小学数学第六章　周末练4　章末检测试卷一(第六章)

周末练4章末检测试卷一(第六章)(分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1.下列说法中正确的是A.|AB|与线段BA的长度不相等B.对任一向量a，|a|>0总是成立的C.|AB|=|BA|D.若a∥b，且|a|=1014，|b|=1010，则|a+b|=20242.设x，y∈R，向量a=(x，1)，b=(1，y)，c=(2，-4)且a⊥c，b∥c，则|a+b|等于A.5 B.25 C.10 D.103.已知a，b是两个不共线的向量，设AB=22(a+5b)，BC=-2a+8b，CD=3(a-b)，则共线的三点是A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D4.在▱ABCD中，点E满足DE=-2CE，且O是边AB的中点.若AE交DO于点M，且AM=λAB+μAD，则λ+μ等于A.32 B.57 C.535.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=60°，a+2b=8，sinA=6sinB，则c等于A.35 B.31 C.6 D.56.一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔在其南偏东70°方向，在B处观察灯塔在其北偏东65°方向，那么B，C两点间的距离是A.103海里 B.102海里C.203海里 D.202海里7.已知△ABC的三边长分别是a，b，c，若a2+b2=c2，则△ABC的形状是A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.以上都有可能8.如图所示，半圆的直径AB=4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(PA+PB)·PCA.2 B.0 C.-1 D.-2二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是A.若A>B，则sinA>sinBB.若A=30°，b=4，a=3，则△ABC有两解C.若△ABC为钝角三角形，则a2+b2<c2D.若A=60°，a=2，则△ABC面积的最大值为310.下列关于平面向量的说法正确的是A.已知a，b均为非零向量，若a∥b，则存在唯一的实数λ，使得a=λbB.已知非零向量a=(1，2)，b=(1，1)，且a与a+λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是-C.若a·c=b·c且c≠0，则a=bD.若点G为△ABC的重心，则GA+GB+GC=011.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是A.若AM=13AB+13AC，则点MB.若AM=2AB-AC，则点M在边BC的延长线上C.若2AM=xAB+yAC，且x+y=1，则△MBC的面积是△ABC面积的1D.已知平面向量，满足MA·MB=MA·MC，AM=λAB|AB|+AC|AC|，且点三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.已知向量a，b满足|b|=5，|a+b|=4，|a-b|=6，则向量a在向量b上的投影向量为.13.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且BE=23BC，DF=16DC，则AE·14.如图，为测塔高PA，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为θ，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为2θ，再由D向塔前进103米后到点E，测得塔顶的仰角为4θ，则θ=，塔高为米.四、解答题(本题共5小题，共77分)15.(13分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1，2).(1)若c=(2，λ)，且c∥a，求|c|；(6分)(2)若b=(1，1)，且ma-b与2a-b垂直，求实数m的值.(7分)16.(15分)某货船在航行中遭海盗袭击，发出求救信号.如图，海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向前行驶，海军护航舰立即以103海里/时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间.17.(15分)如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC=75°，AD=5，AB=7，∠BDA=60°，∠BCD=135°.(1)求BD的长；(7分)(2)求CD的长.(8分)18.(17分)(2024·新课标全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC=2cosB，a2+b2-c2=2ab.(1)求B；(8分)(2)若△ABC的面积为3+3，求c.(9分)19.(17分)如图所示，在△ABC中，AQ=QC，AR=13AB，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点(1)用AB和AC分别表示BQ和CR；(4分)(2)如果AI=AB+λBQ=AC+μCR，求实数λ和μ的值；(6分)(3)确定点P在边BC上的位置.(7分)

答案精析1.C2.C3.A4.B5.B6.B7.A[由a2+b2=c2，可知c>a且c>b，则在△ABC中，边c所对的角为最大角，其余弦值为(a)2又∵a2+b2=c2，∴(a+b)2=c2+2ab>c2，∴a+b>c，故边c对应的角为锐角.∴△ABC为锐角三角形.]8.D[由平行四边形法则得PA+PB=2PO，故(PA+PB)·PC=2PO·PC，|PC|=2-|PO|，且PO，PC方向相反，设|PO|=t(0≤t≤2)，则(PA+PB)·PC=2PO·PC=-2t(2-t)=2(t2-2t)=2[(t-1)2-1].因为0≤t≤2，所以当t=1时，(PA+PB)·PC取得最小值，最小值为-2.]9.ABD10.AD[对于选项A，由向量共线定理知选项A正确；对于选项B，a+λb=(1，2)+λ(1，1)=(1+λ，2+λ)，若a与a+λb的夹角为锐角，则a·(a+λb)=1+λ+2(2+λ)=5+3λ>0，解得λ>-53当a与a+λb共线时，2+λ=2(1+λ)，解得λ=0，此时a=(1，2)，a+λb=(1，2)，此时a与a+λb的夹角为0，不符合题意，所以实数λ的取值范围是-53,0∪(0，+∞)对于选项C，若a·c=b·c，则c·(a-b)=0，因为c≠0，则a=b或c与a-b垂直，选项C错误；对于选项D，若点G为△ABC的重心，延长AG与BC交于点M，则M为BC的中点，所以AG=2GM=2×12(GB+GC)=GB所以GA+GB+GC=0，选项D正确.]11.ACD[对于A，如图，设BC的中点为D，若AM=13AB+13(AB+AC)=13×2AD=23AD，则点M对于B，若AM=2AB-AC，即有AM-AB=AB-AC，即BM=CB，则点M在边CB的延长线上，故B错误；对于C，如图，若2AM=xAB+yAC，且x+y=1，由图可得M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的12，故C对于D，因为MA·MB=MA·MC，所以MA·MA=MA·MA+即MA·AB=MA·AC，所以MAAB·cos∠=MAACcos∠CAM因为AM=λABAB所以点M在∠BAC的角平分线上，所以∠BAM=∠CAM，所以cos∠BAM=cos∠CAM，所以|AB|=|AC|，所以△ABC为等腰三角形，故D正确.]12.-1513.29解析作CO⊥AB于点O，建立如图所示的平面直角坐标系，则A-32,0，B12,0，C所以E16,33所以AE=53,33，所以AE·AF=53,33·23,314.π12解析由题意，得∠CPD=∠EDP-∠DCP=2θ-θ=θ，∠DPE=∠AEP-∠EDP=4θ-2θ=2θ，∴PD=CD=30，PE=DE=103.在△PDE中，由余弦定理的推论，得cos2θ=P=302+(103∴2θ=π6，∴θ=π12，4θ=∵sin4θ=PAPE∴PA=PE·sin4θ=103×32=15故塔高为15米.15.解(1)因为c∥a，a=(1，2)，c=(2，λ)，所以2×2-1×λ=0，解得λ=4，即c=(2，4)，所以|c|=22+4(2)因为a=(1，2)，b=(1，1)，所以ma-b=(m-1，2m-1)，2a-b=(1，3).因为ma-b与2a-b垂直，所以(ma-b)·(2a-b)=0，即(m-1)×1+(2m-1)×3=0，解得m=4716.解设所需时间为t小时，则BC=10t，AB=103t.在△ABC中，∠ACB=45°+(180°-105°)=120°，根据余弦定理，得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB，可得(103t)2=102+(10t)2-2×10×10t×cos120°，整理得2t2-t-1=0，解得t=1或t=-12(舍去)故护航舰需1小时靠近货船.此时AB=103，BC=10，又AC=10，所以∠CAB=30°，所以护航舰航行的方位角为75°.17.解(1)在△ABD中，AD=5，AB=7，∠BDA=60°，由余弦定理可得，AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠BDA，即49=25+BD2-2×5·BD·cos60°，则BD2-5BD-24=0，解得BD=8(BD=-3舍去).(2)在△BCD中，∠BDC=∠ADC-∠BDA=75°-60°=15°，又∠BCD=135°，则∠CBD=180°-135°-15°=30°.由(1)得BD=8，由正弦定理得CDsin∠CBD=即CDsin30°=8解得CD=42.18.解(1)由余弦定理有a2+b2-c2=2abcosC，因为a2+b2-c2=2ab，所以cosC=22因为C∈(0，π)，所以sinC>0，从而sinC=1-co=1-222又因为sinC=2cosB，即cosB=12又B∈(0，π)，所以B=π3(2)由(1)可得B=π3，cosC=22，C∈(0，π从而C=π4sinA=sin(B+C)=sinπ=32×22+12×2方法一由正弦定理有bsinπ3从而b=32·2c=62由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为S△ABC=12bc·sin=12·62c·c·6+24由已知△ABC的面积为3+3，可得3+38c2=3+3，所以c=2方法二记R为△ABC外接圆的半径，由正弦定理得S△ABC=12ab·sin=2R2sinAsinBsinC=2R2·6+24·=3+34·R2=3+所以R=2.所以c=2R·sinC=2×2×22=2219.解(1)由AQ=12可得BQ=BA