小学数学第六章　章末复习课

章末复习课一、向量的线性运算1.向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法和数乘运算.从形式上看，向量的线性运算类似于实数与多项式的运算法则，所以实数与多项式运算中的去括号、移项、合并同类项等规则在向量的线性运算中都可以使用.但这种相似仅仅是体现在形式上，在具体意义上则有明显不同，比如向量加法的运算法则是三角形法则和平行四边形法则等.本部分主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参问题.2.通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养.例1(1)已知向量a=(1，-2)，b=(m，4)，且a∥b，那么2a-b等于()A.(4，0) B.(0，4)C.(4，-8) D.(-4，8)(2)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2CD，E为线段AD的中点，且BF=14AB，则EF等于(A.12DC+BC B.1C.DC+12BC D.DC反思感悟(1)向量线性运算的基本原则向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.(2)向量平行的等价条件设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0.(3)三点共线的等价条件A，B，C三点共线⇔存在λ∈R，使得AB=λAC成立⇔存在m，n∈R，使得OA=mOB+nOC成立，其中m+n=1.跟踪训练1如图所示，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC=λAM+μBD，则λ+μ等于()A.43 B.C.158 D.二、向量的数量积运算1.平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等.2.通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养.例2(1)设向量a，b是非零向量，且|a|=2|b|，向量a在向量b上的投影向量为-2b，若(λa+b)⊥(a-b)，则实数λ的值为()A.12 B.13 C.23(2)设四边形ABCD为平行四边形，|AB|=6，|AD|=4，若点M，N满足BM=3MC，DN=2NC，则AM·NM=.(3)在平行四边形ABCD中，若AB=2，AD=1，AB·AD=-1，点M在边CD上，则MA·MB的最大值为.反思感悟(1)向量数量积的两种计算方法①定义法：当已知向量的模和夹角θ时，a·b=|a||b|cosθ，有时需要注意结合平面向量基本定理和向量共线定理去表示向量；②坐标法：当已知向量的坐标a=(x1，y1)，b=(x2，y2)时，a·b=x1x2+y1y2.(2)利用向量数量积可以解决以下问题设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，①两向量垂直的等价条件a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0(a，b均为非零向量)；②求向量的模的问题|a|=x1③两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量)cosθ=a·b|跟踪训练2(1)若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足CM=13CB+12CA，则AM·BMA.-152 B.-2 C.15(2)已知平面向量a=(2，λ)，b=(1，-2)，c=(-1，μ)，若a∥b，b⊥c，则a+b与b+c所成角的余弦值为.三、余弦定理、正弦定理1.主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判断三角形的形状、求三角形的面积，以及余弦定理、正弦定理与三角恒等变换公式的综合应用.2.借助解三角形，培养逻辑推理、数学运算素养.例3在①b2+2ac=a2+c2；②acosB=bsinA；③sinB+cosB=2，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解决问题.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，A=π3，b=2，求△ABC的面积反思感悟(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a=2RsinA，a2+b2-c2=2abcosC等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sinA=sinB⇔A=B；sin(A-B)=0⇔A=B；sin2A=sin2B⇔A=B或A+B=π2等(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sinA=a2R，cosA=b跟踪训练3已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinC=csinB+(1)求A；(2)已知b=1，c=3，且边BC上有一点D满足S△ABD=3S△ADC，求AD.四、正弦、余弦定理在实际问题中的应用1.余弦定理和正弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验.2.将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养.例4一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山脚C在西偏北α方向上，行驶akm后到达B处，此时测得此山脚C在西偏北β方向上，在B处看到山顶D的仰角为γ，根据这些测量数据计算(其中β>α)此山的高度是()A.asinαsinC.asinβsin反思感悟正弦、余弦定理在实际应用中应注意的问题(1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图.(2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等.(3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形.(4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累.跟踪训练4某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高.

答案精析例1(1)C(2)D跟踪训练1B例2(1)A(2)9(3)2跟踪训练2(1)B(2)2例3解若选择条件①b2+2ac=a2+c2，则由余弦定理的推论，得cosB=a2+c2-因为B∈(0，π)，所以B=π4由正弦定理asinA=得a=bsinAsinB=因为A=π3，B=π所以C=π-π3-π4=所以sinC=sin5π12=sin=sinπ4cosπ6+cosπ4=6+所以S△ABC=12absin=12×3×2×=3+3若选择条件②acosB=bsinA，则由正弦定理，得sinAcosB=sinBsinA，因为A∈(0，π)，所以sinA≠0，所以sinB=cosB，因为B∈(0，π)，所以B=π4下同①.若选择条件③sinB+cosB=2，则2sinB+π4所以sinB+π因为B∈(0，π)，所以B+π4∈π所以B+π4=π2，所以B=下同①.跟踪训练3解(1)由已知及正弦定理，得sinAsinC=sinCsinB+又因为sinB+C2=cosA2所以sinAsinC=sinCcosA2因为sinC≠0，所以sinA=cosA2所以2sinA2cosA2=cos因为0<A2<π2，所以cosA2所以sinA2=12，即A2所以A=π3(2)设∠BDA=α，则∠ADC=π-α，在△ABC中，由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=12+32-6cosπ3=7解得a=7.因为S△ABD=3S△ADC，所以BD=3DC=37在△ABD中，由余弦定理，得9=6316+AD2-372·AD·cosα在△ADC中，由余弦定理，得1=716+AD2-72·AD·cos(π-α)，由①②解得AD=33例4B跟踪训练4解如图所示，设AE为塔，B为塔正东方向一点，沿南偏西60°的方向前进40m到达C处，即BC=40，∠CAB=135°，∠ABC=30°，∠ACB=15°.在△ABC中，ACsin∠ABC=即ACs