贵州遵义市第十五中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题 含答案

/遵义市第十五中学2026年春季学期第一次月考试题年级：高二学科：数学注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2.请将答案正确填写在答题卡上.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则集合（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】求出集合，利用并集的定义可求得集合.【详解】，所以.故选：D.2.若复数满足，则复数虚部为（）A.1 B. C. D.【正确答案】C【详解】由题意可得，所以复数虚部为.3.已知随机变量X服从二项分布，且，则（）A.9 B.11 C.12 D.15【正确答案】C【分析】由二项分布的期望和方差公式，以及期望的性质可得结果.【详解】由于随机变量X服从二项分布，所以，解得.故，，所以.故选：C.4.已知某市高三共有20000名学生参加二模考试，统计发现他们的数学分数近似服从正态分布，据此估计，该市二模考试数学分数介于75到115之间的人数为（）参考数据：若，则.A.13272 B.16372 C.16800 D.19518【正确答案】C【分析】由正态分布曲线的性质即可列式求解.【详解】依题意，故所求人数为.故选：C.5.展开式中常数项为（）A. B. C.1 D.481【正确答案】C【分析】根据二项式定理直接求解即可.【详解】解：根据二项式定理，表示个相乘，所以，展开式中常数项的情况有以下三种情况：①个中全部选项展开；②个中有1个选择项，2个选择项，3个选择项展开；③个中有2个选择项，4个选择项展开.所以，其常数项为.故选：C.6.有两个盒子，第一个盒子恰有1个红球，4个黄球，第二个盒子恰有2个红球，3个黄球．现从这两个盒子中等可能地选择一个盒子，然后从中任意摸出2个球，则这2个球都是黄球的概率为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】由全概率公式即可求解.【详解】设表示取得的2个球都是黄球，表示选择第一个盒子，表示选择第二个盒子；所以，故选：C7.如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由题意当时，的可能取值为1,3,5，且，根据二项分布的概率公式计算即可求解.【详解】依题意，当时，的可能取值为1,3,5，且，所以.故选：D．8.在贵州“村超”总决赛阶段，某校足球社的5名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研，每组至少1人，其中甲、乙2人不能分在同一组，每个村各有一组来调研，则不同的安排方法种数是（）A.114 B.120 C.150 D.180【正确答案】A【分析】根据题意，分组方法分为和两种方式，分别利用组合数进行方法计数，得到总分组方法总数，再考虑每组对应三个村寨的排列方式，运用排列数统计即可.【详解】根据题意，5名学生分成三组分组方法分为两种：①分组：总分组方式为种，其中甲、乙同在三人组的方式有种，故符合条件的为种；②分组：总分组方式为种，其中甲、乙同在两人组的方式为种，故符合条件的为种.由分类加法计数原理，总分组方式为种，三组对应三个村寨的排列方式为种，故最终总方法数为种.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若随机变量，则下列选项中正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】ABC【分析】根据正态分布曲线的对称性判断ABC，根据方差的运算性质判断D.【详解】由随机变量可知服从正态分布，正态密度曲线对称轴为，方差为，所以，A说法正确；，B说法正确；，C说法正确；，D说法错误；故选：ABC10.甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，下列结论正确的是（）A.不同的站队方式共有120种B.若甲和乙不相邻，则不同的站队方式共有36种C.若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有60种D.若甲和乙相邻，且甲不在两端，则不同的站队方式共有36种【正确答案】ACD【分析】根据全排列数计算判断A；利用插空法求解判断B；定序问题采用倍缩法进行求解判断C；先使用捆绑法求解，再去掉甲在两端情形即可判断D.【详解】对于A，甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，不同的站队方式共有种，A正确；对于B，甲和乙不相邻的站队方式有种，B错误；对于C，甲在乙的左边的不同的站队方式有种，C正确；对于D，将甲与乙捆绑看做一个整体，再与其他三人站成一排，有种站队方式，其中甲站在两端的情形有种，所以符合题意的站队方式共有种，D正确.故选：ACD11.若，，则下列结论中正确的有（）A.B.C.D.【正确答案】AD【分析】直接根据利用二项式定理将其展开，结合二项式系数的性质对四个选项依次分析即可求解.【详解】对于,令则故正确；对于,，故错误；对于,令则则故错误；对于,令得又故正确.故选：三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某天，甲、乙两地下雨的概率分别为和，且两地同时下雨的概率为，则这一天，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为________.【正确答案】##0.6【分析】根据条件概率的计算公式，即可求解.【详解】设乙地下雨为事件，甲地下雨为事件，可得，，所以在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为.故答案为.13.随机变量的分布列如表所示，且，则______．a03Pb【正确答案】6【分析】先列方程组求出b、c，再利用方差公式求出方差.【详解】由题意可得：，解得：，所以.故614.有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________.【正确答案】##【分析】法一：根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得；法二，根据题意假设随机变量，利用对立事件与独立事件的概率公式求得，进而利用数学期望的性质求得.【详解】法一：依题意，的可能取值为1、2、3，总的选取可能数为，其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，故，：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次），选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式，其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种，故，：三种不同球被取出，由排列数可知事件的可能情有况种，故，所以.故答案为.法二：依题意，假设随机变量，其中：其中，则，由于球的对称性，易知所有相等，则由期望的线性性质，得，由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为，由于抽取独立，三次均未取出球的概率为，因此球至少被取出一次的概率为：，故，所以.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的展开式二项式系数和为64．（1）求的值；（2）求展开式中的常数项；（3）求展开式中二项式系数最大的项．【正确答案】（1）6（2）60（3）【分析】（1）根据的二项式系数和为即可求解；（2）求出二项式展开式的通项，令的指数为零即可求解；（3）根据二项式系数的性质和n的值可判断二项式系数最大的项，从而求解.【小问1详解】由题意得：，解得.【小问2详解】由通项公式，令，可得：．展开式中的常数项为；【小问3详解】是偶数，展开式共有7项，则第四项最大，展开式中二项式系数最大的项为．16.全国第36届中国化学奥林匹克竞赛已经结束，我校学生取得了优异成绩，为了方便统计，现将学生成绩转化为百分制，从中随机抽取了100名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的值，并估计这100名学生成绩的中位数；（2）在这100名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]的三组中抽取了10人，再从这10人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90）的人数，求的分布列和数学期望；【正确答案】（1）,中位数:65（2）分布列见解析，数学期望为.【分析】(1)根据频率之和等于1即可求解m,再根据中位数的定义求得中位数;(2)利用分层抽样的原理确认各区间所抽取人数，再根据超几何分布即可求出分布列以及数学期望.【小问1详解】由题可知，，解得.中位数为.【小问2详解】依题意，[70，80），[80，90），[90，100]三组的频率为，所以[70，80），[80，90），[90，100]三组抽取的人数为，所以在这10人成绩在[80，90）的有3人，不在的有7人，所以,所以列出分布列如下：0123所以.17.已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，焦距为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点及的直线交椭圆于A，B两点，求的面积．【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据离心率和焦距求得，进而求得，即可求解椭圆标准方程；（2）先求出直线AB的方程，然后与椭圆方程联立，韦达定理，求得，代入面积公式即可求解.【小问1详解】由题意可知，，，所以，所以，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】因为点及，所以，所以直线AB的方程为即，设，，由得，所以，，所以，所以.18.如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，．（1）证明：；（2）求二面角的大小．（3）在线段上是否存在一点E，使得DE与平面BCD所成角的正弦值为，若存在求出该点的位置，若不存在请说明理由？【正确答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，的中点【分析】（1）利用线面垂直证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解；通过法向量的夹角来求二面角的大小；（3）设出点的坐标（用参数表示），再求出平面的法向量，根据线面角的向量公式列出方程，求解参数判断是否存在及位置.【小问1详解】直三棱柱中，侧棱面，面，.假设，，，，，，故.又，，平面，平面，平面，.【小问2详解】如图所示：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，各点坐标为：,则，设平面的一个法向量为，则：，令，得，故.设平面的一个法向量为，则：，取，得，故.所以，由图易知二面角为锐二面角，故，所以二面角的大小为.【小问3详解】设在线段上，令，，得，则.设线面角为，由（1）知平面的法向量为.，所以，解得，符合要求，所以存在满足条件的点，为线段的中点.19.人工智能快速发展、给我们的生活带来极大的便利．2026年某班元旦晚会上，同学们利用人工智能设置了一款有趣的答题游戏，游戏规则如下：1每位同学依次答题三道，每题答错得0分，答对得相应分值；2第一题系统随机出题，分值为4分；从第二题开始，后面每题根据前一答题情况给出、若前一题答对，则后一题增加难度，答对概率相对前一题减少0.1，分值加倍；若前一题答错，则后一题降低难度，答对概率相对前一题增加0.1，分值减半；3答题结束时，若总得分不少于8分，则参与者获得一份奖品，同学们纷纷踊跃参加游戏，已知甲同学答对第一题的概率为．（1）若①求甲同学答对第二题的概率；②记甲同学最后一题的得分为，求的分布列；（2）为增加趣味性，允许答题同学有一次场外求助机会，场外一定能答对，但下一题会增加更大的难度，答对概率相对前一题减少0.2，分值仍加倍．若甲选择求助，则选择第几题求助获得奖品的概率最大？【正确答案】（1）①0.5；②答案见解析（2）第1题【分析】（1）①利用全概率公式计算第二题的答对概率，②根据前两题的结果推导最后一题得分的的可能取值为、、、，计算可求得分布列；（2）分别计