大学生数学建模《企业证券投资规划》

东华理工大学

数学建模一周论文

企业证券投资规划

姓名：

学号：

专业：信息管理与信息系统

班级

指导教师

2014年1月4日

一、摘要

近些年，证券投资为社会提供了筹集资金的重要渠道，对国民经济的持续高

效、发展具有重要意义。本文针对目前流行的各种不同的证券发行方案，建立线

性规划模型，得出最佳的证券组合投资方案。

问题（1）：规划投资1000万元投资在满足题目给出的各限制范围内，目标函

数为“最大收益”，建立一个线性规划模型符合题目给出的约束条件的折中模型,

用Lingo求解得出了最大收益为29.83636万元，各种证券的具体投资方案见表二。

问题（2）：假设能以2.75%的利率借到不超过100万元资金，在相同的约束

条件下，仍然建立线性规划模型，采用Lingo求解，得出最大收益为32.82000万

元，投资方案见表三。

问题（3）：在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%,仍然

建立线性规划模型，通过Lingo解得最大收益为30.27273万元，相对问题（1）增

加了，投资方案见表四；若证券C的税前收益减少为4.8%,用同样的方法求出最

大收益为29.42400万元，相对问题（1）减少了，投资方案见表五。

模型的优点是给出了快速计算投资分配的方法，计算方便、灵活。但是也

存在不可避免的缺点在解决各问题时，都是假设在各种证券的信用等级、到期年

限、税前收益不变的基础上建立数学模型的，并且实际的市场变化无常，纳税税

率也会有所波动。

1

二、关键词

证券投资、线性规划、投资风险、Lingo求解软件

三、问题的重述

证券投资目的：旨在降低风险、获得收益、补充资产流动性。收益和风险是

并存的，通常收益越高，风险越大。投资者只能在收益和风险之间加以权衡，合

理投资。为了实现证券投资的有效组合（降低风险和收益最大化），投资者

要有正确科学的投资决策。

某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其

信用等级、到期年限、到期税前收益如表一所示：

表一

证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收走（%）

A市政294.3

B代办机构2155.4

C政府145.0

D政府134.4

E市政524.5

投资哪一种证券都是任意的，其中市政证券的收益可以免税，其他证券的收

益需按50%的税率纳税。另外还受到三个条件约束：

（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；

（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度

越高）;

（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。

在投资时根据给;II的已知条件进行决策，在不亏损的情况下，保证收益最大。

问题：

（1）、假如该经理有1000万元资金，在给出的约束条件下，应如何选洋购

进证券种类，才能使得收益最大？

（2）、如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，在其他条件不变的

情况下及问题1的基础上，又怎样支配资金投放？

（3）、在有1000万元资金情况下：

A：若证券A的税前收益增加为4.5%,其他证券税前收益不改变的情况下，耍

使得收益最大，该经理如何投资？

B：若证券C的税前收益减少为4.8%,其他证券税前收益不改变的情况下，要

使得收益最大，该经理又如何投资？

2

件下，投资的最大收益为29.83636万元，证券B和证券D的投资额都为零，证

券C的投资额最大，为736.3636万元，证券A为218.1818万元，证券E为45.45455

万元。结果见表二。

2.问题(2)的求解

这个问题的解题方法与问题一的解题方法相似，使用折中法进行求解。该问

题中，经理可以以2.75%的利率接到不超过100万元的资金，极限地假设经理借

了一百万元，则经理的可用资金就是1100万元，用这些资金在符合约束条件下

进行投资，我们可以建立一个最优解的数学模型：

目标函数：

max=sl*ml*(l-tl)+s2*m2*(l-t2)+s3*m3*(l-t3)+s4*m4*(l-t4)+s5*m5*

(l-t5);

约束条件：

总投资金额：ml+m2+m3+m4+ni5<=l100;

平均信用等级：(Xl*ml+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*n5)/(ml+m2+m3+m4+m5)<=1.4;

平均到期年限：(y1*m1+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*n5)/(ml+m2+m3+m4+m5)<=5:

政府及代办机构证券购买量：m2।m3»m4>=400;

各项投资金额：ml>=0;m2>=0;m3>=0;m4>=0;m5>=0;

使用Lingo软件进行求解得到：ml=240,m2=0,m3=810,m4=0,m5=50,总

收益Z=32.82,可以看出在增加100万元的前提下，投资后的总收益比问题一增

加了2.98364万元，而借贷需要偿还的利息为2.75万元，即借贷后所获得的最

后收益有所增加，所以可以确定该经理应该借这100万元。结果见表三。

3.问题(3)的求解

A：第一小问与第一个问题解法相同只是证券A的税前收益增加到4.5%,其

他的约束条件不变，建立一个折中模型：

目标函数：

max=sl*ml*(l-tl)+s2*m2*(I-t2)+s3*m3*(I-t3)+s4*m4*(l-t4)+s5*m5*

(l-t5);

约束条件：

总投资金额：ml+m2+m3+m4+m5<=l100;

平均信用等级：(Xl*inl+x2*m2+x3*m3+x4*in4+x5*n5)/(ml+m2+ni3+m4+m5)<=1.4;

平均到期年限:(yl*ml+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*n5)/(ml+m2+m3+m4+m5)<=5:

政府及代办机构证券购买量：m2+m3+m4>=400;

各项投资金额：nil>=0:m2>=0;m3>=0;ml>=0;m5>=0;

用Lingo软件求解得：ml=218.1818,m2=0,m3=736.3636,m4=0,m5=45.45455,

总收益Z=30.27273,与问题一的结果进行比较，得出这个小问中对各个证券的

投资跟问题一的方案一样，而且收益有所增加。结果见表四。

B:第二小问中的C证券的税前收益减少了4.8%,其解法与第一小问的解法

也相同，建立一个折中模型：

目标函数：

4

max=sl*ml*(l-tl)+s2*m2*(l-t2)+s3*m3*(l-t3)+s4*m4*(I-t4)+s5*m5*

(l-t5);

约束条件：

总投资金额：ml+m2+m3+m4+m5<=l100;

平均信用等级：(xI*ml+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*n5)/(ml+m2+m3+m4+m5)<=1.4;

平均到期年限：(yl*ml+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*n5)/(ml+m2+m3+m4+m5)<=5:

政府及代办机构证券购买量：m2+m3+m4>=400;

各项投资金额：ml>=0:m2>=0;m3>=0;m4>=0;m5>=0;

使用Lingo求解得到:in1=336,m2=0,m3=0,m4=648,m5=16,总收益Z=29.424。

分析这个结果和问题一的结果可以看出，由于C证券的税前收益减少了0.2%,

该证券的投资金额从问题一的最多变为零，对D证券的投资金额变为最多，对其

他证券的投资金额都各有所改变，总的收益也减少了0.41236万元。结果见表五。

七、模型的求解结果

表二

证MlM2M3M4M5

券类型

投218.18180.000000736.36360.00000045.45455

资数量/

万元

总29.83636

收益/万

元

表三

证券MlM2M3M4M5

类型

投资2400.0000008100.00000050

数量/万元

总收32.82000

益/万元

5

表四

证券MlM2M3M4M5

类型

投资218.18180.000000736.36360.00000045.45456

数量/万

元

总收30.27273

益/万元

表五

证MlM2M3M4M5

券类型

投0.0000000.000000536.4900463.51000.000000

资数量

/万元

总23,60947

收益/

万元

八、模型结果分析

1、优点

直接采用程序进行计算，得出优化决策方案，解决问题的模型都是比较简单

的，不影响得到结果的准确性，因为这些简单的模型都有很强的理论依据。通过

利用数学工具和Lingo编程的方法，严格的对模型求解，具有科学性，采用线性

规划模型，将多目标规划转化为单目标规划，选取了风险上限值来决定收益。模

型给出了快速计算投资分配的方法，计算方便、灵活。建立的模型能与实际较紧

密联系，结合实际情况对所提出的问题进行求解，是模型更贴近实际，通用性较

强。

2、缺点

对于不同的金额，得到的结果不具有代表性，我们建立的模型中采用的只是

一个特列，具有单一性。一些数据中，我们对数据进行必要的处理时，如取整数

据、舍去数据等，这些方法都会带来一定的误差。在解决各问题时，都是假设在

各种证券的信用等级、到期年限、税前收益不变的基础上建立数学模型的，但是

实际的市场变化无常，纳税税率也会有所波动。

6

九、参考文献

⑴、叶其孝等《数学建模》北京，机械工业出版社，2005

⑵、冯杰黄力伟等《数学建模原理与案例》北京，科学出版社，2007

⑶、李志林欧宜贵《数学建模及典型案例分析》北京，化学工业出版社，2006

十、附录

model.

max=sl*ml+s2*m2-s3*m3+s4*m4+s5*m5;

sl=0.043;s2=0.027;s3=0.025;s4=0.022;s5=0.045;

m1+m2+m3+m4+m5<=1000;

(xl*ml•x2*m2।x3><ni3»x4*m41x5*m5)/(ml»m2m3fm4«m5)<=1.4;

xl=2;x2=2;x3=l;x4=l;x5=5;

(yI*ml+y2*m2+y3xm3+y4*m4+y5*m5)/(ml+m2-m3+m4+m5)<=5;

yl=9;y2=15;y3=4：y4=3;y5=2;

m2+m3+m4>=400;

ml>=0;m2>=0;m3>=0;m4>=0;m5>=0;

mode2.

max=s1*ml+s2*m2-s3*m3+s4*m4+s5*m5;

sl=0.043;s2=0.027;s3=0.025;s4=0,022;s5=0.045;

ml+m2+m3+m4+m5<=l100;

(xl*ml+x2*m2+x3*m3+x4*m4+x5*m5)/(ml+m2-m3+m4+m5)<=1.4;

xl=2;x2=2;x3=l;x4=l;x5=5;

(yI*nil+y2*m2+y3xm3+y4*m4+y5*in5)/(ml+m2-m3+m4+m5)<=5;

yl=9;y2=15;y3=4;y4=3;y5=2;

m2+m3+m4>=400;

ml>=0;m2>=0;m3>=0;m4>=0;m5>=0;

mode3.1

max=s1*ml+s2*m2-s3*m3+s4*m4+s5*m5;

sl=0.045;s2=0.027;s3=0.025;s4=0,022;s5=0.045;

m1+m2+m3+m4+m5<=1000;

(xl*ml+x2*m2+x3><m3+x4*ni4+x5*in5)/(ml+m2-m3+m4+m5)<=1.4;

xl=2;x2=2;x3=l;x4=l;x5=5;

(yI*ml+y2*m2+y3*m3+y4*m4+y5*m5)/(ml+m2-m3+m4+m5)<=5;

7

yl=9;y2=15;y3=4:y4=3;y5=2;

m2+m3+m4>=400;

ml>=0;n)2>=0;m3>=0;m4>=0;m5>=0;

mode3.2

Inax=sl*ml+s2*m2-s3*m3+s4*m4+s5*m5;

sl=O.043;s2=0.027;s3=0.024;s4=0.0