分别记为，则从袋中一次性随机取出2个球的样本空间为共15个样本点，由题意共3个样本点，共9个样本点，共14个样本点，共6个样本点，所以，故A与D不互斥，故A错误；，故B与C不互斥，故B错误；因为，一个样本点，所以，即，故C错误；，故D正确．故选：D第Ⅱ卷（非选择题共55分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上．）16．函数，的值域为________．【答案】【分析】直接根据正弦函数的单调性判断函数的最大值及最小值，进而可得函数值域．【详解】因为，由正弦函数的性质得：函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数有最小值，当时，函数有最大值．所以函数在上值域为．17．已知向量，，满足，则_____．【答案】【详解】，，因为，所以，解得，因此．18．为了解某校高三学生寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时)，现从该校高三年级随机抽取了部分同学进行调研，在获得这些同学每天平均学习的时间后，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图，则（1）______；（2）若样本中每天学习时间在区间上的同学恰有2人，则共抽取了______位同学调研．【答案】【分析】（1）根据各组数据频率之和为1即可求出图中a的值；（2）利用区间内的频率求样本容量．【详解】（1），解得；（2）设共抽取了位同学调研，则有，解得．故答案为：；19．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______．【答案】2【详解】由余弦定理知：，则：，由余弦定理得：，即，解得或（舍），．20．已知，，，则的最小值为________．【答案】36【分析】有两种解法：一是用其中一个变量表示另一个，代入目标式后通过配凑和基本不等式求最值；二是直接对已知等式两边利用基本不等式，转化为关于乘积的不等式，再解出乘积的最小值．【详解】方法一

由，移项得，显然，所以，由，得，所以，当且仅当，时等号成立，所以的最小值为36．故答案为：．方法二由题意，又，根据基本不等式有，故，所以，解得，即，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为36．故答案为：．三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）21．（本小题满分10分）已知，求(1)；(2)(3)．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1），，代入可得．（2），化简可得，因为，，代入可得．（3），因为，，代入可得．22．（本小题满分10分）已知复数满足．(1)求；(2)若是实系数一元二次方程的一个根，求方程的另一个根和的值．【答案】(1)(2)，．【分析】（1）结合复数模公式，以及复数相等的条件，即可求解；（2）根据已知条件，推得也为实系数一元二次方程的一个根，再结合韦达定理，即可求解．【详解】（1）设，因为，则，故．得，故；（2）因为是实系数一元二次方程的一个根，若，则也为实系数一元二次方程的一个根，故，解得，故．23．（本小题满分10分）如图，长方体中，，点P为的中点．(1)求三棱锥的体积．(2)求证：直线平面；(3)求异面直线与所成角的余弦值；【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据棱锥的体积公式即可求解；（2）由中位线性质可证，然后再根据线面平行的判断定理即可证明；（3）首先证明直线与所成角是或其补角，然后通过勾股定理计算，最后根据余弦定理即可求解．【详解】（1）．（2）设，连接，因，且为长方体，则四边形为正方形，故为线段中点，因点P为的中点，则为的中位线，则，又平面，平面，则平面．（3）连接，由（1）可知，则直线与所成角是或其补角，因，点P为的中点，则，，在中，，在中，，在中，，在中由余弦定理得，，故直线与所成角的余弦值为．24．（本小题满分10分）（，）是由正比例函数和反比例函数相加构成的函数，其图象具有独特的“双勾”形状，被称为“对勾函数”．(1)若，判断函数在上的单调性，并用定义证明；(2)若两个不相等的正数m，n满足，求证：；(3)若，是否存在实数s，t，使得在上的值域是？若存在，求出所有s，t的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)在上单调递增，证明见解析(2)证明见解析(3)不存在，理由见解析【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；（2）由题得，化简得，再利用均值不等式即可证明；（3）先利用反证法假设存在实数s，t，使得在的值域是，再分类讨论，根据单调性列式求解即可．