微分中值定理

1中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三节)推广第五章微分中值定理及其应用2Ch5.1

微分中值定理一、问题的引入三、Rolle定理及其应用五、Caucy中值定理及其应用二、函数极值与Fermat引理四、Lagrange中值定理及其应用3一、问题的引入设弧AB

除端点外处处有不垂直于x轴的切线，则弧AB上至少存在一点C，AB

在C点的切线平行于弦AB。即：

——弦AB的斜率。此即拉格朗日中值定理（有待解析证明）。4若弦水平，上面命题便成了罗尔定理：若弧AB的参数方程为曲线上任一点（x、y）处的切线斜率为弦AB的斜率设C点对应的参数取值为t=ξ，则有此即柯西中值定理。5定义5.1.1

设函数有定义，

的一个邻域，在其中当时,(1)则称为的极大点,称为函数的极大值

;(2)则称为的极小点,称为函数的极小值

.极大点与极小点统称为极值点.1、极值的定义二、函数极值与费马(Fermat)引理6说明：(1)

极值是一局部概念，而最值是整体概念；极值在内部取得，最值可以在边界取得；

区间内部的最值点一定是极值点；极值点可以有好几个，最值点至多只有一个。(2)极小值可以大于极大值，如(3)对极小值点的定义不牵涉到函数的连续、可微等性质7

定理5.1.1(费马引理)

设f（x）在x0处取得极值。且f（x）在x0处可导，则有证明：设f（x）在x0处取得极大值，即

x

I

，

有f（x）≤f（x0）。由导数定义2.

费马（Fermat）引理

8说明:(1)几何意义若f(x)在极值点处可导（或存在切线），则该点的切线平行于x轴。(2)取极值和可微二者缺一不可(3)导数为0是可微函数取极值的必要非充分条件在x=0不取极值可导函数的极值点是驻点，但驻点未必是极值点驻点是极值可疑点9几何解释:三、罗尔(Rolle)定理及其应用10证明故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.若M=m,则因此,若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使则由费马引理得说明：

(1)若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.11

(3)定理可作写成下面的形式：(4)特别地，若f(a)=f(b)=0,则a,b为f(x)的两个零点。推论：可导函数的两个零点之间至少有一个导函数的一个零点。

如，是(2)满足条件的可能不是唯一的12罗尔定理的应用例1．

f(x)=x(x-1)(x-2)，不解方程，问f

(x)有几个零点，位于哪个区间。解:

f(x)处处可导,f(0)=f(1)=f(2),由罗尔定理知，而f

(x)是二次多项式，仅有两个根，所以f

(x)有且仅有两个零点，分别位于区间(0，1)、（1，2）内。思考：有几个零点？13例2.证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则在[0,1]连续,且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,之间至少存在一点但矛盾,故假设不真!设14（1）分析：存在ξ∈（0，a）使（1）成立证明：令由罗尔定理，存在ξ∈（0，a），使例315四、拉格朗日中值定理及其应用(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导则至少存在一点使几何解释:在曲线弧AB上至少存在一点C，过该点的切线平行于弦AB1.

Lagrange中值定理

16作辅助函数(自己验证!)

证法一(几何法)弦AB方程为17方法二(分析法)18拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.2.拉格朗日中值公式拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.19推论1若函数在区间I

上满足则在

I上必为常数.证:

在

I

上任取两点格朗日中值公式,得由的任意性知,在

I

上为常数.3.

Lagrange中值定理的推论及应用

推论220证:

设由推论可知

(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域[-1,1]上成立.思考:例4.证明：方法：欲证时只需证在

I

上21证:

设中值定理条件,即因为故因此，例5.证明不等式上满足拉格朗日说明：用拉格朗日定理证明不等式的一般步骤（iv）应用L-中值定理公式对f

(ξ)进行适当放缩（iii）检验条件；（ii）选区间；（i）选函数；方法二：f(t)=lnt,在[1,1+x]22思考

在[a,b]上连续,在(a,b)内可导，由拉格朗日中值定理得即设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导,证明证明23五、柯西(Cauchy)中值定理及其应用及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:定理5.1.9（Cauchy中值定理）设证明：由Lagrange中值定理，两个

不一定相同上面两式相比即得结论.24分析:及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:要证定理5.1.9（Cauchy中值定理）设25且使即由罗尔定理知,至少存在一点证:

作辅助函数26柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率27例6

对函数f(x)=x2+2，F(x)=x3－1在[1,2]上验证柯西定理的正确性。解：易知f(x)、F(x)在[1,2]上连续,(1,2)内可导，这样就验证了柯西定理的正确性。满足柯西中值定理的条件。在(1，2)内不为零，28至少存在一点使证:

结论可变形为设则在[0,1]上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点

,使即证明:例7.设29使证:

法1

用柯西中值定理.则f(x),F(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,令因此

即分析:例8.试证至少存在一点30使法2令则f(x)在[1,e]上满足罗尔中值定理条件,使因此存在例8.试证至少存在一点31内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:

利用逆向思维设辅助函数费马引理32可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.思考：33费马(1601–1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:他还是微积分学的先驱,最大值与最小值的方法中提炼出来的.

费马引理是后人从他研究34拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一.35柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,

微分方程第一次习题课一、内容与要求

1．掌握微分方程的基本概念

微分方程微分方程的阶微分方程的通解微分方程的特解微分方程的初始条件初值问题

2．掌握一阶微分方程的解法(1)可分离变量的微分方程解法分离变量法(2)齐次方程解法作变量代换(3)一阶线性微分方程

y′+P(x)y=Q(x)(4)伯努利方程

y′+P(x)y=Q(x)yn

(n≠0，1)令z=y1－n而将原方程化为一阶线性微分方程:

(5)通过适当的变换可化为上述几类方程中的某一类的一阶微分方程

3．掌握可降阶的高阶微分方程

解法

型接连积分n次，得通解．

型特点解法代入原方程,得特点

型解法代入原方程,得二、典型例题例1填空1)求2)求4)求3)求6)求

例2解下列方程解：变形

分离变量积分得

方程通解为1)求(C=－6C1)例2解下列方程2).解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(C

为任意常数

)解：

——一阶线性微分方程

3)求解1整理得A常数变易法:B公式法:4)

解法一：齐次方程（略）

解法二：——伯努利方程

令z=x3，所以原方程的通解为x3=Cy3+3y3lny由初始条件得C2=1特解为y-2ln|y|=x+1例3设当x>0时，曲线y=f(x)上任一点(x，f(x))处的切线在y轴上的截距等于解：曲线上任意点(x，f(x))处的切线方程为Y－f(x)=f′(x)(X－x)令X=0，得截距Y=f(x)－xf′(x)由题设有即

上式两端对求导得

f(x)=xf′(x)+f(