小学数学第六章　§6.3　习题课　平面向量数量积的综合应用

习题课平面向量数量积的综合应用学习目标1.掌握平面向量数量积的计算、向量垂直的条件与数量积的性质.2.重视数形结合与转化化归思想的考查.一、平面向量数量积的计算及应用例1如图，在△ABC中，∠ABC=90°，F为AB的中点，CE=3，CB=8，AB=12，则EA·EB等于()A.-15 B.-13 C.13 D.15跟踪训练1(1)已知向量a，b满足|a|=2，b=(3，-3).①若a与b同向，求a的坐标；②若|a-2b|=27，求a与b的夹角.(2)在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，若点M，N分别是CD，BC的中点，则ND·MN等于()A.-12 B.-94 C.-34 D二、平面向量的数量积与三角函数的综合问题例2已知向量a=(sinx，cosx)，b=(3，-1)，x∈[0，π].(1)若a⊥b，求x的值；(2)记f(x)=a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.反思感悟平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时，先运用向量相关知识，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)当给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式时，其解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性求解.跟踪训练2已知a=(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.(1)若|a-b|=2，求证：a⊥b；(2)设c=(0，1)，若a+b=c，求cos(α-β)的值.三、利用向量的数量积证明例3用向量法证明公式：sin2α=2sinαcosα.反思感悟(1)运用向量工具进行探索证明可使证明过程简洁明了.(2)一般地，若角α的终边与单位圆的交点为P，则P点坐标为(cosα，sinα)，从而OP=(cosα，sinα).跟踪训练3在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(2，0)，B(10，0)，C(11，3)，D(10，6).(1)①证明：cos∠ABC+cos∠ADC=0；②证明：存在点P，使得PA=PB=PC=PD，并求出P点的坐标；(2)若点E在四边形ABCD的四条边上运动，且CE将四边形ABCD分成周长相等的两部分，求点E的坐标.1.知识清单：(1)平面向量数量积的计算及应用.(2)平面向量的数量积与三角函数的综合问题.(3)利用平面向量数量积证明.2.方法归纳：转化与化归.3.常见误区：向量的夹角大小.1.已知a=(m，1)，b=(2，6+m)，a⊥b，则|a-b|等于()A.7 B.10 C.25 D.52.在△ABC中，AB=4，AC=2，点M是边BC的中点，则BC·AM的值为()A.-6 B.6 C.-8 D.83.如果平面向量a=(2，1)，b=(1，3).那么下列结论中正确的是()A.|b|=3|a|B.a∥bC.a与b的夹角为πD.a在b上的投影向量的模为104.已知向量a=(cosx，sinx)，b=(3，-3)，x∈[0，π]，若f(x)=a·b，则f(x)的取值范围为.

答案精析例1C[方法一(基底法)∵∠ABC=90°，F为AB的中点，CB=8，AB=12，∴FA=FB=6，∴CF=FB2又CE=3，∴EF=CF-CE=7，∴EA·EB=(EF+FA)·(EF+FB)=(EF+FA)·(EF-FA)=EF2-=49-36=13.方法二(坐标法)建立如图所示的平面直角坐标系，则A(12，0)，B(0，0)，C(0，8)，F(6，0).在Rt△CBF中，CF=CB2又CE=3，所以CE=310CF即FE=710CF则BE=BF+FE=BF+7=(6，0)+710(-6，8)=9同理AE=-51所以EA=515EB=-9则EA·EB=51×-95+-28跟踪训练1(1)解①因为a与b同向，设a=kb(k>0)，因为b=(3，-3)，所以|b|=(3)2所以k=|a||则a=33(3，-3)=(1，-②因为|a-2b|=27，所以(a-2b)2=a2-4a·b+4b2=28.又|a|=2，|b|=23，所以|a|2-4a·b+4|b|2=4-4a·b+4×12=28，所以a·b=6.设a与b的夹角为θ，则cosθ=a·b|a||又θ∈[0，π]，则θ=π6所以a与b的夹角为π6(2)B[以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，1)，M(1，1)，N2，所以ND=-2，MN=1，-12=(-2)×1+12×-12=-例2解(1)因为a⊥b，所以a·b=3sinx-cosx=0，于是tanx=sinxcosx又x∈[0，π]，所以x=π6(2)f(x)=a·b=(sinx，cosx)·(3，-1)=3sinx-cosx=2sinx-因为x∈[0，π]，所以x-π6∈-从而-1≤2sinx-π6于是，当x-π6=π2，即x=f(x)取到最大值2；当x-π6=-π6，即xf(x)取到最小值-1.跟踪训练2(1)证明由题意得|a-b|2=2，即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2，又因为a2=|a|2=1，b2=|b|2=1，所以2-2a·b=2，即a·b=0，故a⊥b.(2)解因为a+b=(cosα+cosβ，sinα+sinβ)=(0，1)，所以cosα由①得cosα=cos(π-β)，由0<β<α<π，得0<π-β<π，又0<α<π，故α=π-β，代入②可得sinα=sinβ=12而α>β，所以α=5π6，β=π所以cos(α-β)=cos5π=cos2π3=-1例3证明如图，在平面直角坐标系Oxy中，作单位圆O，令单位圆与x轴正半轴交点为A，以x轴的非负半轴为始边作角α，2α，使它们的终边与单位圆分别交于点C和点B，连接AB交OC于点M，则OC=(cosα，sinα)，OB=(cos2α，sin2α)，∵OA=OB=1，∠AOC=∠BOC=α，∴OM⊥AB，AM=BM，∴AB=2AM=2sinα，取与y轴平行的单位向量为j，∴j·OB=sin2α，∵OB=OA+AB，∴j·OB=j·(OA+AB)=j·OA+j·AB=j·AB=|j||AB|cosπ=|AB|cosα=2sinαcosα，∴sin2α=2sinαcosα.跟踪训练3(1)①证明因为A(2，0)，B(10，0)，C(11，3)，D(10，6)，所以BA=(-8，0)，BC=(1，3)，DA=(-8，-6)，DC=(1，-3)，得cos∠ABC=BA=-8810=-cos∠ADC=DA·DC=1010所以cos∠ABC+cos∠ADC=0.②证明由PA=PB=PC=PD知，点P为四边形ABCD外接圆的圆心.因为AB=(8，0)，BD=(0，6)，AC=(9，3)，CD=(-1，3)，所以AB·BD=0，AC·CD=0，所以AB⊥BD，AC⊥CD，四边形ABCD外接圆的圆心为AD的中点，所以点P的坐标为(6，3)，即存在点P，使得PA=PB=P