小学数学第六章　6.4.3　第1课时　余弦定理

6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理学习目标1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.3.能够利用余弦定理判断三角形的形状.一、余弦定理的推导问题1在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c？问题2类比问题1的推理过程，请分别写出用b，c和A表示a以及用a，c和B表示b的相应的表达式.问题3在问题2的探究成果中，若A=90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？问题4在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，请从问题1和问题2得到的三个表达式中推导出确定三个角余弦值的公式.知识梳理1.余弦定理语言叙述三角形中任何一边的平方，等于其他两边减去这两边与它们夹角的

公式在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有a2=，

b2=，

c2=

推论cosA=，

cosB=，

cosC=

2.一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.二、已知两边及一角解三角形例1在△ABC中，已知b=5，c=15，B=30°，解这个三角形.反思感悟已知三角形的两边及一角解三角形的方法已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.跟踪训练1(1)在△ABC中，C=2π3，AB=7，BC=3，则AC等于(A.92 B.5 C.11(2)在△ABC中，BC=a，AC=b，且a+b=23，ab=2，2cos(A+B)=1，则C的大小为，AB=.三、已知三边解三角形例2在△ABC中，已知a=26，b=6+23，c=43，求A，B，C的大小.反思感悟(1)已知三角形的三边解三角形的方法①利用余弦定理的推论求出三个角的余弦值，进而求出三个角.②先利用余弦定理的推论求出两个角的余弦值，进而确定两个角，再结合内角和定理，确定第三个角.(2)已知三边确定最大或最小的内角的理论依据是“大边对大角”，这一点在比较三角形内角的大小和判断三角形形状时比较有用.跟踪训练2(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=3，b+c=3，bc=94，则cosA等于(A.13 B.23 C.1(2)在△ABC中，若a∶b∶c=1∶3∶2，求A，B，C.四、利用余弦定理判断三角形的形状问题5在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A为直角，则a，b，c有什么大小关系？若角A为锐角呢？若角A为钝角呢？例3在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据条件，试判断△ABC的形状.(1)若B=60°，2b=a+c.(2)已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cosAsinB=sinC.反思感悟(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，常有两种方式：①先化边为角；②先化角为边.(2)①判断△ABC为锐角三角形时，有一个角为锐角，不能说明该三角形为锐角三角形，需要说明三个角均为锐角或最大角为锐角；②判断△ABC为钝角(或直角)三角形时，只要有一个角是钝角(或直角)即可.(3)统一成边或角的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解.(4)余弦定理的重要变形：a2+b2-c2=2abcosC；b2+c2-a2=2bccosA；a2+c2-b2=2accosB.跟踪训练3(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60°，a2=bc，则△ABC一定是()A.等腰直角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2a-b=2ccosB，cosA+cosB=1，则△ABC一定是()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.无法确定1.知识清单：(1)余弦定理.(2)余弦定理解决的两类问题.(3)应用余弦定理判断三角形的形状.2.方法归纳：转化化归、数形结合.3.常见误区：易忽略三角形中的隐含条件.1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值为-35，则三角形的另一边长为(A.13 B.213 C.7 D.42.(多选)下列说法中正确的是()A.在三角形中，已知两边及其中一边的对角，不能用余弦定理解三角形B.余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形C.利用余弦定理可以解决已知三角形三边求角的问题D.在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例3.在△ABC中，a=7，b=43，c=13，则△ABC的最小角为()A.π3 B.π6 C.π44.在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=-14，则b=

答案精析问题1如图，设CB=a，CA=b，AB=c，那么c=a-b， ①我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|，联想到数量积的性质c·c=|c|2，可以考虑用向量c(即a-b)与其自身作数量积运算.由①得|c|2=c·c=(a-b)·(a-b)=a·a+b·b-2a·b=a2+b2-2|a||b|cosC.所以c2=a2+b2-2abcosC.问题2类比问题1的推理过程，同理可得a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2cacosB.问题3a2=b2+c2，即勾股定理，勾股定理是余弦定理的一个特例.问题4cosA=b2cosB=a2cosC=a2知识梳理1.平方的和余弦的积的两倍b2+c2-2bccosAc2+a2-2cacosBa2+b2-2abcosCb2+c2例1解由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得(5)2=a2+(15)2-2a×15×cos30°，即a2-35a+10=0，解得a=5或a=25.当a=5时，A=30°，C=120°；当a=25时，a2=20=b2+c2，所以该三角形为直角三角形，且A=90°，C=60°.跟踪训练1(1)B(2)2π3例2解根据余弦定理的推论，得cosA=b=(6+2=32∵A∈(0，π)，∴A=π6cosC=a=(2=22∵C∈(0，π)，∴C=π4∴B=π-A-C=π-π6-π4=∴A=π6，B=7π12，C=跟踪训练2(1)A(2)解∵a∶b∶c=1∶3∶2，可设a=x，b=3x，c=2x(x>0)，由余弦定理的推论得，cosA=b2+c2-∵0<A<π，∴A=π6cosB=c=4x2+∵0<B<π，∴B=π3∴C=π-(A+B)=π2问题5A为直角⇔a2=b2+c2；A为锐角⇔b2+c2>a2；A为钝角⇔b2+c2<a2.例3解(1)在△ABC中，因为B=60°，b=a+由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB，所以a+c22=a2+c2-2ac整理，得(a-c)2=0，所以a=c.又B=60°，所以a=b=c，所以△ABC为等边三角形.(2)由2cosAsinB=sinC，得2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，所以sinAcosB-cosAsinB=0，所以s