现代理论控制 5

1线性定常系统的综合第五章2第一节

线性反馈控制系统的基本结构带输出反馈结构的控制系统带状态反馈结构的控制系统带状态观测器结构的控制系统解耦控制系统3将系统的输出量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考输人一起，其(代数)和作为受控系统的控制输入。一、带输出反馈结构的控制系统4将系统的输出量乘以相应的负反馈系数，馈送到输入矩阵B后。5

状态反馈：将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考输人相加，其代数和作为受控系统的控制输入。二、带状态反馈结构的控制系统6

状态重构：不是所有的系统状态物理上都能够直接测量得到。需要从系统的可量测参量，如输入u和输出y来估计系统状态。状态观测器：状态观测器基于可直接量测的输出变量y和控制变量u来估计状态变量。三、带状态观测器结构的控制系统7解耦问题：

如何将一个多变量耦合系统，解耦成多个互不相关的单变量系统的组合。目的是使一个输入仅控制一个输出。

四、解耦控制系统解耦:每一个输出都受多个输入的影响一个输入仅控制一个输出8一、反馈至输入矩阵B后端的系统将系统的输出量乘以相应的反馈系数，馈送到状态微分处。

第二节

带输出反馈系统的综合9原受控系统：1、系统数学模型输出反馈控制规律：输出反馈系统状态空间描述为：闭环系统的特征多项式闭环系统的特征方程(5-4)

(5-3)

10定理：极点任意配置条件为，原系统状态可观测。定理证明：系统能观测，则定能化为能观测标准型。能观测标准型：2、极点配置引入反馈阵：极点配置：通过反馈增益矩阵K的设计，将加入状态反馈后的闭环系统的极点配置在S平面期望的位置上。11可见反馈后，仍然为能观测标准型。系统特征方程为：由于反馈阵可以任意选择，所以特征值可以任意配置。按式(5-3),可求得能观测标准型下的反馈系统矩阵：

(5-5)12极点配置方法：。结论：输出到状态微分处的反馈不改变系统能观性，不改变系统的极点。

说明：任意配置后，有可能发生零极点对消，导致能观能控性变化。(1)判断系统能观性。如果状态完全能观，化为能观标准型。(2)按式（5-5）求出闭环特征多项式(方程)

。（5-5）13(4)令闭环特征多项式与期望闭环特征多项式相等

通过比较等式两边的系数，可求出能观标准型下的相应反馈系数。（5)通过式（5-9）进行变换，得到对应原状态下的输出反馈矩阵中的各反馈系数。(3)依期望极点，按式（5-7）求出期望闭环特征多项式例5-1（见教材）14二、反馈至输入矩阵B前端的系统将系统的输出量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考输人相加，差值作为受控系统的控制输入。15原受控系统：输出反馈控制规律：输出反馈系统状态空间描述为：1、系统数学模型闭环传递函数矩阵为：161、这种结构不能进行任意的极点配置。(证明略)

有文献指出,关于输出反馈的这种结构,可以任意配置极点的数目数p的问题,有如下定理(证明略)。定对能控能观的线性定常系统Σ(A,B,C),可采用静态输出反馈进行“几乎”任意接近地配置p=min{n,m+r-1}个极点。

n,m,r分别为状态空间、输出空间和输入空间的维数,“几乎”任意接近地配置极点的意义为可以任意地接近于指定的期望极点位置,但并不意味着能确定配置在指定的期望极点位置上。值得注意:2、状态完全能控能观的n阶系统,采用(n.-1)阶补偿器的这种结构,能进行任意的极点配置17

状态反馈：将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。第三节带

状态反馈系统的综合一、状态反馈系统18原受控系统：

线性反馈规律：状态反馈闭环系统：一般D=0，可化简为：1、系统的数学描述19状态反馈闭环传递函数矩阵为特征方程为：（5-14）

式（5-14）表明，可通过选择状态反馈系数去改变特征方程的系数从而改变闭环极点。202、极点配置(1)闭环极点任意配置的条件定理5-4：(极点配置定理)对线性定常系统进行状态反馈，反馈后的系统其全部极点得到任意配置的充要条件是系统状态完全能控。定理证明见教材(2)极点配置算法1)判断系统能控性。如果状态完全能控，化为标准型。2)求闭环系统的特征多项式：213)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写出期望特征多项式。4)由确定反馈矩阵K：例考虑线性定常系统试设计状态反馈矩阵K，使闭环系统的极点为-2±j4和-10。22解（1）先判断该系统的能控性实际上，原系统己为能控标准型。（2）计算闭环系统的特征多项式设状态反馈增益矩阵为：23（3）计算期望的特征多项式（4）确定K阵求得：所以状态反馈矩阵K为：二、带积分控制的状态反馈系统设计状态反馈可实现闭环系统极点的任意配置，使系统具有理想的动态性能。当系统对稳态误差有要求时，可在误差输出端的后面加入“积分器”控制，便能使系统对参考和干扰输入时的稳态误差都为零。单输入-单输出系统带积分控制的状态反馈结构，如图所示。把误差的积分视为一个附加的状态变量系统的控制信号由图可写出系统的状态空间表达式

上式中的第一项为状态负反馈信号，第二项是为改善稳态性能而引入的误差积分信号。控制u代入状态方程，带积分控制的状态反馈闭环系统的状态空间表达式为闭环系统的特征方程为有文献证明，状态反馈带积分控制后的闭环系统,不但能使参考、扰动同时阶跃作用下引起的误差为零，而且会使系统有更好的动态性能。（5-21）28三、状态反馈下闭环系统的镇定问题镇定的概念：一个控制系统，如果通过反馈使系统实现渐近稳定，即闭环系统极点具有负实部，则称该系统是能镇定的。如果采用状态反馈来实现这种渐近稳定，则称系统是状态反馈能镇定的。定理5-5：如果线性定常系统不是状态完全能控的，则它状态能镇定的充要条件是：不能控子系统是渐近稳定的。定理解释：因为状态反馈不能影响不能控子系统的极点，所以闭环极点全部具有负实部就要求不能控的子系统的极点应具有负实部可以.29第四节状态重构与状态观测器的设计状态重构：不是所有的系统状态物理上都能够直接测量得到。若状态变量x(t)不能完全直接测量到,构造一个相应的系统去估计出原系统的状态变量x(t)。

状态观测器：状态观测器基于可直接量测的输出变量y和控制变量u来估计状态变量，是一个物理可实现的模拟动力学系统。30利用仿真技术来构造一个和被控系统有同样动力学性质(即有同样的系数矩阵A,B和C)的系统来重构被控系统的状态变量。这种开环式重构出来的状态，易受干扰，准确性差。一、全维状态观测器的设计31为了提高估计精度，常采用闭环式的状态观测器。闭环式的状态观测器下面分析原理32原系统的状态空间表达式输出误差设有状态估计误差状态观测器的状态空间表达式

（5-22）（5-24）33

利用输出误差，通过一反馈矩阵对观测器进行校正，构成一闭环式的状态观测器。由闭环式的状态观测器可写出其状态方程。特征多项式由上面相关式，可求出误差状态方程误差状态方程的解（5-25）（5-27）（5-26）（5-28）34误差状态方程的解表明：（1）当观测器状态与原系统状态相同时，（2）当观测器状态与原系统状态不相同时，只要.的特征值均具有负实部时，一定可以使即状态渐近相等。（3）若的特征值可以任意配置，那么状态估计误差趋于零的速度也就可以任意选择。定理5-6：线性定常系统的状态观测器极点任意配置，即具有任意逼近速度的充要条件是，原系统为状态完全能观测。35(3)写出状态观测器的期望特征多项式：(2)求观测器的特征多项式：(4)由确定状态观测器的反馈矩阵：(1)判断系统能观测性，若状态完全能观测，按下列步骤继续。状态观测器的设计步骤36二、降维状态观测器的设计实际上，对于n阶系统,若有

m维输出,就有m个变量可以通过传感器直接测量得到。如果选择该m个变量作为状态变量，则这部分变量不需要进行状态重构。观测器只需要估计n-m个状态变量即可。n-m维降维观测器，或最小阶观测器。

1)先对系统进行结构分解。把不能观察的这部分的状态空间描述分解出来。降维状态观测器的设计方法有几种,下面介绍其中一种,其设计方法及步骤如下：37非奇异变换：由输出可看出，可直接由输出检测到的。（5-29）由上式有（5-31）（5-32）38在式（5-31）中，由于u和是可测的，两项合在一起，令为M则式（5-31）可写为（5-33）（5-33）（5-34）令（5-35）

式(5-34)状态方程中,M可视为输入,是己知的。这样,若把式(5-35)中Z视为输出量,输出矩阵，则式(5-34)、(5-35)就可看是原系统的一个不可测量的（n-m）维的子系统了。39

为了检测到（n-m）维子系统的状态变量，就需要一个（n-m）维的观测器。对子系统而言的观测器，实际上就是“全维的观测器”，对其（n-m）状态重构。完全可按上节的“全维观测器”的设计方法，去设计这“降维观测器”。（5-33）2)彷照全维观测器的设计方法,设计降维观测器记不可测的子系统为，其状态空间式为

将设计全维状态观测器的系统状态空间式与相对比,有如下关系：(5-40)重写全维状态观测器的状态方程(5-25)式(5-40)代入上式(5-41)同样，可通过选择反馈矩阵G将系统矩阵的特征值配置在任意期望极点,的位置上。为了在原系统中实现状态反馈,应消去式(5-41)中的中间变量M和Z。用式

(5-33)和(5-36)代入式(5-41),状态观测器的状态方程为（5-42)上式中出现导数,物理上难实现,应设法消去,为此引入一变量（5-43)将式(5-43)、(5-44)代入(5-42),经整理后可得观测器状态方程式(5-45)(5-45)令(5-46)代入式(5-45)

式(5-46)与(5-42)是完全等价的。由式(5-46)可画出带降维观测器的结构图5-18。43图5-18带降维观测器的系统状态结构图由式5-43,观测器的状态为下面分析状态估计的误差与观测器方程系数矩阵关系。式(5-31)、(542)代入上式，并经整理后将式(5-36）、（5-35）代入上式(5-48）上式(5-48)微分方程式的解为

由于子系统是能观测的,故一定可以通过选择G使矩阵的特征值任意配置,使估值误差尽快衰诚到0。反馈矩阵G的选择与全维状态观测器相同。

例题5-6

46第五节

带观测器状态反馈系统的综合一、系统的结构与数学模型状态观测器的建立，为不能直接量测的状态反馈提供了条件。带有状态观测器的状态反馈系统由原系统及观测器共同构成的组合系统组成。如图所示。47能控能观的系统状态空间描述为（5-49）.状态观测器系统的状态空间方程，由（5-25）采用由状态观测器重构的状态，通过反馈矩阵K负回馈至参考信号（5-52）（5-51）

带全维状态观测器的状态反馈结构见图5-19。48式（5-52）、（5-50）代入式（5-51）（5-54.）式（5-53）、（5-54)合并，并写成矩阵形式式（5-52)代入式(5-49)（5-53)注意：系统的维数是原系统的2倍。49二、闭环系统的基本特性

引入了重构的状态反馈后，一是否会改变状态观测器的极点配置，影响估计精度;二是如何设计两个反馈矩阵G和K。则经过非奇异变换后的状态空间描述为：设状态估计误差。对闭环系统方程(5-55)、(5-56)进行等效变换:50其中由于等效变换不会改变系统的特征值，所以闭环特征多项式为而状态误差方程状态误差由上式可见，(A-BK)的特征值与(A-GC)的特征值可以分别配置，互不影响。两种特征值可以分别配置，互不影响的方法，称为分离定理5-7。52

耦合是生产过程控制系统中普遍存在的一种现象，尤其是在一个多输入-多输出(MIMO)系统中，每一个输入都会影响多个输出，每个输出会受多个输入的控制。当一个控制量变化时必然会波及其它输出量的变化，这种现象称为耦合。**第六节

解耦控制系统的综合解耦:就是消除系统间耦合关联作用。目的:是使一个输入仅控制一个输出。方法：前馈补偿器解耦；状态反馈解耦。53每一个输出都受多个输入的影响，一个输入仅控制一个输出解耦:54设多变量线性定常系统的输入向量维数与输出向量维数相等,其状态空间表达式为

对应的传递函数阵为

一、多变量系统的耦合关系55式中,G(s)为m阶严格真有理函数方阵;Gij(s)为G(s）的第i行第j列元素,表示第i个输出量与第j个输入量之间的传递函数。若系统初始为零状态,则其输入输出关系为

由上式可见,一般情况下,多变量系统的每一输入分量对多个(或所有)输出分量均有控制作用,即每一输出分量受多个(或所有)输入分量的控制。56这种第j个输入量控制第i个输出量的关系称为输入输出间的耦合作用,这种耦合使多变量系统的控制通常十分困难,例如,就难以找到合适的输入量,达到控制某一输出分量而不影响其它输出分量的要求。因此,有必要引入合适的控制律,使输入输出相互关联的多变量系统实现解耦,即实现每个输出分量仅受一个对应输入分量控制,每个输入分量也仅能控制对应的一个输出分量。

显然,解耦系统的传递函数矩阵必为对角线形的非奇异矩阵,由此,从解耦系统的定义出发,使多变量系统实现解耦的基本思路是通过引入控制装置使系统传递函数矩阵对角化,而具体实现方法主要有前馈补偿器解耦、输入变换与状态反馈相结合解耦等。58

一、串联补偿器解耦

方法：在需要进行解耦的系统前串联一个补偿器，来实现解耦。

设多输入-多输出的受控对象，其传递矩阵为，采用串联补偿器解耦方法；59系统的闭环传函式中，为开环传函。设引入解耦补偿器后，系统的闭环传递矩阵是一个对角线矩阵即60展开上式可见，便达到了解耦目的。现分析如何求解耦补偿器？重写出闭环传递矩阵61上式两边左乘，有由于，于是由上式可求解耦补偿器。，（5-62）（5-63）62求串联解耦补