24　函数的模型及应用

体系透视题型透析目录题型一已知函数模型，解决实际问题题型二选择函数模型，解决实际问题体系透视题型一已知函数模型,解决实际问题题型透析例1著名数学家、物理学家牛顿曾提出:物体在空气中冷却,如果物体的初始θ1

℃,空气的θ0℃,则tmin后物体的θ(单位:℃)满足:______________❶(其中k为常

数,e=2.71828…).现有某物体放在____________❷中冷却,经过_______________________

______❸,再经过_____________________________❹,则该物体的初始

()A.80℃

B.82℃

C.84℃

D.86℃

C

6min后物体的却到24℃52℃2min后测得物体的20℃的空气θ=θ0+(θ1-θ0)·e-kt知识联想由❶知函数解析式,需分清其中的θ、θ0、θ1、k、t哪些是未知量,哪些是已

知量.❷中表明空气θ0=20℃,为已知定值;θ1为物体初始,为未知定值;k为定值

常数,故该函数指的是检测(θ)随冷却时间(t)变化的函数关系.由❸知t=2min时,θ为52℃.由❹知当再经过6min后,此时已冷却8min,所以t=8min时,θ为24℃.思路导引

解析由题意可知,冷却2min后测得52℃,冷却8min后测得24℃.即

变形可得

(θ1-20作为整体求解),即8(e-2k)3=1,得e-2k=

,代入θ1-20=

,得θ1=

+20=84℃,故选C.技巧归纳

1.认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.2.根据已知条件求出或确定模型中的待定系数.3.利用该函数模型的图象和性质求解实际问题,并进行必要的检验.变式训练1.(2024朝阳六校联考,9)成书于约两千多年前的我国古代数学典籍《九章算术》中记

载了通过加减消元求解n元一次方程组的算法,直到拥有超强算力计算机的今天,这仍

然是一种效率极高的算法.按照这种算法,求解n元一次方程组大约需要对实系数进行C

·n3(C为给定常数)次计算.1949年,经济学家里昂惕夫为研究“投入产出模型”(该工作

后来获得1973年诺贝尔经济学奖),利用当时的计算机求解一个42元一次方程组,花了

约56机时.事实上,他的原始模型包含500个未知数,受限于机器算力而不得不进行化简

以减少未知数.如果不进行化简,根据未知数个数估计所需机时,结果最接近于

()A.103机时

B.104机时C.105机时

D.106机时

C解析设1机时能进行a次计算,则由题意得C·423≈56a,原始模型包含500个未知数,如果不进行化简,设所需机时为t,则C·5003≈ta,故t≈

×56=

=

×105≈0.94×105,故结果最接近于105机时,选C.题型二选择函数模型,解决实际问题例2调查显示,垃圾分类投放可以带来约0.34元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分

某省市准备给每个家庭发放一卡,______________________________________

____________________________________________❶(x为正整数).月底_______________

________________❷.①当x=10时,若某家庭某月产生120kg生活垃圾,该家庭该月积分卡能兑换__________元;②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益

的40%,则x的最大值为__________.

36

13

/分进行自动兑换积分会按照0.1元内垃圾分类投放总量不低于100kg,则额外奖励x分每分类投放1kg积分1分,若一个家庭一个月知识联想由❶知家庭月底积分与产生的投放垃圾之间是分段函数的关系;由❷知兑换的金额与家庭月底积分是正比例函数关系.思路导引

解析①若某家庭某月产生120kg生活垃圾,则该家庭月底的积分为120+10=130分,故该家庭该月积分卡能兑换130×0.1=13元.②设每个家庭每月产生的垃圾为tkg,每个家庭月底积分卡能兑换的金额为f(t)元.当0≤t<100时,f(t)=0.1t,此时f(t)<0.34t×0.4=0.136t恒成立;当t≥100时,f(t)=0.1t+0.1x,令f(t)≤0.34t×0.4,解得x≤0.36t,又(0.36t)min=36.故x的最大值为36.解后反思选择函数模型,求解实际应用问题,其方法与步骤可以归纳为四步八字:(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立

相应的数学模型;(3)解模:求解数学模型,得出数学结果;(4)还原:将数学结果还原为实际结果,并进行必要的检验.变式训练2.国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数不超过30,游客需付给旅行社飞机

票费用每张900元;若每团人数多于30,则给予优惠:每多1人,机票每10元,直到达

到规定人数75为止.旅行社需付给航空公司包机费每团15000元.(1)写出飞机票的价格y(单位:元)关于人数x(单位:人)的函数关系式;(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?解析

(1)由题意,得y=

即y=

(2)设旅行社获利S(x)元,则S(x)=

即S(x)=

因为S(x)=900x-15000在区间(0,30]上单调递增,所以当x=30时,S(x)取得最大值,为12000,又S(x)=-10(x-60)2+21000在区间(30,75]上先增后减,所以当x=60时,S(x)取得最大值,为21

000.故当每团人数为60时,旅行社可获得最大利润.思路点拨

(1)根据自变量x的取值范围,分0<x≤30或30<x≤75列出函数解析式即可;(2)利润=所有人的机票费用-包机费.

所有人的机票费用包机费0<x≤30900x1500030<x≤75[900-10(x-30)]·x15000函数基本性质的综合应用微专题一函数的基本性质是数学分析中非常重要的概念.这些性质在解决函数相关问题时,

通常需要综合应用,主要包括以下几个步骤:(1)理解问题:首先,要明确题目所要求解的问题,理解问题的背景和关键点.确定问题是

关于函数的哪个或哪些性质,例如单调性、奇偶性、等.(2)分析函数的性质:根据题目所给函数,首先确定函数的定义域,然后分析函数的性质.

观察函数是否具有奇偶性、等,以及函数在定义域内的单调性.这些性质的分析

可以通过代数运算、图象观察等方式进行.(3)选择合适的性质解决问题:根据问题的要求,选择与问题相关的函数性质进行应用.

例如,要比较函数值的大小,可以利用函数的单调性;要判断函数的对称性,可以应用奇偶性等.(4)综合应用性质进行推理和计算:结合所选择的性质,运用逻辑推理和数学运算来解决

问题.这可能需要利用函数的图象进行直观分析,或者通过代数运算进行严密证明.综合

应用不同性质,逐步推导出问题的解答.(5)验证和得出结论:最后,验证所得解答的合理性,确认其符合问题的要求和条件.根据

验证结果,得出最终结论,给出问题的答案.需要注意的是,函数基本性质的综合应用是一个灵活而复杂的过程.在实际应用中,可能

需要根据具体情况进行调整和补充.因此,对函数性质的深入理解和熟练运用是非常重

要的.通过大量的练习和实践,可以逐渐提高综合运用函数性质解决问题的能力.例设函数__________________❶,不等式____________❷在x∈(1,2]上恒成立,则实数a的

取值范围是

()A.

B.(-∞,2]C.

D.

∪

D

f(ax)≤f(x+3)f(x)=2|x-1|+log3(x-1)2题干分析由❶可联想到借助y=|x|,y=log3|x|两个函数的单调性分析f(x)的单调性.由❷

可知借助函数的单调性把条件转化为求解一个含参的不等式恒成立问题(脱去“f”),

再借助一个确定函数的奇偶性和单调性求得函数的最值,最终得到参数的范围.解析

第一步:令y=f(x)的自变量为x+1,构造新函数g(x)=2|x|+2log3|x|.设g(x)=f(x+1),由题可知g(x)=2|x|+log3x2=2|x|+2log3|x|,且x≠0.第二步:用定义法分析新函数g(x)的奇偶性.因为g(-x)=2|-x|+2log3|-x|=2|x|+2log3|x|=g(x),所以y=g(x)为偶函数.第三步:借助函数y=|x|和y=log3|x|的单调性得到函数y=g(x)的单调性.当x>0时,g(x)=2x+2log3x为单调递增函数,故当x<0时,y=g(x)为单调递减函数.第四步:根据单调性的定义,结合y=g(x)函数值的大小关系,得到含有参数a的不等式,进

而把问题转化为含参不等式的恒成立问题.又因为在x∈(1,2]上f(ax)≤f(x+3)恒成立,所以g(ax-1)≤g(x+2)恒成立,即

又因为x∈(1,2],所以-x-2≤ax-1≤x+2.①第五步:将不等式中的参数与变量分离,把恒成立问题转化为分析函数最值,进而解决问

题.不等式①可化为-1-

≤a≤1+

.得

≤a≤

.因为h(x)=-1-

在(1,2]上单调递增,所以当x=2时,

=-

,同理m(x)=1+

在(1,2]上单调递减,所以当x=2时,

=

,所以-

≤a≤

.又因为ax-1≠0,所以a∉

.综上,实数a的取值范围为

∪

.变式训练1.(2024北京二中开学测试,15)已知函数f(x)=

,给出下列四个结论:①函数f(x)是奇函数;②∀k∈R,且k≠0,关于x的方程f(x)-kx=0恰有两个不相等的实数根;③已知P是曲线y=f(x)上任意一点,A

,则|AP|≥

;④设M(x1,y1)为曲线y=f(x)上一点,N(x2,y2)为曲线y=-f(x)上一点.若|x1+x2|=1,则|MN|≥1.其中所有正确结论的序号是________.②③④

解析对于①:令x3-x≥0,得x(x+1)·(x-1)≥0,解得x∈[-1,0]∪[1,+∞),f(x)的定义域不关于

原点对称,故函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数,故①错误;对于②:f(x)-kx=

-kx=0,即

=kx(*),当x=0时,有

=0,故0是方程(*)的一个根;当x≠0,k<0时,由

=kx,得x<0,结合定义域有x∈[-1,0),有x3-x=k2x2,即x(x2-k2x-1)=0,令x2-k2x-1=0,Δ=k4+4>0,有x=

或x=

(正值舍去),而

>

=-1(关于k2-

>-2的证明,移项、两边平方得(k2+2)2>k4+4,即4k2>0,又k≠0,故恒成立),故x2-k2x-1=0在定义域内必有一根,当x≠0,k>0时,由

=kx,得x>0,结合定义域得x∈[1,+∞),有x3-x=k2x2,即x(x2-k2x-1)=0,令x2-k2x-1=0,Δ=k4+4>0,有x=

或x=

(负值舍去),则x=

>

=1,故x2-k2x-1=0必有一个大于1的正根,即f(x)-kx=0必有一个大于1的正根.综上,∀k∈R,且k≠0,关于x的方程f(x)-kx=0恰有两个不相等的实数根,故②正确;对于③:设P(x,y),则y=

,|AP|2=

+(

)2=x3+x2+

,令g(x)=x3+x2+

,x∈[-1,0]∪[1,+∞)(①中所求的f(x)的定义域),则g'(x)=3x2+2x=x(3x+2),当x∈

∪(1,+∞)时,g'(x)>0,当x∈

时,g'(x)<0,故g(x)在

和(1,+∞)上单调递增,在

上单调递减,又g(-1)=

,g(0)=

,g(1)=

,故g(x)≥

恒成立,即|AP|2≥

,故|AP|≥

,故③正确;对于④:当x1=x2时,由x∈[-1,0]∪[1,+∞),|x1+x2|=1,得x1=x2=-

,此时,y1=-y2=

=

,则|MN|=

≥1,当x1≠x2时,由y=f(x)与y=-f(x)关于x轴对称,不妨设x1<x2,则有-1≤x1<x2≤0或-1≤x1≤0<1≤x2≤2,当-1≤x1<x2≤0时,由|x1+x2|=1,得x1+x2=-1,由③知,点M与点N在圆A:

+y2=

上或圆外,设点M'(x1,m)与点N'(x2,n)在圆上且位于x轴两侧,则|M'N'|=1,故|MN|≥|M'N'|=1;当-1≤x1≤0<1≤x2≤2时,由x2-x1≥x2≥1,有|MN|=

≥|x1-x2|≥1,故成立;综上,|MN|≥1恒成立,故④正确.故答案为②③④.2.(2023通州一模,15)两个数互素是指两个正整数之间除了1之外没有其他公约数.欧拉

函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互素的正整数的个数,例如φ

(1)=1,φ(4)=2.关于欧拉函数给出下面四个结论:①φ(7)=6;②∀n∈N*,恒有φ(n+1)≥φ(n);③若m,n(m≠n)都是素数,则φ