定积分及其应用

5.1定积分的概念5.2定积分的性质5.3微积分基本定理5.4定积分的换元积分法与分部积分法第5章定积分及其应用5.5广义积分5.6定积分的几何应用5.7定积分的物理应用5.1.1引例5.1.2定积分的定义5.1.3定积分的几何意义5.1定积分的概念abxyo5.1定积分的概念实例1

（求曲边梯形的面积）5.1.1引例曲边梯形由连续曲线abxyoabxyo方法：用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放具体步骤：(3)求和：曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为实例2

（求变速直线运动的路程）（1）分割（3）求和（4）取极限路程的精确值（2）近似5.1.2定积分的定义1.定义记为即被积函数被积表达式积分变量积分上限积分下限积分和注意：2.

存在定理定理2定理1且有有限个第一类间断点，曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值5.1.3定积分的几何意义几何意义：利用定义的例题解例1利用定义计算定积分(2)或原极限5.2定积分的性质说明

在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．对定积分的补充规定:性质1（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质2性质1,2称为线性性质说明：不论a,b,c

的相对位置如何,上式总成立.例若则性质3（对区间的可加性）性质4性质5(比较性质)推论：(1)由f(x)在处的连续性知，存在证（3）（等于仅在x=0

处成立）。证（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质6(估值定理)解解证由闭区间上连续函数的介值定理知性质7（定积分中值定理）使即积分中值公式的几何解释：设f(x),g(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在推广的定积分中值定理（第一积分中值定理）证明：所以在上可取得最值m,M由性质3，有显然结论成立时用同样的方法可以证明结论成立。解由积分中值定理知有使(积分型极限）例5设f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)上可微，且有求证：存在ξ∈(0，1)，使证明：构造辅助函数：则

(x)

在[c

，1]上满足罗尔定理的条件故存在ξ∈(c，1)

(0，1)，例6设f(x)在[0，1]上可微，且有求证：存在ξ∈(0，1)，使证明：则

(x)

在[c

，1]上满足罗尔定理的条件故存在ξ∈(c，1)

(0，1)，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

微分方程第一次习题课一、内容与要求

1．掌握微分方程的基本概念

微分方程微分方程的阶微分方程的通解微分方程的特解微分方程的初始条件初值问题

2．掌握一阶微分方程的解法(1)可分离变量的微分方程解法分离变量法(2)齐次方程解法作变量代换(3)一阶线性微分方程

y′+P(x)y=Q(x)(4)伯努利方程

y′+P(x)y=Q(x)yn

(n≠0，1)令z=y1－n而将原方程化为一阶线性微分方程:

(5)通过适当的变换可化为上述几类方程中的某一类的一阶微分方程

3．掌握可降阶的高阶微分方程

解法

型接连积分n次，得通解．

型特点解法代入原方程,得特点

型解法代入原方程,得二、典型例题例1填空1)求2)求4)求3)求6)求

例2解下列方程解：变形

分离变量积分得

方程通解为1)求(C=－6C1)例2解下列方程2).解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(C

为任意常数

)解：

——一阶线性微分方程

3)求解1整理得A常数变易法:B公式法:4)

解法一：齐次方程（略）

解法二：——伯努利方程

令z=x3，所以原方程的通解为x3=Cy3+3y3lny由初始条件得C2=1特解为y-2ln|y|=x+1例3设当x>0时，曲线y=f(x)上任一点(x，f(x))处的切线在y轴上的截距等于解：曲线上任意点(x，f(x))处的切线方程为Y－f(x)=f′(x)(X－x)令X=0，得截距Y=f(x)－xf′(x)由题设有即

上式两端对求导得

f(x)=xf′(x)+f(x)

－2xf′(x)－x2f〞(x)求f(x)整理得xf〞(x)+f′(x)=0，即有

(xf′(x))′=0所以f(x)=C1

lnx+C2

说明：不含初始条件为曲边的曲边梯形面积上述两直线与x

轴围成的三角形面例4二阶可导,且上任一点P(x,y)

作该曲线的切线及x轴的垂线,区间[0,x]上以解:于是在点P(x,y)处的切线倾角为

,积记为(99考研)再利用y(0)=1得利用得两边对x

求导,得定解条件为方程化为利用定解条件得得故所求曲线方程为例5.设F(x)＝f