初中数学九年级下册《位似图形》第一课时教案

初中数学九年级下册《位似图形》第一课时教案

一、教材分析与内容定位

（一）知识体系的坐标定位

位似图形是初中阶段“图形与几何”领域的核心概念之一，隶属于“图形的相似”这一主题。从教材编排的逻辑脉络审视，本节课是在学生系统学习了“图形的相似”、“相似三角形的判定与性质”以及“相似多边形”之后，对相似变换的进一步深化与特殊化研究。它既是全等变换（平移、旋转、轴对称）到相似变换的自然延伸，也是连接静态的相似关系与动态的图形变换的关键桥梁，同时为后续高中学习“平面向量”、“仿射变换”乃至大学“射影几何”埋下了认知的伏笔。

在《义务教育数学课程标准（2022年版）》中，位似图形的要求明确为：“了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。”这意味着本节课的教学不仅需达成对位似概念的“了解”层次，更需引导学生理解其作为图形缩放工具的本质功能，实现从“是什么”到“有什么用”的认知跨越。

（二）核心内容解构

本节课的核心内容可解构为三个层次：

1.概念本质层：位似是一种特殊的相似变换。其“特殊性”体现在两个核心要素上：一是所有对应点所在的直线都经过同一个定点（位似中心）；二是任意一对对应点到位似中心的距离之比等于定值（位似比）。这一定义将图形的形状（相似）与特殊的位置关系（共点直线）有机结合。

2.性质判定层：位似图形具有相似图形的所有性质（对应角相等，对应边成比例）。其独特的性质在于对应点连线共点且成定比。反之，满足“相似”且“对应点连线共点”两个条件的图形即可判定为位似。

3.应用操作层：利用位似的原理，可以精确地、有目的地对一个图形进行放大或缩小操作。这构成了尺规作图、现代制图技术（如CAD）、数字图像处理（如图像缩放）的几何基础。

二、学情分析与教学起点研判

九年级下学期的学生，其认知发展正处在由具体运算向形式运算成熟过渡的关键期，具备了一定的抽象思维、逻辑推理和归纳概括能力。针对“位似图形”这一具体内容，学生的认知起点分析如下：

1.已有知识储备：

1.2.熟练掌握比例、成比例线段的概念与性质。

2.3.深入理解相似多边形的定义、性质与判定方法。

3.4.具备全等变换（平移、旋转、轴对称）的基本知识，初步建立了图形变换的观念。

4.5.拥有一定的尺规作图能力和利用坐标描述图形位置的经验。

6.潜在认知障碍与迷思概念：

1.7.概念混淆：容易将“位似”与一般的“相似”混为一谈，忽视“对应点连线交于一点”这一核心位置特征。

2.8.中心理解片面：可能认为位似中心必须位于图形内部，或必须位于两个图形之间，对位似中心在图形外部、一侧甚至无穷远处的多种情形理解困难。

3.9.“缩放”的操作性理解代替“变换”的结构性理解：学生可能更关注如何“画”出一个放大或缩小的图，而忽略对位似变换内在数学结构（对应关系、比例不变性）的深度把握。

4.10.位似比与相似比的混淆：对位似比（距离之比）与相似比（线段长度之比）的同一性及其几何意义理解不深。

11.学习心理与能力倾向：此阶段学生已不满足于被动接受结论，对具有挑战性、探究性的任务兴趣浓厚，愿意在合作中解决复杂问题。但同时也可能因知识综合性强而产生畏难情绪。因此，教学设计需创设“跳一跳，够得着”的认知阶梯，激发探究欲，并在严谨的数学思维中渗透美感与应用的魅力。

三、教学目标设计（基于核心素养导向）

基于以上分析，确立如下三维整合的教学目标：

（一）知识与技能

1.通过观察、操作、归纳，能准确陈述位似图形与位似中心的概念，并能用数学符号语言进行表述。

2.能理解并阐述位似图形的两个核心特征，能依据定义识别和判断两个图形是否位似。

3.掌握给定位似中心和位似比，利用尺规作图或坐标法将一个图形放大或缩小的基本方法。

（二）过程与方法

1.经历从生活实例抽象出数学概念，再从概念回归解释现象的过程，体会数学建模的思想。

2.在探究位似图形性质与作图方法的活动中，发展观察、猜想、验证、归纳、概括的合情推理与演绎推理能力。

3.通过对比位似与相似、位似与其他图形变换的联系与区别，学习运用比较、类比、分类的数学思想方法构建知识网络。

（三）情感、态度与价值观

1.感受位似变换在现实世界（如摄影、电影放映、地图绘制、显微镜成像）中的广泛应用，体会数学的实用价值与科学价值。

2.在探究与合作中，培养严谨求实的科学态度和勇于探索的创新精神。

3.欣赏位似图形所呈现的和谐、统一的数学美，提升数学审美情趣。

四、教学重点与难点

1.教学重点：位似图形的概念及其核心特征。

2.教学难点：

1.3.对位似概念本质的深度理解，特别是“对应点连线交于同一点”这一位置关系的普遍性（涵盖位似中心在不同位置的各类情形）。

2.4.灵活运用位似原理进行图形放大与缩小的作图，尤其是逆向作图（已知放大图与位似中心求原图）和复杂情境下的作图。

五、教学准备

1.教师准备：

1.2.多媒体课件：包含丰富的位似现象图片（如：同一建筑物在不同距离的照片、显微镜下的细胞图像与实物、卫星地图的缩放）、动态几何软件（如GeoGebra）制作的位似变换交互演示动画。

2.3.探究学案、课堂练习与分层作业设计。

3.4.实物教具：小孔成像演示仪、两个形状相同但大小不同的透明多边形胶片（可叠加演示）。

4.5.几何画板工具（圆规、直尺）。

6.学生准备：复习相似多边形的相关知识，准备直尺、圆规、量角器、方格纸。

六、教学过程实施（核心环节）

第一环节：创设情境，激趣引疑——从“形似”到“位似”的认知冲突（预计时间：8分钟）

活动1：现象观察与初步感知

教师呈现三组图片：

1.组一：两张同一座埃菲尔铁塔的照片，一张近景，一张远景。

2.组二：一个物理小孔成像的光路示意图（蜡烛与倒立火焰的像）。

3.组三：利用投影仪将电脑屏幕上的一个三角形投射到幕布上，形成放大影像的实时画面。

【教师提问】：请同学们观察这三组图形，它们有什么共同点？（形状相同，大小不同——学生易答出“相似”）

【追问】：它们都是一般的相似关系吗？请大家再仔细观察，每一组中的两个图形，它们的“位置”有什么特殊的联系？能否用你的笔比划一下？

（引导学生观察并描述：铁塔的对应点与观察者的眼睛大致在一条线上；小孔成像中，物点、像点与小孔在一条直线上；投影仪中，光源、幻灯片上的点与幕布上的对应点也在一条线上。）

【揭示课题】：这种不仅形状相同、大小成比例，而且所有对应点所在的直线都相交于一点的特殊的相似关系，就是我们今天要深入研究的——位似图形。这个交点，称为位似中心。

【设计意图】：从学生熟悉的、蕴含位似原理的生活与科学现象入手，在“相似”的已有认知上，通过追问制造关于“位置关系”的认知冲突，自然引出“位似”概念。避免直接给出抽象定义，让学生感受到概念的来源与必要性。

第二环节：合作探究，建构概念——解剖“位似”的双重本质（预计时间：20分钟）

活动2：动手操作，归纳特征

任务一：探究共性

学生四人一组，在学案上完成：

1.给出一个△ABC和一个点O。

2.连接OA、OB、OC，分别在射线OA、OB、OC上取点A‘、B’、C‘，使得OA‘/OA=OB’/OB=OC‘/OC=2（或0.5）。

3.连接A‘B’、B‘C’、C‘A’，得到△A‘B’C‘。

4.测量与计算：①∠A与∠A‘，∠B与∠B’，∠C与∠C‘的关系；②边AB与A’B‘，BC与B’C‘，CA与C’A‘的比值；③观察点A与A’、B与B‘、C与C’的连线与点O的关系。

5.小组讨论，用文字语言归纳你们发现的结论。

各小组汇报，教师引导、修正，最终师生共同提炼出位似图形的定义：

如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心。此时，相似比又称为位似比。

任务二：辨析深化

教师利用GeoGebra动态演示：

1.保持△ABC与点O不变，拖动点O的位置（置于三角形内部、边上、外部、甚至远离图形）。

2.改变位似比k的值（k>1放大，0<k<1缩小，k<0？——为后续“异侧位似”埋下伏笔）。

3.改变原图形的形状（四边形、不规则图形）。

【核心讨论】：

1.位似中心一定要在图形内部吗？（不一定，可以在任意位置）

2.位似图形一定是相似图形吗？相似图形一定是位似图形吗？（前者是，后者不是。强调位似是相似的真子集。）

3.位似图形的对应边一定平行吗？在什么情况下不平行？（当位似中心在对应点连线之间时，对应边可能在同一直线上。）

4.位似比k的取值范围是什么？k的正负代表什么几何意义？（k≠0。k>0时，对应点位于位似中心同侧，称为“同侧位似”；k<0时，对应点位于位似中心异侧，称为“异侧位似”，此时图形还关于位似中心成中心对称关系，此为下节课拓展内容。）

【设计意图】：通过“做数学”让学生亲历概念的生成过程。从特殊三角形入手，通过测量、计算等具体操作归纳出共性，建构定义。再利用动态几何软件的强大功能，突破静态思考的限制，通过变式演示，引导学生多角度、动态地理解位似概念的内涵与外延，特别是位似中心位置和位似比正负的多样性，深化对概念本质的理解，有效突破难点。

第三环节：迁移应用，掌握技能——从“识位似”到“画位似”（预计时间：12分钟）

活动3：尺规作图，固化方法

例题：如图，已知四边形ABCD和位似中心O，以O为位似中心，位似比为2:1，作出四边形ABCD的位似图形。

【师生共析】：

1.关键：确定原图形关键点（顶点）的对应点。

2.方法：连接关键点与位似中心，并按其比例延长或截取。

3.步骤：

1.4.连接OA、OB、OC、OD。

2.5.分别在射线OA、OB、OC、OD上（或反向延长线上，根据位似比正负确定方向）取点A‘、B’、C‘、D’，使得OA‘=2OA，OB’=2OB，OC‘=2OC，OD’=2OD。

3.6.顺次连接A‘、B’、C‘、D’。

教师板演规范作图过程，强调“连线、取点、连线”的三步法。随后，学生独立完成一个位似比为1:3的缩动作图练习。

变式挑战：已知位似图形A‘B’C‘D’和位似中心O，以及位似比（假设为2），如何“逆向”作出原图形ABCD？（引导学生理解作图的逆向思维，实质是已知“像”和变换规则求“原像”。）

【设计意图】：将概念理解转化为操作技能。通过清晰的例题示范，提炼出可操作的作图步骤。变式练习的设计，旨在培养学生的逆向思维能力，加深对位似变换“双向性”的理解，使知识掌握更加灵活。

第四环节：纵横联系，体系构建——在知识网络中定位“位似”（预计时间：5分钟）

活动4：思维导图建构

引导学生以“图形的变换”为中央主题，梳理知识脉络：

图形变换

├──全等变换（保距）

│├──平移（方向、距离）

│├──旋转（中心、角度、方向）

│└──轴对称（对称轴）

└──相似变换（保形）

└──位似变换（保形+保共点对应关系）

├──核心：位似中心、位似比

├──性质：是特殊的相似

└──应用：图形的缩放

【提问】：位似变换与旋转、轴对称变换结合，会产生什么？请举例。（例如：将图形以位似中心旋转一定角度后，再进行位似变换，这涉及到更复杂的复合变换，为学有余力的学生提供思考空间。）

【设计意图】：帮助学生将新知“位似”纳入到已有的图形变换知识体系中，明确其作为“相似变换”下位概念的地位，理解不同变换间的区别与联系，形成结构化的认知网络，促进知识的长时记忆与迁移应用。

第五环节：拓展延伸，体悟价值——位似的“跨学科”视野与“美学”意蕴（预计时间：5分钟）

活动5：链接世界，感悟价值

1.科学应用：

1.2.物理学：展示透镜（凸透镜、凹透镜）成像的光路图，指出物与像关于光心构成位似关系（在近轴光线条件下）。将抽象的数学概念与具体的物理规律（透镜成像公式）建立联系。

2.3.地理信息技术：演示电子地图的缩放过程，解释其背后的数学原理就是位似变换。不同比例尺的地图之间是位似关系。

3.4.计算机图形学：简要说明数字图像放大缩小的“最近邻插值”、“双线性插值”等算法，其几何思想基础之一便是保持像素点之间的相对位置关系（近似位似）。

5.数学文化：

1.6.简要介绍“射影几何”的起源，提及文艺复兴时期的画家们利用“透视法”（其数学基础包含位似思想）在二维画布上创造三维立体感，展示达·芬奇《最后的晚餐》的透视草图。

2.7.欣赏分形艺术（如曼德博集合）中的自相似结构，指出其局部与整体具有近似的位似关系，感受数学的无限与奇幻之美。

【设计意图】：打破学科壁垒，展示位似概念在物理、地理、信息技术等领域的强大解释力和应用价值，彰显数学作为基础学科的工具性。融入数学史与数学艺术，提升课堂的文化品位，让学生感受到数学不仅是理性的，也是充满人文和美感的，实现情感态度价值观目标的升华。

七、板书设计（结构化、过程化）

课题：位似图形

一、定义

1.条件：①相似②对应点连线交于一点（位似中心O）

2.符号语言：四边形ABCD∽四边形A‘B’C‘D’，且AA‘、BB’、CC‘、DD’交于点O⇒位似

二、核心要素

1.位似中心O：位置任意（内、外、边上…）

2.位似比k：k=OA‘/OA=…

1.3.k>0：同侧位似

2.4.k<0：异侧位似（拓展）

三、作图方法（以放大为例）

1.连：连接各顶点与O

2.取：在射线上取点，使OA‘=k·OA

3.连：顺次连接新顶点

四、知识网络（简图）

（呈现“图形变换→相似变换→位似变换”的层级关系）

五、应用举隅

物理：透镜成像

技术：地图缩放

艺术：透视画法

八、分层作业设计

【基础巩固层】（必做）

1.教材课后练习题1-3题。（识别位似图形，判断位似中心与位似比）

2.已知△ABC和点O，以O为位似中心，位似比为3:1，作出放大后的图形；再以O为位似中心，位似比为1:2，作出缩小后的图形。

【能力提升层】（选做）

3.在平面直角坐标系中，已知点A(2,4)，B(4,2)，O(0,0)。以O为位似中心，位似比为-2，作出线段AB的位似图形A‘B’。并写出A‘、B’的坐标，观察坐标变化的规律，你能猜想出一般规律吗？

4.探究题：两个位似图形，如果位似中心恰好是它们某个对应点连线的中点，那么它们的位似比是多少？请证明你的结论。

【实践拓展层】（探究合作）

5.小组项目：寻找生活中或其它学科（物理、生物、美术等）中的位似现象，拍摄照片或绘制示意图，并制作一份简短的报告，说明其中蕴含的位似原理。例如：研究同一人在不同距离镜子中的像（平面镜成像不是位似，但凸面镜/凹面镜呢？）、树叶的脉络、建筑效果图与实景的关系等。

九、教学反思与特色说明（预设）

本节课的设计力图体现当前课程改革的核心理念，并追求学科教学的最高专业水准，其特色主要体现在：

1.大概念引领，结构化构建：以“图形的