第五章 一元函数的导数及其应用 单元测试（含答案） 2025-2026学年人教A版数学选择性必修第二册

第五章一元函数的导数及其应用一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在一次跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,则该运动员在t=1s时的瞬时速度为()A.-3.3m/s B.-8.2m/s C.3.3m/s D.1.6m/s2.曲线f(x)=cos2x在点P(π4,f(π4))A.-2 B.2 C.-1 D.13.(2025河南洛阳高二检测)小李准备向银行贷款x(0<x≤10)万元全部用于某产品的加工与销售,据测算每年利润y(单位:万元)与贷款x满足关系式y=lnx-x-12x+9,要使年利润最大,小李应向银行贷款(A.3万元 B.4万元 C.5万元 D.6万元4.(2025辽宁沈阳高二检测)已知函数f(x)=-xln2-x3,则不等式f(3-x2)>f(2x-5)的解集为()A.(-4,2) B.(-2,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-4)∪(2,+∞)5.如图为函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象,f'(x)为函数f(x)的导函数,则不等式x·f'(x)<0的解集为()A.(-∞,3) B.(0,3)C.(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)6.已知函数f(x)=lnx-12ax2-2x存在单调递减区间,则实数a的取值范围是(A.(-∞,-1) B.(-1,+∞)C.[-1,+∞) D.(1,+∞)7.若动点P在直线y=x+1上,动点Q在曲线x2=-2y上,则|PQ|的最小值为()A.14 B.24 C.22 8.已知f(x)=x3+3x2-2,x≤0,lnxx,xA.(0,1e) B.(-C.(-∞,-2)∪(1e,2) D.(1二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.(2025广东江门高三检测)若定义在区间D上的函数f(x)的导函数单调递增,则f(x)为D上的凹函数.下列四个函数中为区间(0,+∞)上的凹函数的是()A.f(x)=x3-x2 B.f(x)=x-lnxC.f(x)=x-ex D.f(x)=x10.如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,则以下说法正确的为()A.-2是函数y=f(x)的极值点B.函数y=f(x)在x=1处取得最小值C.函数y=f(x)的图象在(0,f(0))处切线的斜率小于零D.函数y=f(x)在区间(-2,2)上单调递增11.已知函数f(x)=x2+2xA.函数f(x)有极小值B.曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为4C.当k∈(-2e2,6e2)时,f(x)D.若x∈[0,t]时,f(x)max=6e2,则三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.(2025湖北黄冈模拟)已知函数f(x)=6exx3,写出一个满足“f(x)在区间[a,b]上单调递增,且b-a=1”的区间[a,b13.已知曲线g(x)=alnx和曲线f(x)=x2有唯一公共点,且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l,则l的方程为.

14.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若函数f'(x)≥1f(x)>0对任意x∈[0,+∞)恒成立,且f(0)=1,则f四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知函数f(x)=axsinx+cosx在x=3π2(1)求实数a的值;(2)求f(x)在[0,π]上的值域.16.(15分)(2023全国乙,文20)已知函数f(x)=(1x+a)ln(1+x)(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数f(x)在(0,+∞)单调递增,求a的取值范围.17.(15分)某工厂计划投资一定数额的资金生产甲、乙两种新产品.甲产品的平均成本利润f(x)(单位:万元)与投资成本x(单位:万元)满足:f(x)=alnxx+5x-b(a,b∈R);乙产品的平均成本利润g(x)(单位:万元)与投资成本x(单位:万元)满足:g(x)=2xx.(1)求a,b的值;(2)若该工厂计划投入50万元用于甲、乙两种新产品的生产,每种产品投资不少于10万元,问怎样分配这50万元,才能使该工厂获得最大利润?最大利润为多少万元?(参考数据:ln10≈2.303,ln5≈1.609)18.(17分)设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R.(1)求f(x)的极值点;(2)若关于x的方程f(x)=a有3个不相等的实数根,求实数a的取值范围;(3)已知当x∈(1,+∞)时,f(x)≥k(x-1)恒成立,求实数k的取值范围.19.(17分)(2025上海嘉定高三检测)已知定义域为R的函数y=f(x),其导数为y'=f'(x),若对任意的x∈R都有f'(x)<1,则称函数y=f(x)为“(1)请说明f(x)=x2-sinx是否为“导可控函数”(2)若函数y=f(x)为“导可控函数”,且存在正数M,使|f(x)|≤M在x∈R上恒成立,试求函数y=f(x)-x的零点个数;(3)若函数y=f(x)为“导可控函数”,且存在a,b(a<b),使得f(a)=f(b),证明:对任意的实数x1,x2∈[a,b],都有f(

参考答案1.A2.A3.B4.D5.D由题可得函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-3),(3,+∞),单调递减区间为(-3,3),所以当x∈(-∞,-3)∪(3,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(-3,3)时,f'(x)<0,由x·f'(x)<0,可得x<0,f'(x)>0或x>0,6.Bf(x)=lnx-12ax2-2x的定义域为(0,+∞),由题意得f'(x)=1x-ax-2<0在(0,+∞)上有解,即1x2-2x<a在(0,+∞)上有解,其中y=1x2-2x=(1x-1)2-1≥-1,故a>-1,7.B设与直线y=x+1平行的直线l的方程为y=x+m(m≠1),∴当直线l与曲线x2=-2y相切,且点Q为切点时,P,Q两点间的距离最小,设切点Q(x0,y0),∵x2=-2y,∴y=-12x2,∴y'=-x,∴-x0=1⇒x0=-1,∴y0=-12,∴点Q(-1,-12),∴直线l的方程为y=x+12,∵P,Q两点间距离的最小值为平行线y=x+12和y=x+1间的距离,∴P,Q两点间距离的最小值为8.C当x≤0时,f(x)=x3+3x2-2,则f'(x)=3x2+6x=3x(x+2),当x∈(-∞,-2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(-2,0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所以当x≤0时,f(x)max=f(-2)=(-2)3+3×(-2)2-2=2.当x>0时,f(x)=lnxx,则f'(x)=当x∈(0,e)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所以当x>0时,f(x)max=f(e)=lnee=1e.画出函数因为函数g(x)=f(x)-m有两个零点,所以直线y=m与函数y=f(x)的图象有两个不同的交点,由图可知m<-2或1e<m<2.所以m的取值范围为(-∞,-2)∪1e,2.故选C.9.BD10.AD11.AD由题意可得f'(x)=4-x2ex,令f'(x)>0,解得-2<x<2;令f'(x)<0,解得x<-2或x>2.则f(x)在(-∞,-2),(2,+∞)上单调递减,在(-2,2)上单调递增,可知f(x)的极大值为f(2)=6e2,极小值为f(-2)=-2e2,且当x→-∞时,f(x)→+∞,当x→+∞时,f(x)→0,可得f(x)的图象如图.对于A,可知f(x)的极小值为f(-2)=-2e2,故A正确;对于B,因为f'(1)=3e,所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处切线的斜率为3e,故B错误;对于C,方程f(x)=k的实数根的个数,等价于函数y=f(x)的图象与直线y=k的交点个数,由图象可知,当k∈(0,6e2)时,f(x)=k恰有三个实数根,当k∈(-2e2,0]时,f(x)=k恰有两个实数根,故C错误;对于D,若x∈[0,t]时,f(x)max=6e2,则t12.[3,4](答案不唯一,满足a≥3,b=a+1即可)由题意可知函数f(x)的定义域为(-∞且f'(x)=6·x3令f'(x)>0,解得x>3,可知f(x)的单调增区间为(3,+∞),若满足“f(x)在区间[a,b]上单调递增,且b-a=1”,则a≥3,b=a+1,例如a=3,则符合条件的区间[13.2ex-y-e=0设曲线g(x)=alnx和曲线f(x)=x2在公共点(x0,y0)处的切线相同,则f'(x)=2x,g'(x)=ax,由题意知f(x0)=g(x0),f'(x0)=g'(x0),即2x0=ax0,x02=alnx0,解得a=2e,x0=e,故切点为(e,e),切线斜率为k=f'(x0)=2e,14.[4047,+∞)由f'(x)≥1f(x)>0,得f'(x)f(x)≥1>0,则f'(x)f(x)-1≥0,令F(x)=12[f(x)]2-x,x≥0,则F'(x)=f(x)·f'(x)-1≥0,又F(0)=12[f(0)]2-0=12,f(x)=215.解(1)函数f(x)=axsinx+cosx,求导得f'(x)=asinx+axcosx-sinx,由f(x)在x=3π2处取得极值,得f'(3π2)=-a+1=0,解得a=1,此时f'(x)=xcosx,当π2<x<3π2时,f'(x)<0,当3π2<x<5π2时,f'(x)>0,即函数f((2)由(1)知f(x)=xsinx+cosx,f'(x)=xcosx,当0<x<π2时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增当π2<x<π时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减所以当x∈[0,π]时,f(x)的最大值为f(π2)=π2,而f(0)=1,f(π)=-1,即f(x)的最小值为所以函数f(x)在[0,π]上的值域为[-1,π2]16.解(1)当a=-1时,f(x)=(1x-1)ln(x+1)(x>-1且x≠0),f'(x)=-ln∵f(1)=(11-1)×ln(1+1)=0,f'(1)=-ln(1+1)12+-1+11×(1+1)=-ln2,∴y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-f(1)=f'(2)易知f(x)不恒为0.∵函数f(x)在(0,+∞)单调递增,∴f'(x)≥0在(0,+∞)恒成立,f(x)=1xln(x+1)+aln(x+则f'(x)=xx∴ax2+x-(x+1)ln(x+1)≥0在(0,+∞)恒成立.方法一:分离参数,a≥(x+1)ln(x+1令g(x)=(x+1)则g'(x)=-x令m(x)=-xln(x+1)-2ln(x+1)+2x,x>0,则m'(x)=1-ln(x+1)-1x令n(x)=m'(x)=1-ln(x+1)-1x+1,n'(x)=-1x+1∴m'(x)在(0,+∞)单调递减,则m'(x)<1-ln1-1=0,则m(x)在(0,+∞)单调递减,∴m(x)<0-2ln1+0=0,即g(x)在(0,+∞)单调递减,∴g(x)<limx→0(x+1)ln(x+1)-xx2=方法二:令g(x)=ax2+x-(x+1)ln(x+1),x>0,则g'(x)=2ax+1-ln(x+1)-1=2ax-ln(x+1).∵x+1>1,∴ln(x+1)>0.当a≤0时,g'(x)<0,g(x)在(0,+∞)单调递减,∴f'(x)<0,f(x)单调递减,不符合题意;当a>0时,令h(x)=2ax-ln(x+1),x>0,则h'(x)=2a-1x(ⅰ)当a≥12时,h'(x)>0恒成立,∴g'(x)在(0,+∞)单调递增∴g'(x)>0-ln1=0,即g'(x)>0,g(x)在(0,+∞)单调递增,∴g(x)>0+0-0=0恒成立,即f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)单调递增,符合题意.(ⅱ)当0<a<12时,令h'(x)>0,得x>12令h'(x)<0,得0<x<12a∴g'(x)在(0,12a-1)单调递减,在(12a-1,+又当x∈(0,12a-1)时,g'(x)<0-ln1即g(x)在(0,12a-1)∴当x∈(0,12a-1)时,g(x)<0+0-0即f'(x)<0在(0,12a-1)恒成立,f(x)在(0,12a-1)单调递减,不符合题意.综上所述,a的取值范围为[1217.解(1)由题意知f整理得5-b=5,aln10+5-(2)设甲产品投资x万元,乙产品投资(50-x)万元,且x∈[10,40],则该工厂获得的利润φ(x)=x(5lnxx+5x)+(50-x)·250-x50-x=5lnx+5+250-x,x∈[10,40],则φ'(x)=5x-150-x=550-x-xx50-x,x∈[10,40],令φ'(x)=0,解得x=25(负值舍去),当10<x<25时,φ'所以φ(x)max=φ(25)=10ln5+15≈10×1.609+15=31.09,所以当甲、乙两种产品各投资25万元时,该工厂获得最大利润,最大利润为31.09万元.18.解(1)f'(x)=3(x2-2),令f'(x)=0,得x1=-2,x2=2.当x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(-2,2)时,f'(x)因此x1=-2,x2=2分别为f(x)的极大值点、极小值点.(2)f(-2)=5+42,f(2)=5-42,由(1)的分析可知y=f(x)图象的大致形状及走向如图所示.要使直线y=a与y=f(x)的图象有3个不同的交点,则需5-42<a<5+42.则方程f(x)=a有3个不相等的