芜湖一中高一自主招生考试数学试卷及答案

芜湖一中高一自主招生考试数学试卷及答案芜湖一中高一自主招生考试数学试卷及答案芜湖一中高一自主招生考试数学试卷及答案芜湖一中２01３年高一自主招生考试数学试卷一、选择题（本大题共7个小题，每小题6分，共４2分）在△ABＣ中，∠C=９０°,∠B的平分线交ＡC于D则=：A。 B。 C。ﻩﻩＤ.在分别标有号码2，3，４，…,１0的9张卡片中，随机取出两张卡片，记下它们的标号，则较大标号被较小标号整除的概率是:A． ﻩ B． ﻩC。 D．已知梯形AＢCD的四个顶点的坐标分别为,，,，直线将梯形分成面积相等的两部分,则k的值为:A．ﻩﻩﻩＢ．ﻩﻩﻩＣ．ﻩ ﻩD．如图，三个全等的正方形内接于圆，正方形的边长为１6,则圆的半径为：A. ﻩB．ﻩﻩC. ﻩＤ。５。若自然数使得作竖式加法时均不产生进位现象，便称为“好数”。如因为12+13+１4不产生进位现象，所以1２是“好数";但13+14+１5产生进位现象，所以13不是“好数”,则不超过10０的“好数”共有：A.９个ﻩ ﻩB．11个ﻩ ﻩC．12个ﻩ ﻩD.15个函数的图象与轴的交点个数是：A.4 ﻩ ﻩＢ．３ﻩ C．1ﻩ ﻩＤ.0已知实数、满足，则的最大值为:A．5０ﻩﻩﻩB．45 ﻩﻩＣ．４0 ﻩﻩD.10二、填空题（本大题共6个小题，每小题7分，共42分）已知关于x的方程有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是xy函数的最小值为．xy如图,点Ａ、C都在函数的图象上,点B、D都在轴上，且使得△ＯAB、△ＢCD都是等边三角形,则点D的坐标为．若实数、分别满足,，则的值为.二次函数的图象如图所示,是图象上的一点，且,则的值为。(第1３题图①）(第１3题图②)将两个相似比为:的等腰直角三角形如图①放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合绕点旋转小直角三角形，使它的斜边与交于点，的延长线与交于点，如图②若,则=。三、解答题(本大题共5个小题，计66分，写出必要的推算或演算步骤)（本题1２分)一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶。在某一时刻，客车在前,小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了1０分钟,小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车问再过多少分钟,货车追上了客车？已知为整数，给出如下三个关于方程：① ②ﻩﻩ③若方程①有两个相等的实数根,方程②③有且仅有一个方程有两个不相等的实数根，求的值．(本题14分）已知如图，抛物线与ｘ轴相交于B(，0）、C（，0）(均大于0)两点,与ｙ轴的正半轴相交于A点．过Ａ、B、C三点的⊙P与y轴相切于点A,其面积为。（１）请确定抛物线的解析式；（2）M为y轴负半轴上的一个动点，直线MＢ交⊙P于点D.若△AＯB与以A、B、Ｄ为顶点的三角形相似，求MB•ＭＤ的值．（先画出符合题意的示意图再求解)．(本题14分)如图，已知菱形AＢCＤ，∠B=６0°△ADC内一点M满足∠AMC=１20°,若直线ＢA与CM交于点，直线BC与AM交于点Q，求证：P、Ｄ、Q三点共线(本题14分）某寄宿制学校的一间宿舍里住着若干名学生,其中一人担任舍长元旦时,该宿舍里的每名学生互赠一张贺卡，且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡,每位管理员也回赠舍长一张贺卡，这样共用去了51张贺卡，问这间宿舍里住有多少名学生？芜湖一中2013年高一自主招生考试数学参考答案一、选择题（本大题共7个小题,每小题6分，共42分）题号１２34５６7答案ACＡDCBB二、填空题（本大题共６个小题，每小题7分，共４2分）8。9。５10。1１。12。１３。三、解答题（本大题共5个小题，计６6分，写出必要的推算或演算步骤）１4．解:设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为千米,小轿车、货车、客车的速度分别为(千米/分），并设货车经分钟追上客车，由题意得…………6分∴，∴.……………………１0分故3０－1０-５=15(分）．答：再过15分钟,货车追上了客车。……………………12分15。解：依题意得或……4分由(1）得代入（2）、（3）得或无解………………7分又m，n为整数，或当时，；当时,（舍)，则……………１2分16。（1)解：根据题意知：圆半径PA=，取BC中点为E，连接PB，ＰE，则且PＢ＝PA＝，PO=OＡ=2，由勾股定理和圆性质知:BE=CE=从而知：…………3分将Ｂ，C两点坐标代入抛物线方程,可得:抛物线的解析式是：……6分（2)根据题意∠OAＢ=∠ADB，所以△ＡＯB和△ABD相似有两种情况①∠ABD和∠AOＢ对应，此时AD是⊙P的直径则ＡB=,AD=5,ＢD＝２∽∴MA：ＡD=ＡＢ:ＢD即MA=又∽∴ＭＡ：ＭD=MＢ：MA即MB·ＭD=ＭA2=……………………１0分②∠BAD和∠AＯB对应，此时BD是⊙P的直径，所以直线MB过P点∵B(1，0），P(∴直线ＭB的解析式是：∴Ｍ点的坐标为(0,）∴AM=由△MAB∽△MＤA得MA：MD=ＭB:ＭＡ∴ＭＢ·MD=ＭA2=………………14分１7．证:连结．易证∽，∽,……3分∴，．∴,………………７分∵，∴，∵,∴∽，…………1０分∴，∴，∴P、Ｄ、Q三点共线．……………………14分18.解：这间宿舍住着名学生，名管理员，由题意得,………4分化简得,则,∵,∴必为完全平方数.………6分设，则,其中和具有相同的奇偶性,且