第四章《三角形》复习题-全等三角形中的八类重要模型（含答案）七年级数学下册北师大版

第四章《三角形》复习题--全等三角形中的八类重要模型八大重要模型，主要有：倍长中线、截长补短、一线三等角（K字型）、手拉手模型、半角模型、对角互补模型、十字架模型、角平分线的全等模型等一、单选题1．如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（

）A． B． C． D．2．已知：如图，在∆ABC，∆ADE中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，∆ABC和∆BDE均为等边三角形，且两个三角形在线段同侧，①；②；③；④∆AFC∆BDE，则上述结论中正确的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④4．如图，在正方形中，，连接．小明同学在进一步探究这个题目时，将绕点顺时针旋转了，然后发现了一些结论．你认为他发现的以下四个结论完全正确的是（

）平分；平分；；的周长正方形边长的倍A． B． C． D．5．如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与交于点，则以下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的个数为（）个A．1 B．2 C．3 D．46.如图，在∆ABC中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（）①是的平分线；②；③点在的垂直平分线上；④．A． B． C． D．二、填空题7．如图，在中，，，求边上中线的范围为_____．8．如图，在∆ABC中，为的中点，点在边上（不与端点重合），将射线绕点顺时针旋转后与交于点，则四边形的面积是．9．如图，已知∆ABC的面积为，为的角平分线，垂直于点，则的面积为．10．如图，将一块边长为12cm正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的E点，使DE＝5，折痕为PQ，则PQ的长为cm．三、解答题11．如图，在∆ABC中，，，D是上一点，交延长线于点E，且，求证：是的角平分线．12．如图，在∆ABC中，，是∆ABC的角平分线.(1)当时，求的度数；(2)当时，求证：.13．问题情境如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、，

(1)把三角尺绕着点旋转（如图1），与相等吗？试猜想的大小关系，并说明理由．变式拓展：(2)如图2，已知，平分，是上一点，，边与边相交于点边与射线的反向延长线相交于点．试解决下列问题：①与还相等吗？为什么？②试判断、、三条线段之间的数量关系，请直接写出你发现的结论．14．如图1，∆ABC为等腰三角形，，是线段的中点，过点作射线和射线，分别交边，于点，，．(1)与相等吗？为什么？(2)与相等吗？为什么？(3)如图2，若，，，试求的最小值．（在直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）15.操作：如图①，∆ABC是正三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个角，角的两边分别交、边于M、N两点，连接．探究：线段、、之间的关系，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．①（如图②）；②（如图③）．附加题：若点M、N分别是射线、上的点，其它条件不变，再探线段、、之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．16．如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是．请证明你的结论．17．已知，正方形中，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点M、N，当绕点A旋转到时（如图1），求证

(1)下面是小东同学的证明过程，请补充完整．证明：延长至点P，使，连接，如图1，(2)当旋转到时（如图2），线段、和之间的数量关系，若正方形的周长为4，则的周长是：(3)当绕点A旋转到如图3的位置时，，线段、和之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．18．问题探索如图1，在∆ABC中，，点在线段上运动，以为一边，在的右侧作∆ADE，使，，过，两点作直线．（1）直接写出___________°，的最小值为___________cm；（2）请说明；（3）直接写出的度数，并求出的值．拓展延伸（4）如图2，改变“问题探索”中“”这一条件，其它条件不变．设，，则，之间有怎样的数量关系？直接写出结论．（5）在（4）的条件下，继续改变“问题探索”中“点在线段上运动”这一条件为“点在直线上运动”，则与有何数量关系？请直接写出所有可能的结论．19．特殊化是重要的数学策略，即研究一般性问题，经常先从特殊情形进行研究，再通过归纳与猜想，验证并得出一般性的结论．【问题提出】如图①，和是等腰三角形，，，且点在同一直线上，和有怎样的关系？【问题解决】(1)在图②中，若，点在同一直线上，则和的数量关系是_____，位置关系是_____；(2)在图③中，若，点在同一直线上，判断说明和数量关系，并求的度数；(3)在图④中，若，点在同一直线上，则和的数量关系是_____，_____°．(4)通过上述特殊化研究，解决在【问题提出】中，与有怎样的关系．（写出两条）20．如图，在中，，，于点E，于点D．(1)求证：；(2)若，，求的长度．21．“一线三等角”学习探究．“一线三等角”是一个常见的数学几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形（以及以后要学习的相似图形），这个角可以是直角（此时也称“一线三垂直”模型），也可以是锐角或者钝角．对于“一线三等角”，有的叫“K型图”，也有的叫“M型图”．(1)如图1，已知：在∆ABC中，，，直线l经过点C，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：；(2)如图2，将（1）中的条件改为：在∆ABC中，，D、C、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角，则与是否全等？若仍全等，请你给出证明；若不全等，请说明理由．(3)拓展与应用：如图3，D、E是D、C、E三点所在直线l上的两动点（D、C、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和∆BCF均为等边三角形，连接，，若，试猜想与的关系，并说明理由．22．（1）观察理解：如图1，∆ABC中，，，直线过点，点、在直线同侧，，，垂足分别为、，由此可得：，所以，又因为，所以；所以，又因为，所以（

）；（请填写全等判定的方法）（2）类比探究：如图2，中，，，将斜边绕点逆时针旋转90°至，连接，求∆ABC的面积．（3）拓展提升：如图3，在∆ABC中，，，点在边上，，点、在线段上，，若∆ABC的面积为15，则与∆BDE的面积之和为____________．（4）拓展应用：如图4，∆ABC中，，，将绕点顺时针旋转90°，得，连接，则的面积为____________．23．在∆ABC中，，，直线绕点旋转，过点A作于，过点作于．当直线绕点旋转到图1的位置时，易证．

(1)当直线绕点旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？并加以证明．(2)当直线绕点旋转到图3的位置时，，，数量关系是________（直接写出结果）(3)如果，，则________．（直接写出结果）24．【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等．【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，，组成一个四边形，以D为顶点作，交边于M、N．(1)若，，证明：；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长到点E，使，连接，先证明，再证明，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程；(2)当时，三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明）；(3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在的延长线上，完成图③，其余条件不变，则之间有何数量关系？证明你的结论．25．综合实践教材再现：等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形：等边三角形的三个内角都相等，并且都等于；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形．探究问题：等边三角形的三个内角都等于，由此可得等边三角形的每一个外角都等于，那么等边三角形与的角是否还有某些特殊关系，为此某数学兴趣小组的同学做了如下探究，请你帮助他们完成证明过程或解答过程．(1)如图，是等边三角形，点、分别在和的延长线上，且，该兴趣小组的同学发现，当的度数确定时，的度数也随之确定．若，则的度数为．求证：．(2)如图，是等边三角形，点是三角形内一点，且，延长交于点，延长交于点，判断线段、、、之间有什么数量关系，并说明理由．(3)如图，是等边三角形，点是三角形外一点，且，连接，判断线段、、之间有什么数量关系，并说明理由．26．（1）阅读理解：如图①，在∆ABC中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______；（2）问题解决：如图②，在∆ABC中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：；（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由．27．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图①，在中，平分，，求证：；小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题；方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.

(1)根据以上材料，任选一种方法证明：；(2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明.28.【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，中，点，在边上，，过作交于点．判断是否平分？请说明理由．下面是两位同学的做法：如图2，小美同学从线段FE的角度去考虑，倍长，使，连接；如图3，小丽同学从线段AE的角度去考虑，倍长，使，连接；请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．【类比分析】（2）如图4，在中，是的中线，．请判断与的数量关系，并说明理由．【学以致用】（3）如图5，在中，分别以为直角边向内作等腰直角三角形，是边上的中线，已知，求的长．29.【方法探究】如下图，在中，平分，，探究，，之间的数量关系；嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：方法1：如下图，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题方法2：如下图，延长到点，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题(1)根据探究，直接写出，，之间的数量关系；【迁移应用】(2)如下图，在中，是上一点，，于，探究，，之间的数量关系，并证明．【拓展延伸】(3)如下图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：；30.（1）理解证明：如图1，，射线AE在这个角的内部，点B，C在的边AM，AN上，且，于点F，于点D．求证：∆ABD≌∆CAF；（2）类比探究：如图2，点B，C在的边AM，AN上，点E，F在内部的射线AD上，，分别是，∆CAF的外角．已知，．求证：；（3）拓展应用：如图3，在∆ABC中，，，点D在边BC上，，点E，F在线段AD上，．若∆ABC的面积为21，求与∆CDF的面积之和．

参考答案一、单选题1．C解：由题意得：，，，，∴，∴，，∴，在和中，，∴；∴，，∵用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，∴，，∴，，∴，故选：C．2．D解：①∵，∴，即，∵在和中，∵，，∴，本选项正确；②∵∆ABC为等腰直角三角形，∴，，∵，，∴，本选项正确；③∵，，∴，∴，本选项正确；④∵，，故此选项正确，故选：D．3．B解：和∆BDE均为等边三角形，，，，，在和中，，，所以①正确；，，，在和中，，，所以②正确；，在和中，，，所以③正确；，不是等边三角形，而∆BDE为等边三角形，与∆BDE不能全等，所以④错误．故选：B．4.D解：∵四边形是正方形，∴，，∵将绕点顺时针旋转了，∴，，，，∴，∴三点共线，∵，∴，∴，∴，∴，∴，，，∴平分，故正确；∵，∴，∴平分，故正确；∴的周长，，故正确；综上可知：正确，故选：．5．C解：∵点在的角平分线上，∴，如图所示，过点作于点，作于点，∴，，，∴在四边形中，，∵，∴，即，∴，∴，∴，故①正确；由①正确可得，，∴，故②正确；由可得，∴，∴四边形的面积是定值，故③正确；如图所示，连接，由上述结论可得，，，，，∴，即的长度发生变化，故④错误；综上所述，正确的有①②③，共3个，故选：C．6.D解：由作图可知：是的平分线，故说法正确；，，，，，故说法正确；过点作于点，，∴，点在的垂直平分线上，故说法正确；是的平分线，，，在和中≌，，在∆ADE和∆BDE中∴∆ADE≌，，，，故说法正确．正确的说法有个，故选：D．二、填空题7．解：延长到E，使得，连接，如图，在和中，，∴，∴．∵，∴，∴．故答案为：．8．9解：如图，连接，∵为的中点，∴，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，根据题意得：，∴，∴，即，在和中，∵，，，∴，∴，∴四边形的面积．故答案为：99．4解：延长交于E，∵垂直的平分线于P，，又知，，∴在与中，，∴，∴，，∴和等底同高，∴，设的面积为m，∴S∆ABE=S∆ABC+S∆ACE=8+m，∴．故答案为：4．10．13解：过点P作PM⊥BC于点M，由折叠得到PQ⊥AE，∴∠DAE+∠APQ=90°，又∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，∵AD∥BC，∴∠APQ=∠PQM，则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD∴△PQM≌△ADE∴PQ=AE=故答案是：13.三、解答题11．如图，延长、交于点F．∵，∴，又，∴，∴，在和中，，∴，∴．又，∴，∴，∵，∴是线段的垂直平分线，∴，∴，∴是的角平分线．12．（1）延长至，使，连接，则．，．平分，．，，．设，则，.∵，．在∆ABC中，，，解得，；（2）∵，且，，在BC上截取，连接DF．∵BD平分，．，，，，，，，．13．（1）解：，证明如下：过点作于，于，如图：

平分，，，，，，，，，在和中，，，．（2）①结论：．理由：过点作于，于，如图：平分，，，，，，，，，，在和中，，，．②结论：．理由：由①得：，，，在和中，，，，，，，在中，，，，，．14．（1）解：，，；（2）解：过点作，，分别交于，，如图所示：是线段的中点且∆ABC为等腰三角形，平分，，，，，在和中，，，；（3）解：由（2）可知，，为等边三角形，，求的最小值，即为求的最小值，作点关于直线对称点，连接，，，，，由对称的性质可得，求最小值即为求最小值，最小值为的长度，则最小值为的长度，由对称的性质可得．，，，为等腰三角形，，，，为等边三角形，由等边三角形对称性可得，是线段的中点，，，，，，最小值为15．15.（探究）证明：，如图，延长至，使，连接，∵∆ABC的等边三角形，∴，∵，，∴，∴．∵，∴，∴，，∵，，∴，即，∴．∴．（附加题），证明如下：证明：如图，在上截取，使，连接∵，，∴．∵，∴，∴，∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴，即．16．解：（1）在和中，又，在和中（2），理由：如图所示，延长到点，使，连接，在和中，在和中17．（1）证明：延长至点P，使，连接，如图1，

∵四边形是正方形，∴，，在和中，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∵在和中，∴，∴，∵，∴，（2）如图2所示，延长至P，使得，连接，∵四边形是正方形，∴，，在和中，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∵在和中，∴，∴，∵，∴，∵正方形的周长为4，∴，∴；（3），理由如下：解：如图3，在上截取，连接，

由（1）知，∴，，∴，∵，∴．在和中，∴，∴，即，∴．18．（1）解：在∆ABC中，，，点在线段上运动，当点在线段中点处时，则，此时值最小，在∆ABC中，，当点在线段中点处时，最小值为；故答案为：，；（2）证明，，，即，；（3）解：，∴∠ABD=∠ACE,CE=BD，∵AB=AC,∠BAC=90∘,BC=6cm,∴∠ABD=∠ACD=∠ACE=45∘，，；（4）解：，，，即，；，，，即，，，；（5）解：当点在线段上时，由（4）知，，，∴BD=+CD=CE+CD=6cm；当点在线段延长线上时，，，，即，；，∴BD-CD=CE-CD=BC=6cm；当点在线段延长线上时，，，，即，；，∴CD-BD=CD-CE=BC=6cm；综上所述，或或．19．（1）解：当时，则∠AOB=∠COD=а=90∘，∵，∴和都是等腰直角三角形，∴，∴∠ACO=180∘-∠OCD=135∘，∵∠AOB=∠COD=а=90∘，∴，∴，在和中，，∴，∴AC=BD.∠ACO=∠BDO=135∘，∴∠ADB=∠BDO-∠ODC=135∘-45∘=90∘，∴，即，∴和的数量关系是：，位置关系是：，故答案为：；（2）当时，则∠AOB=∠COD=а=60∘，∵，∴和都是等边三角形，∴，∴∠ACO=180∘-OCD=120∘，同（1）证明：，∴，∴；（3）当时，则∠AOB=∠COD=30∘，∵，∴和都是等腰三角形，∴，∴∠ACO=180∘-∠OCD=105∘，∵∠AOB=∠COD=а=30∘，∴，即，同（1）证明：，∴AC=DB.∠ACO=∠BDO=105∘，∴，故答案为：；（4），理由如下：∵OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90∘，∴和都是等腰三角形，∴，∴，同（1）证明：，∴AC=BD,∠ACO=∠BDO=90∘+12а，∴．20．（1）解：∵，，∴，∵，∴，又∵，∴；（2）∵，∴，，∴．21．（1）解：（1），，，，又，，，在和中，，（2）和全等，理由如下：，，且，，在和中，，（3），与所成夹角为，理由如下：，，且，，和∆BCF均为等边三角形，，在和中，，，，，又在等边和等边∆BCF中，，，，，在和中，，，，综上所述：，与的夹角为．22．解：如图，，，，，又，，，在和中，，，故答案为：；（2）如图，过作于E，则，由旋转得：，，∴，，∴，在和∆BCA中，，∴，，；（3）如图中，的面积为，，的面积是：，∵，，，，∴，，在和∆CAF中，，∴与∆BDE的面积之和等于与∆BDE的面积之和，即等于的面积，即为5，故答案为：5；（4）如图，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，则，∵，，∴，由旋转得，，，∵，，∴，在和∆BDE中，，∴，∴，∴，故答案为：．23．（1）解：，理由如下：，，∵AD⟂DN，，，又，，，∵AD=CE,BE=CD，；（2）解：，理由如下：，，，，，又，，，，；故答案为：；（3）解：分两种情况：当直线绕点旋转到图1的位置时，，，，，，又，，，∴AD=CE,BE=CD，∴DE=CE+CD=AD+BE=8+3=11；当直线绕点旋转到图2的位置时，由（1）知；故答案为：11或5．24．（1）证明：根据题意得：AD=BD，延长到E，使，连接∵，∴，在和中，∴，∴，，∵，∴，∴，∵∴∴，在和中∴，∴，∵，∴．（2）由（1）中条件得∠ACD+∠MDN=90°，证明方法同（1）类似，∴；（3），证明：在截取，连接，∵，∴，在和中，∴，∴，，∵，，∴，∴，即，∴，∵∴即∴即，在和中，∴，∴，∵，∴．25．（1）解：，，；故答案为：；证明：是等边三角形，，，，，；（2）解：，理由如下：是等边三角形，，，，，，，在和中，，，，即；（3）解：，理由如下：延长到，使，连接，如图：，，，是等边三角形，，，