江西抚州市临川玉茗高级中学等校2025-2026学年高三下学期模拟考试（二）数学试题 含答案

/数学总分150分，考试时间120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合满足，则下列关系一定正确的是（）A. B.C. D.2.已知复数满足，的共轭复数为，则（）A. B. C.4 D.83.高一某班有人，老师对一次数学测试进行了统计分析.由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他人的平均分为分，方差.后来小亮进行了补考，成绩为分，关于该班成绩，下列说法正确的是（）A.平均分不变，方差变大 B.平均分不变，方差变小C.平均分和方差都不变 D.平均分和方差都改变4.在中，为边的中点，，则（）A. B.C. D.5.已知公差不为的等差数列的前项和为，，且，则（）A. B. C. D.6.已知函数fx=2−log2A. B. C. D.7.已知、是双曲线的左右焦点，点是其渐近线在第一象限内的一点，直线与轴相交于点，是正三角形，则该双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.8.已知，，，则（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某校团委对“学生性别和是否喜欢运动的关联性”进行了一次调查，其中被调查的男､女生人数相同，男生中喜欢运动的人数占男生人数的，女生中喜欢运动的人数占女生人数的，若有的把握，但没有的把握认为“学生性别和是否喜欢运动有关”，则被调查的男生人数可能为（）附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A.25 B.45 C.60 D.7510.如图，平面图形由等腰直角和直角组成，，分别是边和的中点，现将沿翻折，则下列结论中正确的是（）A.B.若平面平面，则C.D.已知点均在球的表面上，当三棱锥的体积最大时，球的半径为11.设是函数的三个零点，则（）A.B.C.若成等差数列，则成等比数列D.若成等差数列，则三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，且，则__________.13.已知随机变量，若，则______.14.已知分别是椭圆的左､右焦点，是上异于左､右顶点的动点，记内切圆的面积为外接圆的面积为，若的最小值为4，则的离心率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在中，角所对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值.16.如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，.（1）证明：平面平面.（2）求点到平面的距离.（3）求平面和平面夹角的余弦值.17.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程.（2）若在区间上单调递减，求的取值范围.（3）若，且存在两个极值点，证明.18.已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且.（1）求抛物线的方程.（2）证明：直线过定点.（3）记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程.19.某研究机构开发了一款智能机器人，该机器人通过交替学习不同技能Y，S，W来提升综合能力.初始时，机器人选择学习技能Y，且每次学习Y后会等可能地选择学习S或W；每次学习S后，有0.25的概率继续学习Y，0.75的概率学习W；每次学习W后，有0.25的概率继续学习Y，0.75的概率学习S.设，，分别表示第n次学习后接着学习技能Y，S，W的概率.（1）若机器人仅进行三次学习，求学习技能Y次数的分布列及其数学期望；（2）求及其最大值；（3）已知，，若数列的前项和为，证明.

数学总分150分，考试时间120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合满足，则下列关系一定正确的是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：由可知，再根据集合的关系及交集和补集的运算，结合文恩图依次判断选项.解答过程：由可知，故AB错误；如图，对于C选项，，正确；对于D选项，，错误.故选：C2.已知复数满足，的共轭复数为，则（）A. B. C.4 D.8答案：D解析：思路：根据复数除法运算求出，然后求解即可.解答过程：由，可得，则，所以.3.高一某班有人，老师对一次数学测试进行了统计分析.由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他人的平均分为分，方差.后来小亮进行了补考，成绩为分，关于该班成绩，下列说法正确的是（）A.平均分不变，方差变大 B.平均分不变，方差变小C.平均分和方差都不变 D.平均分和方差都改变答案：B解析：思路：根据平均数、方差的定义即可解答．解答过程：∵小亮的成绩和其他人的平均数相同，都是分，∴该班人的测试成绩的平均分为分，该班人的方差，即方差变小．故选：B．4.在中，为边的中点，，则（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：因为为边的中点，，所以.5.已知公差不为的等差数列的前项和为，，且，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由已知条件得到和的关系，再将用表示，则可得结果.解答过程：由可得，即.则,所以，则C正确.故选：C.6.已知函数，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用复合函数单调性，结合对数函数单调性确定分段函数单增，再利用函数的单调性解不等式.解答过程：根据复合函数的单调性可知函数在上单调递增.当时，，则，易知在上单调递增，而函数在处连续，故在上单调递增，由，得，解得，故实数的取值范围是.7.已知、是双曲线的左右焦点，点是其渐近线在第一象限内的一点，直线与轴相交于点，是正三角形，则该双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据是正三角形及双曲线的对称性可得，从而可求，故可得正确的选项.解答过程：双曲线的焦点在轴上，左右焦点为，（其中，），因为，故，由双曲线的对称性可得，故，故，故，而在第一象限的渐近线上，故，而，故，故，因此最终渐近线方程为.故选：B.8.已知，，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据的数字特征分别构造函数、，利用导数可求得单调性，由和可确定的大小关系.解答过程：令，则，在上单调递增，，即，，又，，即；令，则，令，则，在上单调递减，，在上单调递减，，即，；综上所述.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某校团委对“学生性别和是否喜欢运动的关联性”进行了一次调查，其中被调查的男､女生人数相同，男生中喜欢运动的人数占男生人数的，女生中喜欢运动的人数占女生人数的，若有的把握，但没有的把握认为“学生性别和是否喜欢运动有关”，则被调查的男生人数可能为（）附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A.25 B.45 C.60 D.75答案：BC解析：解答过程：设男生人数为，则女生人数也为，列出列联表如表所示：性别是否喜欢运动合计喜欢不喜欢男生女生合计由题意得，解得，故A，D错误，B，C正确.10.如图，平面图形由等腰直角和直角组成，，分别是边和的中点，现将沿翻折，则下列结论中正确的是（）A.B.若平面平面，则C.D.已知点均在球的表面上，当三棱锥的体积最大时，球的半径为答案：BC解析：思路：应用边长关系计算判断A，应用面面垂直性质定理计算判断B，应用线面垂直判定定理判断C，应用三棱锥体积公式结合线面垂直得出平面，再应用外接球性质列式计算求解判断D.解答过程：对于A，由题可知，在等腰直角中，，故A错误；对于B，由题可知AB=1,AD=2,BD=3,若平面平面，又平面平面平面，所以平面，又平面，所以，又因为CF=32,所以，所以，故B正确；对于C，因为为边的中点，，所以，又是边的中点，所以，由，可得.因为，平面，所以平面，又平面，所以，故C正确；对于D，当三棱锥的体积最大时，平面平面，由B可知，平面.又是以为斜边的直角三角形，所以球心在过点且与平面垂直的直线上，设球心到点的距离为，球半径为，则，即，解得，所以球的半径为1，故D错误.11.设是函数的三个零点，则（）A.B.C.若成等差数列，则成等比数列D.若成等差数列，则答案：ACD解析：思路：数形结合，可判断A的真假；根据零点个数，求参数的取值范围，可判断B的真假；根据等差、等比数列的概念可判断C的真假；根据C的结论，进一步计算可判断D的真假.解答过程：当时，，显然不符合题意；当时，分别画出与的图像，如图所示：显然有一个小于0的零点，有2个大于0的零点，所以A选项正确；令，可得，设，则，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递减，所以的最小值为，要使得有两个大于0的零点，则，故B选项错误；由题意，所以，由于成等差数列，所以，所以，所以，所以成等比数列，C选项正确；由，得，所以，由于，解得，又，则，故，则，又故舍去，因为，所以，故D选项正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，且，则__________.答案：解析：解答过程：由3cosπ2+α=tanα则cos213.已知随机变量，若，则______.答案：解析：思路：根据正态分布的性质，求得，结合，故，即可求解.解答过程：由正态分布的性质，可得，因为，所以，解得，又由随机变量，根据正态分布曲线的对称性，可得.故答案为.14.已知分别是椭圆的左､右焦点，是上异于左､右顶点的动点，记内切圆的面积为外接圆的面积为，若的最小值为4，则的离心率为__________.答案：##0.5解析：思路：先求出焦点三角形面积S=b2tanθ2，利用等面积法表示出内切圆半径r=b解答过程：如图，设∠F1P由椭圆定义可知，在中，由余弦定理得则，所以又的周长为，则内切圆的半径r=2又在中，由正弦定理可知即为外接圆的半径，故，则Rr=由椭圆的对称性可知，当点为短轴端点时，取得最大值，此时取得最小值，最小值为ca+c又的最小值为4，则的最小值为2，即，即，化简可得，等式左右两边同时除以，可得，即，由椭圆离心率，得.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在中，角所对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）运用正弦定理、和角的正弦公式以及诱导公式，即可得解；（2）运用余弦定理，再结合基本不等式即可得解.（1）由正弦定理可知，，交叉相乘后可整理得，即，，，又因为在中，，因此可得，即.（2）由余弦定理可得，，即，又因为，当且仅当时，等号成立，因此，故，即的面积的最大值为.16.如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，.（1）证明：平面平面.（2）求点到平面的距离.（3）求平面和平面夹角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：取中点，连接PO，CO，根据等边及等腰三角形的性质，可证，，根据勾股定理，可求得PO，CO的长，根据AC的长，结合勾股定理，可证，根据线面垂直的判定定理，可证平面，根据面面垂直的判定定理，即可得证.（2）如图建系，求得各点坐标和各个所需向量坐标，可求得平面的法向量，根据点到平面距离的向量求法，代入数据，即可得答案.（3）求出平面PBC的法向量，根据二面角的向量求法，可求得二面角的余弦值，根据同角三角函数的关系，即可得答案.（1）证明：如图，取中点，连接，因为是边长为2的等边三角形，为中点，所以，且.又因为为中点，所以，且.因为，所以，所以.又平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）由（1）得两两互相垂直，故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以AC=设平面的法向量为，则，即x1+令，则，故平面的一个法向量为，所以点到平面的距离d=AB⋅（3）由（2）可知，，设平面的法向量为，所以m→⋅BP令，则，故平面的一个法向量为m=6由（2）知平面PAC的一个法向量为，），所以cos<故平面和平面夹角的余弦值为.17.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程.（2）若在区间上单调递减，求的取值范围.（3）若，且存在两个极值点，证明.答案：（1）（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程；（2）根据单调性可知在上恒成立，利用分离变量法可得，进而结合对勾函数求解即可；（3）设，则.，将所证不等式转化为.，令gx=1x−x（1）由题意得fx=1而f′x=−故曲线在点处的切线方程为.（2）f′又在区间上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，因为函数在上单调递增，所以，所以，故的取值范围是.（3）证明：f′因为存在两个极值点，所以满足，即，不妨设，则.又=则要证，即证，又，则，即证，即证.设函数gx则g′所以在上单调递减，又，则，所以，即得证.18.已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且.（1）求抛物线的方程.（2）证明：直线过定点.（3）记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程.答案：（1）（2）证明见解析（3）证明见解析，解析：思路：（1）将点的坐标代入抛物线方程得出，进而得出抛物线；（2）设，求出直线的方程为，结合，化简计算可得，即可得到结论.（3）由（2）知，，设，设直线的方程为.代入抛物线联立方程组，将转化为，化简计算可得到结论.（1）将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得（舍去）或，故抛物线的方程为.（2）由（1）可知点的坐标，设，则.由，得，所以，..所以直线的方程为，即，整理得.又，从而直线的方程为，化简得，因此直线过定点.（3）由（2）知，设，易知直线的斜率不为0，设直线的方程为.由消去.得.则.因为.所以.即，当时，，化简得，与直线的斜率不为0矛盾，不合题意；当时，化简得，.即.又.可得，所以，即，所以点在直线上.19.某研究机构开