河北张家口市2026届高三下学期第二次模拟考试数学试题 含答案

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B.C. D.2.已知复数，则（）A.1 B. C. D.23.在等差数列中，若，则（）A.4 B.3 C.2 D.14.圆柱与圆锥的底面半径均为，母线长均为，则圆柱与圆锥的体积之比为（）A. B. C. D.5.将函数的图象向右平移（）个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（）A. B. C. D.6.已知某种树苗在一个生长周期内生长的高度为随机变量，且，若，，则（）A. B. C. D.7.已知抛物线（）与双曲线的渐近线的交点分别为O，A，B，其中O为坐标原点，若的面积为16，P为C与E在第一象限内的一个公共点，则（）A. B. C. D.8.已知正三棱柱的底面边长为4，高为，，分别为，的中点，球面经过，，，四点，则球面与该正三棱柱的上底面交线的长度为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知一组数据，，…，的平均数、中位数、众数、极差、标准差分别为a，b，c，d，e．设（，2，…，9），记新数据，，…，的平均数、中位数、众数、极差、标准差分别为A，B，C，D，E，则（）A.， B.，C.， D.，10.已知圆，P为直线上一动点，，为圆C的切线，切点分别为A，B，则（）A.圆心C的轨迹方程为B.圆C过定点C.当时，的最小值为15D.当时，四边形的面积的最小值为11.已知函数，则（）A.B.函数的值域为C.方程有且仅有3个根，，，且D.方程的根的个数可能是0，5，6，7，8，9，10三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则________．13.已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________．14.某新能源汽车公司的电池由甲、乙两个厂家独立供货，汽车装配电池前，公司要对两个厂家所供电池进行严格检测，从甲厂家供货的件电池中检测出不达标的有件，从乙厂家供货的件电池中检测出不达标的有件．现从两个厂家等可能随机挑选一家，从所供货的电池中随机选择一件，检测结果不达标，则该件电池来自乙厂家的概率为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知等差数列的公差和等比数列的公比均为，，．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和．16.已知椭圆：的长轴长为4，且与直线相切，，为上不在坐标轴上的不同两点．（1）求的方程；（2）若以为直径的圆经过点，证明：直线过定点．17.在中，分别为内角的对边，分别为边，上的动点，记为与的夹角．（1）证明：；（2）证明：．18.如图，在正四棱锥中，M，N分别为棱，的中点，点Q满足，．（1）证明：．（2）已知D，M，Q，N四点共面．（ⅰ）求的值；（ⅱ）若，与底面所成角的正切值为2，求平面与平面夹角的余弦值．19.已知函数．（1）若，求实数的取值范围．（2）已知．（ⅰ）设数列的前n项和为，证明：；（ⅱ）若，且，，证明：．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：由题可知，，，因此，故C正确．2.已知复数，则（）A.1 B. C. D.2答案：A解析：解答过程：因为，所以，则．3.在等差数列中，若，则（）A.4 B.3 C.2 D.1答案：C解析：思路：首先由等差数列的性质得出，根据等差数列性质得出，最后计算对数.解答过程：由，得，又，所以．4.圆柱与圆锥的底面半径均为，母线长均为，则圆柱与圆锥的体积之比为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由题意得圆锥的高为，则圆锥的体积，圆柱的体积为，所以圆柱与圆锥的体积之比为．5.将函数的图象向右平移（）个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：解析：由题可知，又，所以.6.已知某种树苗在一个生长周期内生长的高度为随机变量，且，若，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先利用对立事件求对称点的概率，再根据正态曲线关于对称的性质，均值为两对称点的中点，最后利用对称性求区间概率.解答过程：因为随机变量，正态分布的概率密度曲线关于对称，由题：，，则，所以，对称轴为：，由正态分布的对称性得：，所以.7.已知抛物线（）与双曲线的渐近线的交点分别为O，A，B，其中O为坐标原点，若的面积为16，P为C与E在第一象限内的一个公共点，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：易知的渐近线为，联立，可得，或，不妨设，，又的面积为16，则，解得，联立整理得，解得或（舍去），所以，，所以.8.已知正三棱柱的底面边长为4，高为，，分别为，的中点，球面经过，，，四点，则球面与该正三棱柱的上底面交线的长度为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据正三棱柱的特征得到线面垂直，进而得到线线垂直，结合直角三角形的性质得到球心位置及球的直径，再结合球的截面性质求解即可.解答过程：如图，连接，，，，，易得平面，平面，所以，，即和均为直角三角形，所以即为球的直径，其长为，所以．过点作于点，则．球与上底面的交线即为以为圆心，半径为的圆弧，又底面的边长为4，则交线为以为圆心，圆心角为，半径为2的圆弧，长度为．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知一组数据，，…，的平均数、中位数、众数、极差、标准差分别为a，b，c，d，e．设（，2，…，9），记新数据，，…，的平均数、中位数、众数、极差、标准差分别为A，B，C，D，E，则（）A.， B.，C.， D.，答案：AC解析：解答过程：因为，则，中位数的位置不会改变，所以，因此A正确；众数和极差满足，，可得B错误；根据标准差定义可知，C选项正确，D选项不正确．10.已知圆，P为直线上一动点，，为圆C的切线，切点分别为A，B，则（）A.圆心C的轨迹方程为B.圆C过定点C.当时，的最小值为15D.当时，四边形的面积的最小值为答案：BCD解析：思路：对于A，求出圆心的坐标，即可判断选项；对于B，将圆C的方程化为，令解方程即可求解；对于C，由，结合切线性质求出的最小值即可求解；对于D，根据结合选项C即可求解.解答过程：圆C的方程可化为，，对于A选项，圆心C的坐标为，则圆心C的轨迹方程为（除去点），所以A选项不正确；对于B选项，圆C的方程可化为，令，解得所以圆C过定点，所以B选项正确；对于C选项，，当时，，圆心，半径，圆心到直线的距离，所以，所以C选项正确；对于D选项，，所以D选项正确.11.已知函数，则（）A.B.函数的值域为C.方程有且仅有3个根，，，且D.方程的根的个数可能是0，5，6，7，8，9，10答案：BCD解析：思路：化简函数并画出图象，利用图象即可判断AB；利用对称性求值判断C；令，数形结合即可判断D.解答过程：当时，，，所以；当时，，，所以；则函数的图象如下：对于A选项，，所以A选项不正确；对于B选项，由图可知函数的值域为，所以B选项正确；对于C选项，当时，不妨设，则，，所以，所以C选项正确；对于D选项，令，则，．当时，，方程有两个不相等的负根，原方程没有根，当时，方程的根为，原方程没有根，当时，，知原方程无解；当时，易得，由图可知原方程有5个不等的根；当时，方程有两个不同实根，，不妨设，若，函数满足，，，则，由图可知原方程有10个不等的根，若，，原方程有9个不等的根，若时，函数满足，，，，，原方程有8个不等的根，若，，原方程有个不等的根，当时，函数满足，，，则，，由图可知，此时原方程有6个不等的根，所以D选项正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则________．答案：##解析：解答过程：，．13.已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________．答案：1解析：思路：根据导数的几何意义先求得的切线方程，再设出该切线与的切点，再利用公切线的斜率相等，且切点也在公切线上，代入计算即可求解．解答过程：由，则，所以曲线在点处的斜率为，所以曲线在点处的切线方程为．设直线与曲线相切的切点为，且，则，解得．14.某新能源汽车公司的电池由甲、乙两个厂家独立供货，汽车装配电池前，公司要对两个厂家所供电池进行严格检测，从甲厂家供货的件电池中检测出不达标的有件，从乙厂家供货的件电池中检测出不达标的有件．现从两个厂家等可能随机挑选一家，从所供货的电池中随机选择一件，检测结果不达标，则该件电池来自乙厂家的概率为________．答案：解析：思路：利用全概率公式和贝叶斯公式求解即可.解答过程：记事件“任取一件电池检测不达标”，“电池是从甲厂取出的”，“电池是从乙厂取出的”．依题意可知，，，，由全概率公式，得，则．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知等差数列的公差和等比数列的公比均为，，．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和．答案：（1），．（2）解析：思路：（1）根据等量关系建立方程，求解出和​，进而得到两个数列的通项公式；（2）使用错位相减法求解即可.解答过程：（1）依题意可知，，解得，所以，．（2）由（1）可知，，则，，两式作差得，所以．16.已知椭圆：的长轴长为4，且与直线相切，，为上不在坐标轴上的不同两点．（1）求的方程；（2）若以为直径的圆经过点，证明：直线过定点．答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）根据长轴长及直线与椭圆的位置关系求解即可.（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，根据圆的性质得到，结合韦达定理及直线过定点问题证明即可.（1）由题易知，联立得，，令，因为，解得，所以C的方程为．（2）证明：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立，整理得，，则，，所以．因为以为直径的圆经过点，则，即，即，则，即或．当时，，直线的方程为，此时直线过定点，舍去；当时，，直线的方程为，此时直线过定点．当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时，两点为，，以为直径的圆的方程为，点在该圆上．综上所述，直线过定点．17.在中，分别为内角的对边，分别为边，上的动点，记为与的夹角．（1）证明：；（2）证明：．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：(1)方法一：由余弦定理化简得，两边同乘，结合正弦定理化简即可证明结论；方法二：结合正弦定理将问题转化为证明，利用和差化积和二倍角公式，即可证明结论；（2）方法一：特殊情况先验证：当点D，E都位于点A时，，一般情况：由，利用向量数量积的几何定义即可证明；方法二：展开右侧的和差角余弦，结合三角形中的射影定理与正弦定理，消去含的项，化简为左侧形式即可（1）方法一：由余弦定理得，，所以，即，两边同乘，得，由正弦定理可得，所以．方法二：由正弦定理可知，要证，只需证，又因为，所以，得证．（2）方法一：当点都位于点时，，等式显然成立．当点不同时位于点时，，，，，所以，又，即．方法二：展开等式右边，，易知，又由正弦定理可知，，所以，即．18.如图，在正四棱锥中，M，N分别为棱，的中点，点Q满足，．（1）证明：．（2）已知D，M，Q，N四点共面．（ⅰ）求的值；（ⅱ）若，与底面所成角的正切值为2，求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）证明见解析（2）（ⅰ）；（ⅱ）0解析：思路：（1）在中，，再证明平面，根据传递性可得平面，进而证明．（2）（ⅰ）由D，M，Q，N四点共面，利用空间向量共面定理，设出，结合，建立关于的方程求解即可.（ⅱ）先通过条件求出，建系，写坐标，求法向量，借助空间向量求平面与平面夹角的余弦值即可．（1）证明：设，则在正四棱锥中，平面．因为M，N分别为棱，的中点，则，，，平面，所以平面，平面，又平面，所以．（2）（ⅰ）由题可知，，．因为M，N分别为棱，的中点，所以，，．又因为D，M，Q，N四点共面，则有，于是可得，可得解得．（ⅱ）因为，与底面所成角的正切值为2，所以，所以．如图，以O为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，．设平面的法向量为，则，令，则，，所以平面的一个法向量为．设平面的法向量为，则，不妨令，则，所以平面的一个法向量为．设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为0．19.已知函数．（1）若，求实数的取值范围．（2）已知．（ⅰ）设数列的前n项和为，证明：；（ⅱ）若，且，，证明：．答案：（1）（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析解析：思路：（1）通过分离参数并构造函数求导，利用导函数单调性与零点确定原函数最小值，进而解出参数范围；（2）（i）利用第(1)问结论对不等式变形，代入进行放缩，转化为裂项求和式进而证明不等式成立；（ii）利用函数单调性与极值点分布，通过分类讨论并构造差函数，结合导数判断单调性，利用单调性推出变量间大小